第二節(jié)數(shù)列的極限

1、第三章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),,描述函數(shù)變化快慢---變化率---切線斜率---相對誤差,微分,,描述函數(shù)變化程度---函數(shù)值的增量---絕對誤差,都是描述物質(zhì)運動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),,導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國,數(shù)學(xué)家 Fermat 在研究,極值問題中提出.,英國數(shù)學(xué)家 Newton,一、微分概念二、微分的基本公式與運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用,第4節(jié),微分,一、微分的

2、概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,,問此薄片面積改變了多少?,設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,,面積的增量為,,,,,關(guān)于△x 的線性主部,故,當(dāng) x 在,取,變到,邊長由,,,其,的微分,,定義: 若函數(shù),在點 的增量可表示為,( A 為不依賴于△x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,定理: 函數(shù),在點 可微的充要條件是,即,在點,可微,,微分的幾何意義,,,,,

3、,,,,,當(dāng) 很小時,,則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,切線縱坐標(biāo)的增量,,自變量的微分,,記作,記,例如,,,,基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P115-116),又如,,二、 微分運算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,,的微分為,,,微分形式不變,5. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),例1.,求,解:,例2. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例3. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)?/p>

4、函數(shù)使等式成立:,說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.,注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.,三、 微分在近似計算中的應(yīng)用,當(dāng),很小時,,,使用原則:,得近似等式:,特別當(dāng),很小時,,常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例3. 求,的近似值 .,解:,例4. 計算,例5. 有一批半徑為1cm 的球 ,,為了提高球面的光潔度,,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,時體積的增量