第2章有限單元法力學(xué)基礎(chǔ)

1、,用有限元法求解彈性力學(xué)問題，雖然并不需要掌握彈性力學(xué)中很多的理論，但須對其中的某些基本概念和基本方程有所了解。為此，本章中將簡單介紹這些概念和方程，作為介紹彈性力學(xué)有限元法的導(dǎo)引。,實(shí)際物體的特性及其受力后所表現(xiàn)出來的力學(xué)性能相當(dāng)復(fù)雜，因而在理論分析中難以完全如實(shí)地加以描述，必須略去一些次要方面，對研究對象作出能反映其主要方面的基本假設(shè)。彈性力學(xué)的基本假設(shè)如下：（1）假設(shè)物體是連續(xù)的：即假設(shè)整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿

2、，沒有任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等才可能是連續(xù)的，因此才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。（2）假設(shè)物體是完全彈性的：即認(rèn)為物體在引起變形的外力被去除后能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形。這樣的物體在任一瞬時(shí)的變形完,2.1 彈性力學(xué)中的基本假設(shè),,全取決于它在這一順時(shí)所受的外力，與其載荷歷史無關(guān)。完全彈性物體服從胡克定律，也就是應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成正比，彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小而改變。（

3、3）假設(shè)物體是各向同性的：即物體的性質(zhì)在各個(gè)方向都是相同的，不隨方向而改變。（4）假設(shè)位移和變形是微小的：即物體在受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變遠(yuǎn)小于1。這樣，在建立物體變形后的平衡方程時(shí)，就可以用變形以前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不至于引起顯著的誤差。并且，在考察物體的變形和位移時(shí)，轉(zhuǎn)角或應(yīng)變二次項(xiàng)可以省去。這就使得彈性力學(xué)里的代數(shù)方程和微分方程都簡化為線性方程，可以應(yīng)用疊加原理。（5）無初應(yīng)

4、力：即外載荷作用前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力，認(rèn)為物體處于自然狀態(tài)。,,2.2 彈性力學(xué)中的基本概念,1. 體力Qv 體力是分布在物體全部體積內(nèi)的力，作用在物體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，如重力、運(yùn)動(dòng)物體的慣性力和磁力等。物體內(nèi)某點(diǎn)的體力是一個(gè)矢量，其大小是以作用于其上的單位體積的作用力來衡量的，一般沿坐標(biāo)軸上投影，用分量X，Y，Z表示，且規(guī)定沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?，反之為?fù)。這三個(gè)投影稱為該點(diǎn)的體力分量。2. 面力Qs 面力是

5、分布于物體表面上的力，可以是分布力，也可以是集中力。如一個(gè)物體對另一個(gè)物體表面作用的壓力、靜水壓力等。物體表面上某點(diǎn)的面力是一矢量, 一般沿坐標(biāo)軸投影，用分量 來表示。且規(guī)定沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?，反之為?fù)。這三個(gè)投影稱為該點(diǎn)的面力分量。,,3 應(yīng)力 物體在外力的作用下，處于平衡狀態(tài)，此時(shí)物體內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的內(nèi)力，如圖所示。為研究物體內(nèi) 任意一點(diǎn)P的內(nèi)力，假想一個(gè)平面S通過點(diǎn)P把該物體分成A、B兩個(gè)部

6、分，A和B兩個(gè)部分將產(chǎn)生相互作用力（就是內(nèi)力），它們是大小相等，方向相反。在平面S上取一個(gè)小面積?A，設(shè)作用于?A上的內(nèi)力為?Q，并假設(shè)在截面S上是連續(xù)分布的，則定義物體在截面S上P點(diǎn)的應(yīng)力為：,應(yīng)力s為一個(gè)矢量，其方向傾斜于小面積，可將s分解為沿法線方向的分量?和切線方向的分量?，稱?為正應(yīng)力，?為剪應(yīng)力。,如果有若干個(gè)平面經(jīng)過物體的同一點(diǎn)P，則不同截面在該點(diǎn)的應(yīng)力是不同的，為了解物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常在這一點(diǎn)取出一個(gè)平行六面

7、微元體PABC，它的六面垂直于坐標(biāo)軸，以此來研究該點(diǎn)的應(yīng)力，如圖所示。,,,,,,,,,,,,,,,來，結(jié)果和材料力學(xué)中的規(guī)定不是完全相同的。 由于微六面體處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力矩平衡方程，可以證明作用在微元體上的剪應(yīng)力存在互等關(guān)系：作用在兩個(gè)相互垂直的面上并且垂直于該兩面相交線的切應(yīng)力是互等的，不僅大小相等，而且正負(fù)號(hào)也相同，即,再根據(jù)三個(gè)軸向的力平衡方程，可以進(jìn)一步證明：作用在微正方體相對平行兩面上的正應(yīng)力

8、分量均大小相等、方向相反。 因此，可以用6個(gè)應(yīng)力分量來表示過P點(diǎn)微六面體的應(yīng)力狀態(tài)。,,,,,,,,,,,,,圖2-3 微元體的線應(yīng)變和切應(yīng)變,,,,,2.3 彈性力學(xué)的基本方程,彈性力學(xué)從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面對研究對象進(jìn)行分析，推導(dǎo)出物體內(nèi)應(yīng)力分量與體力、面力分量之間的關(guān)系式，應(yīng)變與位移之間的關(guān)系式，以及應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，分別稱為平衡微分方程、幾何方程和物理方程。[推導(dǎo)過程略],,式中：X

9、，Y，Z是單位體積上作用的體積力F在x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量,1.平衡微分方程,(2-1),,2. 幾何方程,在微小位移和微小變形的情況下，可以略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，則應(yīng)變矢量和位移矢量間的幾何關(guān)系有：,,,(2-2),,,,3. 變形協(xié)調(diào)方程,,,變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程，或叫相容方程，它描述了應(yīng)變之間存在的微分關(guān)系。變形協(xié)調(diào)方程描述了彈性體在外力作用下保持連續(xù)性，而不發(fā)生裂縫或重疊。由幾何方程可以推得：,4. 物理方程,,

10、,,(2-3),6. 邊界條件 在彈性力學(xué)中一個(gè)彈性體的表面邊界上存在三種可能的控制條件： ?三個(gè)垂直方向上都存在給定的位移； ?三個(gè)垂直方向上都存在給定的外力； ?三個(gè)垂直方向上給定的K（K=1或2）個(gè)位移，3-K個(gè)外力；,2.4 圣維南原理,在求解彈性力學(xué)問題時(shí)，對應(yīng)一定的邊界條件，得出相應(yīng)的解，表示一定的應(yīng)力狀態(tài)。如果邊界條件改變，則將得出不同的應(yīng)力分布狀態(tài)。

11、當(dāng)外部載荷比較復(fù)雜時(shí)，要使應(yīng)力分量完全滿足邊界條件是比較困難的，有時(shí)只好將邊界面上的力系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而將對問題的解答有所影響。 圣維南原理（局部影響原理）可以表述如下：如果物體一小部分邊界上的力系，用一個(gè)靜力等效（合力相等，合力矩偶相等）的力系代替，那么在新的力系作用下，僅在加載區(qū)域鄰近應(yīng)力有所改變，而距離,該區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎沒有影響。這是后面單元非節(jié)點(diǎn)載荷進(jìn)行等效移植的依據(jù)。,2.5 虛功及虛功方程,F,

12、,,,,(2-4),F,2.5 應(yīng)用彈性力學(xué)的簡化模型[2],,,,,彈性力學(xué)的任務(wù)是研究彈性體在外力和溫度變化等因素作用下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。工程界應(yīng)用的絕大多數(shù)材料幾乎都是彈性體，因此彈性力學(xué)是研究工程問題的基礎(chǔ)。嚴(yán)格的說，彈性體都是三維的，也就是空間立體結(jié)構(gòu)。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和求解的方便，常對其計(jì)算模型進(jìn)行簡化以便于付諸實(shí)施，這也是所有應(yīng)用學(xué)科研究中采用的方法。但這種簡化是有條件的，必須保證計(jì)算誤差在允許工程誤差范圍之內(nèi)。通過

13、這種簡化，將一般數(shù)學(xué)彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用彈性力學(xué)問題。,2.5.1 梁與桿,當(dāng)考察的構(gòu)件長度遠(yuǎn)大于截面尺寸，這類構(gòu)件稱為桿件，簡稱桿。軸線為直線的桿稱為直桿（包括等截面直桿和變截面直桿），否則為曲桿。 在 材料力學(xué)中，桿件可以承受剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。在有限元中，桿單元只能承受軸線方向的作用力，即承受軸線方向的拉伸和壓縮，因此又稱為二力桿；若是曲桿或還承受有剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲的桿件，均只能按梁單元處理。,2.5.2 平面

14、問題,當(dāng)結(jié)構(gòu)的形狀和受力狀態(tài)具有一定特點(diǎn)，導(dǎo)致應(yīng)力、應(yīng)變、位移可以近似看作是在一個(gè)平面內(nèi)發(fā)生時(shí)，這類工程問題就是平面問題，即二維問題。平面問題分為兩類：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。,（1）.平面應(yīng)力問題 對于具有如下特征的構(gòu)件，可作平面應(yīng)力問題處理：（1）幾何形狀特征 物體在一個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸原遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)坐標(biāo)方向的尺寸，如圖所示的薄板（2）載荷特種 在薄板的兩個(gè)側(cè)表面上無表面載荷，作用于邊緣的面力平行于板面

15、，且沿著厚度不發(fā)生變化（或沿厚度變化但是對稱于板的中間平面），體力也平行于板面且不沿著厚度變化。,,,,,,圖 2-5 平面應(yīng)力問題,,,,,,(2.5-1),,(2.5-2),,(2.5-3),F,,(2.5-4),（2）.平面應(yīng)變問題 對于具有如下特征的構(gòu)件，可作平面應(yīng)變問題處理：（1）幾何形狀特征 物體沿著一個(gè)坐標(biāo)軸（例如Z軸）方向的長度很長，且所有垂直Z軸的橫截面都相同，亦即為一個(gè)等直柱體；位移約束條件或支撐

16、條件沿著Z軸方向也是相同的；（2）載荷特種 柱體側(cè)表面承受的表面力以及體積力均是垂直于Z軸，而且分布規(guī)律是不隨Z軸變化。 這樣的柱體，可以認(rèn)為遠(yuǎn)離物體兩端的截面將沒有Z軸位移，而沿x和y方向的位移在各截面上都是相同的，任意截面上的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是x和y的函數(shù)，與Z無關(guān)，即?Z=0。如下圖所示。,圖2-6 平面形變問題,,,,,,,,,,(2.5-5),,(2.5-6),,,2.5.3 板與殼,在實(shí)際工程中，由兩個(gè)平

17、行平面和垂直于它們的柱面或棱柱面所圍成的構(gòu)件，當(dāng)其尺寸遠(yuǎn)小于平面的任意方向尺寸時(shí)，稱為板。兩個(gè)平行平面稱為板面，柱面或棱柱面稱為板邊，兩平行平面之間的距離稱為板厚，而平分板厚的平面稱板的中面。當(dāng)板厚與板面內(nèi)的最小特征尺寸之比>1/5時(shí)，稱厚板；當(dāng)板厚與板面內(nèi)的最小特征尺寸之比<1/80時(shí)，稱膜板；當(dāng)板厚與板面內(nèi)的最小特征尺寸之比介于1/80與1/5之間時(shí)，稱薄板。對于厚板，一般須做三維空間問題處理；對于膜板，由于平面的抗彎剛

18、度很小，基本上只能承受膜平面內(nèi)的張力可作為平面應(yīng)力問題處理。對于薄板，當(dāng)全部外載荷作用于中面內(nèi)而不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象時(shí)，它也,屬于平面應(yīng)力問題；當(dāng)全部外載荷都垂直于中面時(shí)，則主要發(fā)生彎曲變形。在板發(fā)生彎曲變形時(shí)，中面上各點(diǎn)沿垂直方向的位移，稱為板的撓度。如果撓度和板厚之比<=1/5，可以認(rèn)為是板的小撓度問題，否則為板的大撓度問題（屬于非線性問題）。,考察薄板小撓度彎曲理論的基本假設(shè)是由克?；舴?Kirchoff)提出，所以又稱為克?；舴?/p>

19、薄板理論或克?；舴虬澹闹饕僭O(shè)是：,圖2 -7 克?；舴虮“?(1) 變形前垂直于薄板中面的直線（法線），在薄板變形后仍保持為直線，且垂直于彎曲變形后的中面，在其板內(nèi)段的長度不變，這就是著名的直法線假設(shè)，它與材料力學(xué)中研究梁彎曲問題的平截面假定相似。根據(jù)這個(gè)假定，如果將板中的中面作為OXY平面，Z軸垂直向下，如圖所示2- ，則有,用撓度函數(shù)表示應(yīng)力為：,從幾何形狀考察，殼體與板的區(qū)別在于，板的中面是平面，曲率＝0，而殼

20、體中面是曲面，曲率不等于0。由于曲率的存在使殼體的幾何方程變得更為復(fù)雜。同樣殼體分為薄殼和厚殼。這里只介紹工程中常見的，也是最為簡單的薄殼。 薄殼理論是由樂普奠定的，它提出了兩個(gè)假設(shè)，即克?；舴颍瓨菲占僭O(shè)：（1）薄殼變形前與中曲面相垂直的直線，變形后仍位于已變形的中曲面的垂直線上，且保持其長度不變。（2）平行于中曲面面素上的正應(yīng)力與其它的應(yīng)力相比，可以忽略不計(jì) 以上假設(shè)為基礎(chǔ)的薄殼理論所包含的誤差與1相比