周-力學(xué)量與算符關(guān)系

1、（一）力學(xué)量的可能值,（二）力學(xué)量的平均值,（1） 力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系 （2） 力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率 （3） 力學(xué)量有確定值的條件,算符與力學(xué)量的關(guān)系,（三）例題,測得每個本征值λn的幾率是多少？也就是說，哪些本征 值能夠測到，對應(yīng)幾率是多少，哪些測不到，幾率為零。,（一）力學(xué)量的可能值,量子力學(xué)假定: 在任意態(tài)ψ(r)中測量任一力學(xué)量 F，所得的結(jié)果只能是由算符 F 的本征方程,解得的本征值λn之一。,

2、?,2. 是否會出現(xiàn)各次測量都得到同一個本征值，即有確定值。,假設(shè)本征值是離散的,要解決上述問題，我們還得從討論本征函數(shù)的另一重要性質(zhì)入手。,(1) 力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系,1. 函數(shù)的完備性,例如：動量本征函數(shù) 組成完備系,2. 力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系,(I) 滿足一定條件的厄密算符其本征函數(shù)組成完備系 即若：,則任意函數(shù)ψ(x) 可 按φn(x) 展開：,(II) 除上面提到的動量本征函數(shù)外,人們已經(jīng)證明

3、了一些力學(xué)量算符的本征函數(shù)也構(gòu)成完備系，如下表所示：,量子力學(xué)：一切力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成完備系。,（2） 力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率,在一般狀態(tài) ?(x) 中測量力學(xué)量F，將會得到哪些值，即測量的可能值及其每一可能值對應(yīng)的幾率。,根據(jù)量子力學(xué)基本假定III，測力學(xué)量 F 得到的可能值必是力學(xué)量算符 F的本征值 λn n = 1,2,..之一,該本征值由本征方程確定：,每一本征值λn各以一定幾率出現(xiàn)。 那末這些幾率究竟是多少呢？,?,

4、展開系數(shù) cn 與x無關(guān)。,,討論：,與波函數(shù)ψ(x) 按動量本征函數(shù) 展開式比較二者完全相同,ψ(x) 是坐標(biāo)空間的波函數(shù)； c (p) 是動量空間的波函數(shù)；則 { cn } 則是 F 空間的波函數(shù)，,由于φn(x)組成完備系，所以體系 任一狀態(tài)ψ(x)可按其展開：,證明：當(dāng)ψ(x)已歸一時，c(p) 也是歸一的，同樣 cn 也歸一。,證：,所以|cn|2 具有幾率的意義，cn 稱為幾率振幅。我們知道|ψ(x)|2 表示

5、在x點找到粒子的幾率密度，|c(p)|2 表示粒子具有動量 p 的幾率，那末同樣，|cn|2 則表示 F 取 λn 的幾率。,綜上所述，量子力學(xué)作如下假定：,任何力學(xué)量算符 F 的本征函數(shù)φn(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)ψ(x)中測量力學(xué)量 F 得到本征值λn 的幾率等于ψ(x)按φn(x)展開式中對應(yīng)本征函數(shù)φn(x)前的系數(shù) cn 的絕對值平方。,（3） 力學(xué)量有確定值的條件,推論：當(dāng)體系處于ψ(x) 態(tài)時，測量力學(xué)量F

6、具有確定值的充要條件是ψ(x) 必須是算符 F的一個本征態(tài)。,證：,1. 必要性。若F具有確定值λ 則ψ(x) 必為 F 的本征態(tài)。,確定值的意思就是 每次測量都為λ 。,根據(jù)基本假定III，測量值必為本征值之一， 令λ =λm 是 F 的一個本征值，滿足本征方程,又φn(x) 組成完備系，,相應(yīng)幾率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。,現(xiàn)在只測得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=

7、0（除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= ?m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一個本征態(tài)。,2. 充分性若ψ(x)是F的一個本征態(tài),即ψ(x)= φm(x)，則 F 具有確定值。,根據(jù)基本假定IV，力學(xué)量算符 F的本征函數(shù)組成完備系。,測得λn 的幾率是 |cn|2。,因為,表明，測量 F 得λm 的幾率為 1， 因而有確定值。,,力學(xué)量平均值就是指多次測量的平均結(jié)果，如測量長度 x，測了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次

8、得 x2，則 10 次測量的平均值為：,在任一態(tài)ψ(x)中測量某力學(xué)量 F 的平均值（在理論上）,此式等價于 以前的平均 值公式：,（二）力學(xué)量的平均值,波函數(shù)是已 歸一化,如果波函數(shù)未歸一化,則,波函數(shù)和算符必須同一變量的函數(shù),,例1：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài),試問： （1）Ψ是否是 L2 的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是 Lz 的本征態(tài)？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 Ψ 態(tài)中分別測量 L2

9、和 Lz 時得到的可能值及其相應(yīng)的 幾率。,解：,Ψ沒有確定的L2 的本征值，故Ψ 不是 L2 的本征態(tài)。,Ψ是 Lz 的本征態(tài)，本征值為 ?。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,驗證歸一化：,,歸一化波函數(shù),方法 II,（4）,例2 設(shè)t=0 時，粒子的狀態(tài)為?(x) = A [ sin2kx+(1/2)coskx ]求粒子的平均動量和平均動能。,解：,可寫成單色平面波的疊加,比較二式，因單色平面波動量有

10、確定值：,或：,從而得：,,歸一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有動量為 pi 的幾率，于是就可以計算動量和動能的平均值了。,（1）動量平均值,（2）動能平均值,,定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平 均值必為實數(shù),證：,,（一）厄密算符的平均值,逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù) 的算符必為厄密算符,（1）漲落,于是有:,證明：,（二）厄密算符的本征方程,厄密算符平方的平均值一定大于等于零,,（2

11、）力學(xué)量的本征方程,若體系處于一種特殊狀態(tài)， 在此狀態(tài)下測量F所得結(jié)果 是唯一確定的，即：,則稱這種狀態(tài)為力學(xué)量 F 的本征態(tài)。,可把常數(shù)記為Fn，把狀態(tài) 記為ψn，于是得：,其中Fn, ψn 分別稱為算符 F的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時，ψ 作為力學(xué)量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,定理II：厄密算符的本征值必為實數(shù),當(dāng)體系處于 F 的本征態(tài)ψn 時，則每次測量結(jié)果

12、都是Fn 。由 本征方程可以看出，在ψn（設(shè)已歸一）態(tài)下,證,根據(jù)定理 I,（1）正交性,定理III： 厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交,證：,設(shè),取復(fù)共軛，并注意到 Fm 為實。,,兩邊右乘 φn 后積分,（三）厄密算符的本征函數(shù)的正交性,二式相減 得：,若Fm≠Fn，則必有：,非簡并情況,（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式,分立譜正 交歸一條 件為：,連續(xù)譜正 交歸一條 件表示為：,正交歸一系,滿足上式的函數(shù)系

13、φn 或φλ 稱為正交歸一（函數(shù)）系。,（4）簡并情況,上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設(shè) 這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。,如果 F 的本征值Fn是f度簡并的，則對應(yīng)Fn有f個本征函數(shù)：φn1 ,φn2 , ..., φnf,滿足本征方程：,一般說來，這些函數(shù) 并不一定正交。,證明分如下兩步進(jìn)行,1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函數(shù)。,2. 滿足正交歸一條件的 f 個新函數(shù)ψn j可以組成。,,1. ψnj是

14、本征值Fn的本征函數(shù)。,2. 滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)ψnj可以組成。,方程的歸一化條件有 f 個，正交條 件有f(f-1)/2 個，所以共有獨立方 程數(shù)為二者之和等于 f(f+1)/2 。,為此只需證明線性 疊加系數(shù) Aji 的個 數(shù) f 2 大于或等于 正交歸一條件方程 個數(shù)即可。,算符 F 本征值 Fn簡并的本質(zhì)是： 當(dāng) Fn 確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學(xué)量算符，F(xiàn) 算符

15、與這些算符兩兩對易，其本征值與 Fn 一起共同確定狀態(tài)。,綜合上述討論可得如下結(jié)論： 既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。,因為 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，,所以，方程個數(shù)少于待定系數(shù) Aji 的個數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這 f 2 個系數(shù)使上式成立。f 個新函數(shù)Ψnj 的確是算符 F 對應(yīng)于本征值 Fn

16、的正交歸一化的本征函數(shù)。,,（2）線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系,（1）動量本征函數(shù)組成正交歸一系,（3）角動量本征函數(shù)組成正交歸一系,1. Lz 本征函數(shù),2. L2本征函數(shù),（4）氫原子波函數(shù)組成正交歸一系,（四）實例,共同本征函數(shù),（一）兩力學(xué)量同時有確定值的條件（二）兩算符對易的物理含義 （三）力學(xué)量完全集合,（一）兩力學(xué)量同時有確定值的條件,體系處于體系任意狀態(tài) ?（x）時，力學(xué)量 F 一般沒有確定值。,如果力學(xué)量

17、 F 有確定值， ?（x）必為 F 的本征態(tài)，即,如果有另一個力學(xué)量 G 在 ? 態(tài)中也有確定值， 則 ? 必也是 G 的一個本征態(tài)，即,結(jié)論：,當(dāng)在 ? 態(tài)中測量力學(xué)量 F 和 G 時，如果兩者同時具有確定值，那么? 必是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。,（二）兩算符對易的物理含義,,是特定函數(shù)，非任意函數(shù),考察前面二式：,?,二力學(xué)量共同本征函數(shù),對易,？,例如：,= 0 的態(tài)，Y ? m = Y00 Lx Lz 同時有確定值。,如果

18、兩個力學(xué)量的共同本征函數(shù)不止一個，而是一組且構(gòu)成完備系，此時二力學(xué)量算符必可對易。,定理：若兩個力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則二算符對易。,證：,由于 ?n 組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù) ?(x) 可以按其展開：,則,因為 ?(x) 是任意函數(shù),逆定理：如果兩個力學(xué)量算符對易，則此二算符 有組成完備系的共同的本征函數(shù)。,證：,考察：,?n 也是 G 的本征函數(shù)，同理 F 的所有本征函數(shù)

19、 ?n （ n = 1，2，… )也都是 G 的本征函數(shù),因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系.,（僅考慮非簡并情況）,,與 ?n 只差一常數(shù) Gn,定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。,例 1：,例 2：,例 3：,例 4：,,（三）力學(xué)量完全集合,（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué) 量算符的最小（數(shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。,例 1：,三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需

20、要三個兩兩對易的力學(xué)量：,例 2：,氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：,例 3：,一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：,（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。,（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的 一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。,測不準(zhǔn)關(guān)系,（一）測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) （二）坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系（三）角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系,（一）測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推

21、導(dǎo),（1）引,由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對易則同時有確定值；若不對易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有確定值。,問題：,兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？,不確定度：,測量值 Fn 與平均值 的偏差的大小。,（1）測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo),證：,,II 測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo),設(shè)二厄密算符對易關(guān)系為：,是算符或普通數(shù),,最后有：,,對任意實數(shù) ? 均成立,由代數(shù)二次式理論可知，該不等

22、式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：,兩個不對易算符均方偏差關(guān)系式,測不準(zhǔn)關(guān)系,均方偏差,其中：,,,（二）坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系,表明：坐標(biāo)與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大。,（1）測不準(zhǔn)關(guān)系,（2）線性諧振子的零點能,,振子能量,被積函數(shù)是x 的奇函數(shù),?n 為實,?處 ?n =0,,于是：,,二均方偏差不能同時為零，故 E 最小值也不能是零。,為求 E 的最小值，取式中等號。,則：,求極值：,解得：,因均方偏

23、差不能小于零，故取正,零點能就是測不準(zhǔn)關(guān)系所要求的最小能量,（三）角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系,例1：利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在 Lz 本征態(tài) Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0,證：,由于在 Lz 本征態(tài) Ylm 中，測量力學(xué)量 Lz 有確定值，所以Lz 均方偏差必為零，即,則測不準(zhǔn)關(guān)系：,平均值的平方為非負(fù)數(shù),欲保證不等式成立，必有：,同理：,例2：L2，LZ 共同本征態(tài) Ylm 下，求測不準(zhǔn)關(guān)系：,解：,由例1 可知：,由對易關(guān)系：,等式