數(shù)學(xué)那些事兒

1、數(shù)學(xué)那些事兒,揚(yáng)州-王鋒峰新浪微博@歐拉的影子E-MAIL:wangfengfengcn@163.com,什么是數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)Mathematics（maths/math）源自于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，早期古希臘、古巴比倫、古埃及、古印度及中國古代都對(duì)數(shù)學(xué)有所研究。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過抽象化和邏輯推理的運(yùn)用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共

2、性和個(gè)性。,什么是數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)可以分成兩大類，一類叫純粹數(shù)學(xué)，一類叫應(yīng)用數(shù)學(xué)。 純粹數(shù)學(xué)也叫基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，專門研究數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部規(guī)律。中小學(xué)課本里介紹的代數(shù)、幾何、微積分、概率論知識(shí)，都屬于純粹數(shù)學(xué)。應(yīng)用數(shù)學(xué)則著眼于說明自然現(xiàn)象，解決實(shí)際問題，是純粹數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)之間的橋梁。大家常說現(xiàn)在是信息社會(huì)，專門研究信息的“信息論”，就是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一門重要的分支學(xué)科。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,在中國古代，數(shù)學(xué)叫作算術(shù)，又稱算學(xué)，最后才改為數(shù)學(xué)。中國古代的

3、算術(shù)是六藝之一（六藝中稱為“數(shù)”） 原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示一二三四的符號(hào)。到原始公社末期，已開始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專門的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。 魏晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束

4、縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《數(shù)術(shù)記遺》，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)得到較大發(fā)展，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下

5、得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,中國從明代開始進(jìn)入了封建社會(huì)的晚期，封建統(tǒng)治者實(shí)行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學(xué)，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。16世紀(jì)末以后，西方幾何學(xué)陸續(xù)傳入中國，與我國古代算術(shù)相結(jié)合，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個(gè)中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭以后，近代數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一

6、個(gè)以學(xué)習(xí)古代算術(shù)，幾何學(xué)以及西方現(xiàn)代數(shù)學(xué)為主的時(shí)期。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國，他與徐光啟翻譯了《幾何原本》 ，《幾何原本》是中國第一部數(shù)學(xué)翻譯著作，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞都是首創(chuàng)，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認(rèn)為對(duì)它“不必疑”、“不必改”，“舉世無一人不當(dāng)學(xué)”?！稁缀卧尽肥敲髑鍍纱鷶?shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書，對(duì)他們的研究工作頗有影響。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,在翻譯西方數(shù)學(xué)著作的同時(shí)，中國學(xué)者也進(jìn)行一些研究，寫出一些著

7、作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》、《考數(shù)根法》；夏彎翔的《洞方術(shù)圖解》、《致曲術(shù)》、《致曲圖解》等等，都是會(huì)通中西學(xué)術(shù)思想的研究成果?！按鷶?shù)”這個(gè)詞在中文中出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，之后一直沿用。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,由于輸入的近代數(shù)學(xué)需要一個(gè)消化吸收的過程，加上清末統(tǒng)治者十分腐敗，在太平天國運(yùn)動(dòng)的沖擊下，在帝國主義列強(qiáng)的掠奪

8、下，焦頭爛額，無暇顧及數(shù)學(xué)研究。直到1919年五四運(yùn)動(dòng)以后，中國近代數(shù)學(xué)的研究才真正開始。中國近3年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來(1915年轉(zhuǎn)留法)，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第

9、一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級(jí)數(shù)論，熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵

10、的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,1949年11月即成立中國科學(xué)院。1951年3月《中國數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊(1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》)1951年10月《中國數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊(1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》)。1951年8月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開建國后第一次全國代表大會(huì)，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問題

11、。 50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》(1953)、蘇步青的《射影曲線概論》(1954)、陳建功的《直角函數(shù)級(jí)數(shù)的和》(1954)和李儼的《中算史論叢》(5輯，1954-1955)等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時(shí)培養(yǎng)和成長起一大

12、批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,60年代后期，中國的數(shù)學(xué)研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對(duì)外交流中斷，后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版，并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》。,中國的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程,1973年陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見。19

13、78年11月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開第三次代表大會(huì)，標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國數(shù)學(xué)競賽，1985年中國開始參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽。,數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分。代數(shù)學(xué)可以說是最為人們廣泛接受的“數(shù)學(xué)”?？梢哉f每一個(gè)人從小時(shí)候開始學(xué)數(shù)數(shù)起，最先接觸到的數(shù)學(xué)就是代數(shù)學(xué)。而數(shù)學(xué)作為一個(gè)研究“數(shù)”的學(xué)科，代數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)最重要的組成部分之一。幾何學(xué)則是最早開始被人們研究的數(shù)學(xué)分支。,數(shù)學(xué)的發(fā)

14、展歷程,數(shù)學(xué)的演進(jìn)大約可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展，或是題材的延展。而東西方文化也采用了不同的角度，歐洲文明發(fā)展出來幾何學(xué)，而中國則發(fā)展出算術(shù)。第一個(gè)被抽象化的概念大概是數(shù)字（中國的算籌）。古時(shí)，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了研究天文，土地糧食作物的合理分配，稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)的計(jì)算。數(shù)學(xué)也就是為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測(cè)量土地，以及為了預(yù)測(cè)天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時(shí)間方面的研究。,數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,西歐從

15、古希臘到16世紀(jì)經(jīng)過文藝復(fù)興時(shí)代，初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。但尚未出現(xiàn)極限的概念。 17世紀(jì)在歐洲變量概念的產(chǎn)生，使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在經(jīng)典力學(xué)的建立過程中，結(jié)合了幾何精密思想的微積分的方法被發(fā)明。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域也開始慢慢發(fā)展。,數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,這要直到16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，將當(dāng)時(shí)完全分開的代數(shù)和

16、幾何學(xué)聯(lián)系到了一起。從那以后，我們終于可以用計(jì)算證明幾何學(xué)的定理；同時(shí)也可以用圖形來形象的表示抽象的代數(shù)方程。而其后更發(fā)展出更加精微的微積分。,數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,現(xiàn)時(shí)數(shù)學(xué)已包括多個(gè)分支。創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派則認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)有三種基本的母結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域，格……）、序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……）、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維

17、數(shù)……）。,數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,具體的，有用來探索由數(shù)學(xué)核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：由邏輯、集合論（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）、至不同科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)上的數(shù)學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)）、以較近代的對(duì)于不確定性的研究（混沌、模糊數(shù)學(xué)）。,數(shù)學(xué)符號(hào),也許我國古代的算籌是世界上最早使用的符號(hào)之一，起源于商代的占卜。我們現(xiàn)今所使用的大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來的。在此之前，數(shù)學(xué)是用文字書寫出來，這是個(gè)會(huì)限制住數(shù)學(xué)發(fā)展的刻苦程序?，F(xiàn)今的符號(hào)使得數(shù)學(xué)對(duì)于人們而言

18、更便于操作，但初學(xué)者卻常對(duì)此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號(hào)包含著大量的訊息。如同音樂符號(hào)一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號(hào)有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。,數(shù)學(xué)的分支,基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 數(shù)論 代數(shù)學(xué) 幾何學(xué) 拓?fù)鋵W(xué)（投射到應(yīng)用數(shù)學(xué)中時(shí)就是圖論） 函數(shù)論 泛函分析 常微分方程 偏微分方程 數(shù)學(xué)物理 概率論 組合數(shù)學(xué) 數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ),數(shù)學(xué)的分支,應(yīng)用數(shù)學(xué) 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 運(yùn)籌學(xué) 控制論 若干交叉學(xué)科 計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)

19、基礎(chǔ)計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算 偏微分方程數(shù)值計(jì)算 初邊值問題數(shù)值解法及應(yīng)用 非線性微分方程及其數(shù)值解法 邊值問題數(shù)值解法及其應(yīng)用 有限元、邊界元數(shù)值方法 變分不等式的數(shù)值方法 辛幾何差分方法 數(shù)理方程反問題的數(shù)值解法 常微分方程數(shù)值解法及其應(yīng)用 數(shù)值代數(shù) 函數(shù)逼近 計(jì)算幾何 新型算法,莫比烏斯帶,莫比烏斯帶（英語：Möbius strip，德語：Möbiusband），又譯梅比斯環(huán)或麥比烏斯

20、帶，是一種拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)，它只有一個(gè)面（表面），和一個(gè)邊界。它是由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家莫比烏斯和約翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。這個(gè)結(jié)構(gòu)可以用一個(gè)紙帶旋轉(zhuǎn)半圈再把兩端粘上之后輕而易舉地制作出來。事實(shí)上有兩種不同的莫比烏斯帶鏡像，他們相互對(duì)稱。如果把紙帶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)再粘貼，就會(huì)形成一個(gè)右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質(zhì)。如果從中間剪開一個(gè)莫比烏斯帶，

21、不會(huì)得到兩個(gè)窄的帶子，而是會(huì)形成一個(gè)把紙帶的端頭扭轉(zhuǎn)了兩次再結(jié)合的環(huán)（并不是莫比烏斯帶），再把剛剛做出那個(gè)把紙帶的端頭扭轉(zhuǎn)了兩次再結(jié)合的環(huán)從中間剪開，則變成兩個(gè)環(huán)。如果你把帶子的寬度分為三分，并沿著分割線剪開的話，會(huì)得到兩個(gè)環(huán)，一個(gè)是窄一些的莫比烏斯帶，另一個(gè)則是一個(gè)旋轉(zhuǎn)了兩次再結(jié)合的環(huán)。另外一個(gè)有趣的特性是將紙帶旋轉(zhuǎn)多次再粘貼末端而產(chǎn)生的。比如旋轉(zhuǎn)三個(gè)半圈的帶子再剪開后會(huì)形成一個(gè)三葉結(jié)。剪開帶子之后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后重新粘貼則會(huì)變成數(shù)個(gè)

22、Paradromic。莫比烏斯帶常被認(rèn)為是無窮大符號(hào)“∞”的創(chuàng)意來源，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來。但是這是一個(gè)不真實(shí)的傳聞，因?yàn)椤啊蕖钡陌l(fā)明比莫比烏斯帶還要早。,莫比烏斯帶,“莫比烏斯帶”在生活和生產(chǎn)中已經(jīng)有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會(huì)只磨損一面了。如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問

23、題了，磁帶就只有一個(gè)面了。它還能平坦的嵌入四維空間 和莫比烏斯帶非常近似的一個(gè)幾何學(xué)物體叫做克萊因瓶。,莫比烏斯帶,在日本漫畫《哆啦A夢(mèng)》中，哆啦A夢(mèng)有個(gè)道具的外觀就是莫比烏斯帶；在故事中，只要將這個(gè)環(huán)套在門把上，則外面的人進(jìn)來之后，看到的依然是外面。 1988年在日本上映的動(dòng)畫電影機(jī)動(dòng)戰(zhàn)士高達(dá) 逆襲的夏亞以莫比烏斯帶作為對(duì)命運(yùn)的隱喻：人類就好比行走在莫比烏斯帶上的螞蟻一般，永遠(yuǎn)逃不出這個(gè)怪圈，不斷重復(fù)著相同的錯(cuò)誤，類同的悲劇也在不

24、斷地上演。,數(shù)學(xué)悖論,,圓周率π（pi）,,群,,線性代數(shù),線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來表示。含有 n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題

25、是最簡單的線性問題。,線性代數(shù),由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，現(xiàn)代意義的線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。,四色猜想,四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？

26、他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個(gè)問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請(qǐng)教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)

27、會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色 猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn) 。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識(shí)到，

28、這個(gè)貌似容易的題目, 實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力，為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。,四色猜想,進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了

29、50國?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計(jì)算機(jī)證明，轟動(dòng)了世界。它不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。不過也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋

30、找一種簡捷明快的書面證明方法。,哥德巴赫猜想,在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請(qǐng)教赫赫有名的大數(shù)學(xué)家歐拉幫忙證明，但是一直到死，歐拉也無法證明。[1]因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。今日常見的猜想陳述為

31、歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"。,哥德巴赫猜想,“正如在你給我的來信中所觀察到的那樣，每個(gè)偶數(shù)看來是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，還蘊(yùn)藏著每個(gè)數(shù)如果是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，

32、則它可以是任意多個(gè)素?cái)?shù)之和，個(gè)數(shù)由你而定。如果給定一個(gè)偶數(shù)n，則它是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，對(duì)n-2也是如此，則n是三到四個(gè)素?cái)?shù)之和。如果n是奇數(shù)，則它一定是三個(gè)素?cái)?shù)之和，因?yàn)閚-1是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。所以，n是一個(gè)任意多個(gè)素?cái)?shù)之和。雖然我現(xiàn)在還不能證明，但我肯定每個(gè)偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。......”,哥德巴赫猜想,用“a+b”來表示如下命題：每個(gè)大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"

33、1+1"。 “a + b”問題的推進(jìn)1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。1937年，意大利的蕾西先后證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。1956年，中國的王元證明了“

34、3 + 4”。稍后證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。,哥德巴赫猜想,（徐遲的報(bào)告文學(xué)）中一段話-“自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)

35、的皇冠是數(shù)論。哥德巴赫猜想，則是皇冠上的明珠”。,哥德巴赫猜想,業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對(duì)的。實(shí)際上他們就是“證明”了例外偶數(shù)是零密度。這個(gè)結(jié)論華老早在60年前就真正證明出來了。 哥德巴赫猜想 （徐遲的報(bào)告文學(xué)）……為革命鉆研技術(shù)，分明是又紅又專，被他們攻擊為白專道路”?！?一九七八年兩報(bào)一刊元旦社論《光明的中國》,哥德巴赫猜想,早在他的論文發(fā)表時(shí)，西方記者迅即獲悉，電訊傳遍全球。國際

36、上的反響非常強(qiáng)烈。英國數(shù)學(xué)家哈勃斯丹和西德數(shù)學(xué)家李希特的著作《篩法》正在印刷所校印。他們見到了陳景潤的論文立即要求暫不付印，并在這部書里加添了一章，第十一章：“陳氏定理”。他們譽(yù)之為篩法的“光輝的頂點(diǎn)”。在國外的數(shù)學(xué)出版物上，諸如“杰出的成就”、“輝煌的定理”，等等，不勝枚舉。一個(gè)英國數(shù)學(xué)家給他的信里還說，“你移動(dòng)了群山！”,哥德巴赫猜想,這個(gè)陳氏定理有什么用處呢？它在哪些范圍內(nèi)有用呢？大凡科學(xué)成就有這樣兩種：一種是經(jīng)濟(jì)價(jià)值明顯，可以

37、用多少萬，多少億人民幣來精確地計(jì)算出價(jià)值來的，叫做“有價(jià)之寶”；另一種成就是在宏觀世界、微觀世界、宇宙天體、基本粒子、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國防科研、自然科學(xué)、辯證唯物主義哲學(xué)等等等等之中有這種那種作用，其經(jīng)濟(jì)價(jià)值無從估計(jì)，無法估計(jì)，沒有數(shù)字可能計(jì)算的，叫做“無價(jià)之寶”，例如，這個(gè)陳氏定理就是。,混沌,蝴蝶效應(yīng),分形,分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。19

38、73年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形的設(shè)想。,分形,,進(jìn)制,進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法，十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一，二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一,進(jìn)制,二進(jìn)制1） 二進(jìn)制數(shù)中只有兩個(gè)字符0和1，表示具有兩個(gè)不同穩(wěn)定狀態(tài)的元器件。例如，電路中有，無電流，有電流用1表示，無電流用0表示。類似的還比如電路中電壓的高，低，晶體管的導(dǎo)通和截止等。2） 二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算簡單，大大

39、簡化了計(jì)算中運(yùn)算部件的結(jié)構(gòu)。,進(jìn)制,十二進(jìn)制來源：傳說是十個(gè)手指頭加兩只腳。這是過去規(guī)定的，現(xiàn)在規(guī)定一打dozen為12個(gè)。六十進(jìn)制來源：古代人由于生產(chǎn)勞動(dòng)的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時(shí)間和角度了。因?yàn)闅v法需要的精確度較高，時(shí)間的單位小時(shí)，角度的單位度都嫌太大。必須進(jìn)一步研究他們的小數(shù)。它們的小數(shù)都具有這樣的性質(zhì)︰使1/2,1/3,1/4,1/5,1/6等都能成為他的整數(shù)倍。以1/60作為單位，就正好具有這個(gè)性質(zhì)。,近代數(shù)學(xué)發(fā)展

40、史三大難題,四色猜想費(fèi)馬最后定理 （費(fèi)馬大定理 ）哥德巴赫猜想,數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4名最偉大的數(shù)學(xué)家,阿基米德牛頓歐拉高斯,希爾伯特二十三問,1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯?，這就是著名的"希爾伯特23個(gè)問題"。,千禧年大獎(jiǎng)難題,千禧年大獎(jiǎng)難題(Millennium Prize Problems), 又稱世界七大數(shù)學(xué)難題， 是七個(gè)由美國克雷數(shù)學(xué)研究所(Cl

41、ay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的數(shù)學(xué)猜想。根據(jù)克雷數(shù)學(xué)研究所訂定的規(guī)則，任何一個(gè)猜想的解答，只要發(fā)表在數(shù)學(xué)期刊上，并經(jīng)過兩年的驗(yàn)證期，解決者就會(huì)被頒發(fā)一百萬美元獎(jiǎng)金。這些難題是呼應(yīng)1900年德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在巴黎提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題。,數(shù)學(xué)精神,數(shù)學(xué)語言亦對(duì)初學(xué)者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思，亦困惱著初學(xué)者，如開放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的

42、意思。數(shù)學(xué)術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號(hào)和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學(xué)家將此對(duì)語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”。嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分。數(shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯(cuò)誤的“定理”或"證明"，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時(shí)間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的

43、論點(diǎn)，但在牛頓的時(shí)代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)。牛頓為了解決問題所作的定義，到了十九世紀(jì)才讓數(shù)學(xué)家用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治黾罢降淖C明妥善處理。今日，數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度。當(dāng)大量的計(jì)算難以被驗(yàn)證時(shí)，其證明亦很難說是有效地嚴(yán)謹(jǐn)。,數(shù)學(xué)精神,經(jīng)典的數(shù)學(xué)優(yōu)美，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)除了優(yōu)美，更有壯美。然而數(shù)學(xué)的精神，自從發(fā)皇于古希臘，古今一貫，從未中絕，一切的現(xiàn)代學(xué)問中，最能守持古典精神的，仍是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)家的精神毋寧說是詩人的或哲學(xué)家的。他們是

44、發(fā)現(xiàn)和謳歌自然秩序的美的詩人，是尋找精神歸宿和營造精神家園的哲人。,數(shù)學(xué)名言,萬物皆數(shù)——畢達(dá)哥拉斯 數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性： 它們極易從事實(shí)中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深。數(shù)學(xué)是科學(xué)之王?！咚?音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！巳R因,數(shù)學(xué)名言,Mathematicians have tried in vain to this

45、 day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate.——Euler （歐拉）,資料參考源,百度百科維基百科,感謝大家Thank for all,笛卡爾,,陳景潤,,歐拉

46、,萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾，1783年9月18日于俄國圣彼得堡去世。歐拉出生于牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八

47、百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作。歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。[1]此外歐拉還涉及建筑學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)等領(lǐng)域。瑞士教育與研究國務(wù)秘書Charles Kleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，今天的我們將過著完全不一樣的生活。”法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯則認(rèn)為：

48、讀讀歐拉，他是所有人的老師。,歐拉,歐拉在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域，包括微積分和圖論都做出過重大發(fā)現(xiàn)。他引進(jìn)的許多數(shù)學(xué)術(shù)語和書寫格式，例如函數(shù)的記法"f(x)"[1]，一直沿用至今。此外，他還在力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科有突出的貢獻(xiàn)。,歐拉,歐拉年輕時(shí)曾研讀神學(xué)，他一生虔誠、篤信上帝，并不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發(fā)表。有一個(gè)廣泛流傳的傳說說到，歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷里，挑戰(zhàn)當(dāng)時(shí)造訪宮廷的無神論者德尼·狄德羅

49、：“先生， ，所以上帝存在，請(qǐng)回答！”不懂?dāng)?shù)學(xué)的德尼完全不知怎么應(yīng)對(duì)，只好投降。但是由于狄德羅事實(shí)上也是一位有作為的數(shù)學(xué)家，這個(gè)傳說有可能屬于虛構(gòu)。,歐拉,在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄．歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之

50、久．歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時(shí)代筆記的內(nèi)容，心算并不限于簡單的運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成．有一個(gè)例子足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個(gè)單位，歐拉為了確定究竟誰對(duì)，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題．,歐拉,從2008年以來，一種名為“數(shù)獨(dú)”的填數(shù)游戲風(fēng)靡全球，其來源卻