《最優(yōu)化方法》課件

1、《最優(yōu)化方法》碩士研究生課程,計(jì)劃學(xué)時(shí)數(shù)：36學(xué)時(shí)教材：最優(yōu)化方法，解可新，韓立興，林友聯(lián)，天津大學(xué)出版社，1998。主要參考書目：[1]最優(yōu)化原理與方法，薛嘉慶，冶金工業(yè)出版社，1986。[2]最優(yōu)化計(jì)算方法，席少霖，趙鳳治，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983。[3]非線性方程組解法與最優(yōu)化方法，王德人，高等教育出版社，1985。[4]非線性規(guī)劃，胡毓 達(dá)，高等教育出版社，1990,最優(yōu)化原理與方法第一章 最優(yōu)化原理建模

2、與數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí),最優(yōu)化技術(shù)是一門較新的學(xué)科分支。它是在本世紀(jì)五十年代初在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的推動(dòng)下才得到迅速發(fā)展，并成為一門直到目前仍然十分活躍的新興學(xué)科。最優(yōu)化所研究的問(wèn)題是在眾多的可行方案中怎樣選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)。 將達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案稱為最優(yōu)方案或最優(yōu)決策，搜尋最優(yōu)方案的方法稱為最優(yōu)化方法，關(guān)于最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)理論稱為最優(yōu)化論。 最優(yōu)化問(wèn)題至少有兩要素：一是可能的方案；二是要追求的目標(biāo)。后

3、者是前者的函數(shù)。如果第一要素與時(shí)間無(wú)關(guān)就稱為靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題，否則稱為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。 本科程專門講授靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。,§1 引言,最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛，在我們?nèi)粘Ｉ钪?，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、國(guó)防、航空航天工業(yè)中處處可見(jiàn)其用途。 比如我們自己所接觸過(guò)的課題有：結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)、電子器件最優(yōu)設(shè)計(jì)、光學(xué)儀器最優(yōu)設(shè)計(jì)、化工工程最優(yōu)設(shè)計(jì)、標(biāo)腔最優(yōu)配方、運(yùn)輸方案、機(jī)器最優(yōu)配備、油田開(kāi)發(fā)、水庫(kù)調(diào)度、飼料最優(yōu)

4、配方、食品結(jié)構(gòu)優(yōu)化等等。,因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)本科程時(shí)要盡可能了解如何由實(shí)際問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。 為了便于大家今后在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，下面我們先把有關(guān)數(shù)學(xué)模型的一些事項(xiàng)作一些說(shuō)明。,最優(yōu)化技術(shù)工作被分成兩個(gè)方面，一是由實(shí)際生產(chǎn)或科技問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，二是對(duì)所形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)加工和求解。對(duì)于第二方面的工作，目前已有一些較系統(tǒng)成熟的資料，但對(duì)于第一方面工作即如何由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型，目前很少有系統(tǒng)的資料，

5、而這一工作在應(yīng)用最優(yōu)化技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)是十分關(guān)鍵的基礎(chǔ)，沒(méi)有這一工作，最優(yōu)化技術(shù)將成為無(wú)水之源，難以健康發(fā)展。,所謂數(shù)學(xué)模型就是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物或問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象或描述。 建立數(shù)學(xué)模型時(shí)要盡可能簡(jiǎn)單，而且要能完整地描述所研究的系統(tǒng)，但要注意到過(guò)于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)果可能不符合實(shí)際情況，而過(guò)于詳細(xì)復(fù)雜的模型又給分析計(jì)算帶來(lái)困難。因此，具體建立怎樣的數(shù)學(xué)模型需要豐富的經(jīng)驗(yàn)和熟練的技巧。即使在建立了問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型之后，通常也

6、必須對(duì)模型進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化以便于分析、計(jì)算。 一般的模型簡(jiǎn)化工作包括以下幾類： （1）將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量。 （2）將非線性函數(shù)線性化。 （3）刪除一些非主要約束條件。,建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素： （1）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機(jī)性的。 （2）約束或限制條件。 由于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量

7、限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來(lái)表示的。 （3）目標(biāo)函數(shù)。 這是作為系統(tǒng)決策變量的一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。,§2 最優(yōu)化問(wèn)題,最優(yōu)化在物質(zhì)運(yùn)輸、自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、采礦冶金、經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。下面舉幾個(gè)專業(yè)性不強(qiáng)的實(shí)例。 例1.把半徑為1的實(shí)心金屬球熔化后，鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體，問(wèn)圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最??？

8、解：決定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量：圓柱體底面半徑r、高h(yuǎn)。 問(wèn)題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即,即 即 問(wèn)題追求的目標(biāo)是圓柱體表面積最小。即 min 則得原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型： s.t.

9、 Subject to.固定. 利用在高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的Lagrange乘子法可求解本問(wèn)題 分別對(duì)r.h.λ求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零.有:,此時(shí)圓柱體的表面積為 例2.多參數(shù)曲線擬合問(wèn)題 已知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴關(guān)系為: 其中 和 待定參數(shù),為確定這些參數(shù),,對(duì)x.y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn):試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題.解:很顯

10、然對(duì)參數(shù) 和 任意給定的一組數(shù)值,就由上式確定了 y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,在幾何上它對(duì)應(yīng)一條曲線,這條曲線不一定通過(guò)那m個(gè)測(cè)量點(diǎn),而要產(chǎn)生“偏差”.將測(cè)量點(diǎn)沿垂線方向到曲線的距離的平方和作為這種“偏差”的度量.即顯然偏差S越小,曲線就擬合得越好,說(shuō)明參數(shù)值就選擇得越好，從而我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為5維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。即：,,,,,,,,例3：兩桿桁架的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

11、由兩根空心圓桿組成對(duì)稱的兩桿桁架，其頂點(diǎn)承受負(fù)載為2p，兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為B，桿的比重為ρ，彈性模量為E，屈吸強(qiáng)度為δ。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,受力分析圖,圓桿截面圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,桁桿示意圖,,,,,,,解：桁桿的截面積為 ： 桁桿的總重量為：

12、 負(fù)載2p在每個(gè)桿上的分力為： 于是桿截面的應(yīng)力為： 此應(yīng)力要求小于材料的屈吸極限，即 圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為 由此得穩(wěn)定約束：,另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量d和h有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：例4.（混合飼料配合）以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。下面舉一個(gè)簡(jiǎn)化了的例子予以說(shuō)

13、明。 設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng),,配料,,每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量,鈣,蛋白質(zhì),纖維,每磅成本（元）,石灰石谷物大豆粉,0.380 0.00 0.000.001 0.09

14、 0.020.002 0.50 0.08,0.0164 0.0463 0.1250,,,,,解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè) 是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,,成分為：,§3

15、.最優(yōu)化問(wèn)題的基本概念,n維歐氏空間 向量向量變量實(shí)值函數(shù)： 無(wú)約束最優(yōu)問(wèn)題： 向量變量向量值函數(shù)：其中 是向量變量實(shí)值函數(shù)則有m個(gè)式約束的最優(yōu)化問(wèn)題為：,在本課程我們討論的是如下形式的靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題：其中 均為向量Z

16、的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，采用向量表示法即為：其中 這就是最優(yōu)化問(wèn)題的一般形式，又稱非線性規(guī)劃。 注意等式約束通?？捎貌坏仁郊s束表示出來(lái)，有時(shí),因此，一般不考慮等式約束。 稱滿足所有約束條件的向量Z為容許解或可行解，容許點(diǎn)的集合稱為容許集或可行集。 在容許集中找一點(diǎn) ，使目標(biāo)函數(shù) 在該點(diǎn)取最小值，即滿足：

17、 的過(guò)程即為最優(yōu)化的求解過(guò)程。 稱為問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)， 稱為最優(yōu)值， 稱為最優(yōu)解。 最優(yōu)化問(wèn)題模型統(tǒng)一化： 在上述最優(yōu)化問(wèn)題的一般式中只是取極小值，如果遇到極大化問(wèn)題，只須將目標(biāo)函數(shù)反號(hào)就可以化為求極小的問(wèn)題。 例如：函數(shù)

18、 在 有極大值 ， 將它改變符號(hào)后， 在同一點(diǎn) 處 有極小值 由此可見(jiàn)： 有相同最優(yōu)點(diǎn)。,因此后面專門研究最小化問(wèn)題。,,,,,,,,

19、,如果約束條件中有“小于等于“的，即 則轉(zhuǎn)化為 ，另外，等式約束 可以由下面兩個(gè)不等式來(lái)代替：因而最優(yōu)化問(wèn)題的一般形式又可寫成： 對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類：,其中求解一維無(wú)約束問(wèn)題的方法稱為一維搜索或直線搜索，這在最優(yōu)化方法中起十分重要的作用。,二維最優(yōu)化問(wèn)題具有鮮明的幾何解釋，并且可以象征性地把這種解

20、釋推廣到n維空間中去。因此我們簡(jiǎn)要介紹一下圖解法對(duì)于以后理解和掌握最優(yōu)化的理論和方法是很有益處的。例1.求解這是定義在 平面 上的無(wú)約束極小化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)在 三維空間中代表一個(gè)曲面 。,§4.二維問(wèn)題的圖解法,,常用數(shù)學(xué)軟件,MATLABMAPLEMATHEMATICAN (Mathematics) SASSPSS,