物體的彈性骨的力學(xué)性質(zhì)

1、第八章　物體的彈性　骨的力學(xué)性質(zhì),在研究剛體的運(yùn)動時，我們忽略了在外力作用下物體形狀和大小的變化，從而引入了剛體這一理想模型。實際上任何物體在外力作用下其形狀和大小都會發(fā)生變化，即產(chǎn)生一定的形變。若形變不超過一定限度，當(dāng)除去外力后，物體能完全恢復(fù)原狀，這種形變稱為彈性形變；若形變超過一定限度，當(dāng)除去外力后，物體不能再恢復(fù)原狀，這種形變稱為塑性形變。研究物體在力的作用下所產(chǎn)生的形變，不僅在工程上，而且在生物醫(yī)學(xué)上也有著重

2、要意義。這一章主要討論物體的彈性形變及骨的力學(xué)性質(zhì)。,第一節(jié)　應(yīng)力和應(yīng)變,1.1　應(yīng)力設(shè)一粗細(xì)均勻、截面積為S的棒，在棒的兩端施加大小相等、方向相反的拉力F，如圖所示。在棒上任取一截面BC，由于棒處于平衡狀態(tài)，根據(jù)牛頓第三定律，則被BC分開的兩部分存在有相互作用，這種相互作用稱為張力。對整個棒來說，張力是內(nèi)力，對被分開的部分來說，它又是外力，而且是作用在整個橫截面上的，其大小與所施加的拉力 F 相,等,在橫截面上均勻分布

3、。我們將橫截面上的力與橫截面積的比稱為應(yīng)力，用σ表示，即 σ =F/S,當(dāng)棒處于拉伸狀態(tài)時，這一應(yīng)力稱為張應(yīng)力；當(dāng)棒處于壓縮狀態(tài)時，這一應(yīng)力稱為壓應(yīng)力。張應(yīng)力和壓應(yīng)力都是垂直于橫截面的，因此又稱正應(yīng)力。應(yīng)力的單位是N.m-2。設(shè)有一長方形物體，底面固定，現(xiàn)在上表面施加一與表面相切的作用力F，如圖所示。由于 物體 是處于平衡狀態(tài)，所以底面也受到一與F大小相等、方向相反的切向力作用。任取一與底面平行的橫截面，顯然橫截面上下

4、兩部分也受到與橫截,面相切的且與 F 大小相等的力的相互作用，這種力是沿切向的內(nèi)力。這種情況下單位截面上,的內(nèi)力稱為切應(yīng)力，用τ 表示。若橫截面積為 S ，則切應(yīng)力,當(dāng)一固定體放在靜止的液體或氣體中時，固體要受到流體靜壓強(qiáng)的作用。不論固體表面的形狀如何，流體靜壓強(qiáng)總是垂直于固體表面的。這種壓強(qiáng)不僅作用于表面上，在固體內(nèi)任一平面，都有垂直于該面的壓強(qiáng)作用。這種壓強(qiáng)也是一種應(yīng)力，是由于物體受到均勻壓強(qiáng)作用而產(chǎn)生的。同樣，

5、當(dāng)液體或氣體的表面受到與其表面垂直的壓強(qiáng)作用時，其內(nèi)部任一想象平面上都有垂直該面的應(yīng)力作用。,總之，應(yīng)力是作用在物體內(nèi)單位截面積上的內(nèi)力。應(yīng)力反應(yīng)了發(fā)生形變的物體內(nèi)部的緊張程度。,對腱,例1、人骨骼上的二頭肌臂上部肌肉可以對相連的骨骼施加約600N的力，設(shè)二頭肌橫截面積為50cm2。腱將肌肉下端聯(lián)到肘關(guān)節(jié)下面的骨骼上，設(shè)腱的截面積約0.5cm2。試求二頭肌和腱的張應(yīng)力。解： 張應(yīng)力是作用在單位面積上的內(nèi)力，對二頭　

6、　肌有：,,1.2 應(yīng) 變 物體受到應(yīng)力作用時，其長度、形狀和體積都要發(fā)生變化，這種變化與物體原來的長度，形狀或體積的比稱為應(yīng)變。上面所討論的每種應(yīng)力都有與之相對應(yīng)的應(yīng)變。,當(dāng)棒受到壓應(yīng)力作用時，上式仍然成立，此時的,（1）張應(yīng)變與壓應(yīng)變有一原長為l0的棒的兩端受到大小相等，方向相反的作用力時，棒伸長到l，則棒的絕對伸長Δl=l－l0。棒的絕對伸長與原來的比稱為張應(yīng)變，用ε表示，即：,應(yīng)變稱為壓應(yīng)變。壓

7、應(yīng)變是棒縮短的長度與棒原長之比。,我們可以用 φ 角來表示由切應(yīng)力引起的形變，稱為切應(yīng)變，也叫做剪應(yīng)變。在彈性限度內(nèi)，φ角很小，因此有tgφ≈ φ,則切應(yīng)變?yōu)椋?（2）切應(yīng)變一長方體在切應(yīng)力的作用下形狀發(fā)生變化，變?yōu)樾钡钠叫辛骟w。所有與底面平行的截面在切應(yīng)力作用下都要發(fā)生相對位移。設(shè)上下兩面間的距離為OA= l0, 兩表面的相對位移為Δx=AA’，則有：,（3）體應(yīng)變對應(yīng)于流體靜壓強(qiáng)的應(yīng)變，稱為體應(yīng)變。體應(yīng)變定義為物

8、體的體積變化ΔV與物體原來體積V0的比，用θ表示，即：,第二節(jié)　彈性模量,2.1　彈性與塑性,產(chǎn)生一定的變形所需要的應(yīng)力決定了某種材料在受力狀態(tài)下的性質(zhì)，因此常需要通過測定材料的,應(yīng)力與應(yīng)變曲線來研究材料的性質(zhì)。不同材料的應(yīng)力 ~ 應(yīng)變曲線不同。如圖是某金屬材料進(jìn)行拉伸實驗得到的應(yīng)力 ~ 應(yīng)變曲線。應(yīng)力是張應(yīng)力，應(yīng)變是張應(yīng)變。曲線的第一階段由O點到A點為一直線。這一階段應(yīng)力不大，,相應(yīng)的應(yīng)變也不大，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。A 點

9、稱為比例極限，在比例極限內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這一規(guī)律稱為胡克定律，不同的材料其比例系數(shù)不同。由A點到B 點，,隨著應(yīng)力的增大，相應(yīng)的應(yīng)變有比較大的增加，這時應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比。但是由O 點至B 點之間,將引起形變的外力除去后，材料可沿原曲線返回，即恢復(fù)原來的長度，形變消失。這表明，在OB范圍內(nèi)材料具有彈性，所以將B點稱為彈性極限。當(dāng)應(yīng)力超過B 點后，就是曲線的第二階段，如到達(dá)C點，這時除去外力后，應(yīng)變不會變?yōu)榱?，?/p>

10、料不會沿實線返回，而是沿虛線返回，存在剩余形變 OO’。超過C 點后，再增大外力，應(yīng)變隨著有較大的增加，直到D點時材料發(fā)生斷裂。由B 點到D 點材料發(fā)生的不再是彈性形變，而是塑性形變。材料斷裂時的應(yīng)力稱為抗張強(qiáng)度或極限強(qiáng)度。若對材料進(jìn)行的是壓縮實驗，則斷裂點的應(yīng)力稱為材料的抗壓強(qiáng)度?！　∪绻牧系臄嗔腰cD 離彈性極限B 較遠(yuǎn)，即材,料能產(chǎn)生較大的塑性形變，則說這種材料具有塑性（或延性）；如果斷裂點D 離彈性極限點B 很

11、遠(yuǎn)，則說這種材料具有脆性。,2.2彈性模量 根據(jù)胡克定律，在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變是成正比的。 當(dāng)材料受到正應(yīng)力（張應(yīng)力或正應(yīng)力）作用時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù) Y 稱為該材料的楊氏彈性模量或楊氏模量。有些材料，比如人的骨骼，其在張應(yīng)力和壓應(yīng)力下對應(yīng)的楊氏模量不相等。,當(dāng)材料受到切應(yīng)力作用時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù) G 稱為材料的切變彈性模量或剛性模量。大多數(shù)材料的切變模量

12、約是楊氏模量的1/2到1/3 。當(dāng)物體的體積發(fā)生變化時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù)B成為材料的體積彈性模量。由于體變時壓強(qiáng)增加，材料的體積縮小，△V為定值，式中的負(fù)號保證了等式兩邊均為正值。體積彈性,模量的倒數(shù)稱為壓縮率，用K表示,即,式中F/S應(yīng)是壓強(qiáng)的變化量，用ΔP表示，則上式可表示成：,例2、一橫截面積為1.5cm2的圓柱形的骨樣品，在其上端加上一質(zhì)量為 10kg 的重物，則其長度縮小了0.0065%。求骨樣品

13、的楊氏模量。　解：,壓應(yīng)力為,根據(jù)胡克定律　　　，即σ＝Y(jié)ε，則有楊氏模量為,第三節(jié)　形變勢能,在彈性限度內(nèi)，物體在外力的作用下 發(fā)生了彈性形變。在這一過程中，外力對彈性物體做了功，外力所做的功以彈性勢能的形式儲存在彈性物體中，也就是說外力所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥晕矬w的形變勢能。 我們來討論一長為l0、橫截面積為S的均勻直棒在產(chǎn)生拉伸形變時的形變勢能。 設(shè)施加在棒上的拉力為F，棒被拉伸到 l（拉伸形變

14、時橫截面S的變化很小，可將其忽略），則棒的絕對伸長為 l－l0.。根據(jù)胡克定律，有,外力F將棒拉伸dl時作用的元功用dA表示，則,所以：,外力 F 將棒由l0拉長到 l 時作的總功應(yīng)為上式的積分：,對一定的材料來說，Y、l0、S均為常數(shù)，令,k稱為彈性物體的力常數(shù)或勁度系數(shù)，則：,外力所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)榘舻男巫儎菽?，用EP表示形變勢能，則有A＝EP，所以,或,式中，　為應(yīng)變，Sl0為棒的體積。顯然，　　是單位體積內(nèi)的形變勢能，稱

15、為形變,勢能密度，用ωP表示，即,同理，可以求出在切變或體變情況下的形變勢能密度，分別用ωG 和ωB表示，則可得,根據(jù)上面的討論可以看出，物體發(fā)生彈性形變時，其形變勢能密度為彈性模量與應(yīng)變平方的積的二分之一。對不同類型的彈性形變，應(yīng)該用該形變所對應(yīng)的彈性模量。,第四節(jié) 骨的力學(xué)性質(zhì)骨在人的生命活動中起著非常重要的作用，它的主要功能是支持、運(yùn)動及對各種器官的保護(hù)作用等。人體具有206塊骨，形態(tài)各異，但基本上可以分為長骨

16、、短骨、扁骨和不規(guī)則骨四種類型。骨的形態(tài)及骨在人體上的分布是與功能相適應(yīng)的，長骨分布在四肢，比如股骨，肌肉通過肌腱和韌帶附著在骨上，骨系統(tǒng)加上肌肉支持著人體，在肌肉,力的作用下人體通過骨關(guān)節(jié)產(chǎn)生運(yùn)動；短骨一般分布在負(fù)重、受壓或運(yùn)動復(fù)雜的部位，如手的腕骨和腳的跗骨；扁骨呈板狀，如肩胛骨和顱骨，顱骨圍成的顱骨腔起保護(hù)大腦和神經(jīng)的作用，不同形態(tài)的骨，其力學(xué)性質(zhì)是不同的。,骨是人體內(nèi)最主要的承載組織，骨骼的變形、損傷或破壞與受

17、力的方式有關(guān)。人體骨骼所受的力雖然有多種形式，但可以分為四種基本形式，即拉伸與壓縮、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)這四種形式稱為基本載荷。若骨骼同時受到兩種或兩種以上的基本載荷作用，這種情況下骨骼受的力稱為復(fù)合,4.1　骨的受力,載荷。復(fù)合載荷可視為兩種或兩種以上的基本載荷復(fù)合而成。,1、拉伸與壓縮　　拉伸與壓縮載荷是施加于骨表面大小相等、方向相反的載荷，例如人在作懸垂運(yùn)動或舉重時四肢長骨就是受到這種載荷的作用。如圖是人的潤濕長骨的

18、軸向拉伸與壓縮實驗曲線，即應(yīng)力與應(yīng)變曲線。拉伸曲線和壓縮曲線形狀相近，都有,較長的直線段，在這一階段應(yīng)力與應(yīng)變成正比，服從胡克定律，所以可以認(rèn)骨骼具有彈性。但是拉伸和壓縮時楊氏彈性模量不同。此外，與一般金屬材,料不同的是骨骼在不同的方向上會表現(xiàn)出不同的力學(xué)特性，這種性質(zhì)稱為各向異性。,2、剪切　　在與骨骼橫截面平行的方向施加載荷，這種載荷就是剪切，這時骨的橫截面上的應(yīng)力就是切應(yīng)力。人的骨骼所能承受的剪切載荷比拉伸和壓

19、縮載荷低得多。,3、扭轉(zhuǎn)　　當(dāng)骨骼的兩端受到與其軸線相垂直的一對大小相等、方向相反的力偶作用時，會使骨骼沿軸線形成受扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。這一對力偶產(chǎn)生的力矩，稱為扭矩，用M 表示。扭矩M 就是扭轉(zhuǎn)載荷。骨骼,受到扭轉(zhuǎn)載荷作用時，橫截面承受切應(yīng)力作用，其分布如圖。切應(yīng)力的大小除與扭矩M成正比外，還與點到軸線的距離成正比，在軸線處切應(yīng)力為零，越靠近邊緣切應(yīng)力越,大，在邊緣處的切應(yīng)力最大。人的四肢長骨是中空的，這種截面對抗扭來說合理

20、截面，中空處切應(yīng)力為零，而在外緣切應(yīng)力較大處相應(yīng)的載面尺寸較大，增強(qiáng)了抗扭能力。,4、彎曲　 當(dāng)骨骼受到使其軸線發(fā)生彎曲的載荷作用時，,骨骼會發(fā)生彎曲形變。這種載荷可以是垂直軸線的橫向力，也可以是包括骨骼軸線在內(nèi)的平面中的一對大小相等、方向相反的力偶矩的作用。骨骼產(chǎn)生彎曲形變時，在軸線處有一層骨沒有產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，稱為中性層。見圖，圖中的軸線 OO’表示中性層。圖也給出了骨骼受彎曲載荷作用時的應(yīng)力分布，橫截面上的應(yīng)

21、,力為正應(yīng)力，應(yīng)力的大小與至中性層的距離成正比。在凸側(cè)骨骼受拉伸作用，在凹側(cè)骨骼受壓縮作用。由于成人骨骼的抗拉伸能力低于抗壓縮能力，因此,在發(fā)生彎曲破壞時，斷裂是從凸面開始，然后凹面才開始斷裂。成人股骨受彎曲載荷時的極限強(qiáng)度比拉伸和壓縮時的極限強(qiáng)度都大得多，所以骨骼有較好的抗彎性能。,5、復(fù)合載荷 上面討論的都是骨骼受單一載荷作用的情況。實際生活中骨骼只受一種載荷的情況很少，大多是同時受到兩種或兩種以上載

22、荷的作用，這種載,荷稱復(fù)合載荷。左圖表示了髖關(guān)節(jié)受復(fù)合載荷作用的情況，股骨頭往往受到斜向壓力的作用，用 P 表示斜向壓力。圖中虛線是股骨頭的軸線，將 P 分解為與軸線平行和垂直,的兩個分量P//和P┴。 P//是壓縮載荷， P┴對股骨頭施加一個力矩，使股骨頭發(fā)生彎曲，因此P┴是彎曲載荷。顯然股骨頭所受的載荷是壓縮和彎曲兩種復(fù)合而成的載荷。,4.2 骨的力學(xué)特性,1、骨的力學(xué)特性與骨的結(jié)構(gòu)有關(guān) 骨主要由骨質(zhì)構(gòu)成，

23、骨質(zhì)分為兩種。一種構(gòu)成骨的表層，致密而堅硬，稱為密質(zhì)骨；另一種是分布在骨的內(nèi)部呈蜂窩狀的疏松體，稱為松質(zhì)骨，松質(zhì)骨具有一定的韌性，能承受較大的彈性形變。密質(zhì)骨和松質(zhì)骨的分布因骨的種類不同有所不同。長骨的密質(zhì)骨在中部骨干部分很厚，向兩端逐漸,變薄，松質(zhì)骨主要分布在長骨的兩端；短骨表面有一層較薄的密質(zhì)骨，內(nèi)部充滿松質(zhì)骨；扁骨是由密質(zhì)骨構(gòu)成內(nèi)外兩層骨板，中間夾有一層松質(zhì)骨。骨的成分中有骨膠原和骨礦物質(zhì)。骨膠原是存在于筋腱和韌

24、帶中的一種纖維蛋白，膠原纖維能拉長到大于本身線度的20%，　　骨的抗拉強(qiáng)度很大，約為90MN/m2，骨膠原使骨質(zhì)有較大的抗拉強(qiáng)度和韌性；骨礦物質(zhì)有很大的抗壓強(qiáng)度，使骨具有較大的抗壓強(qiáng)度。因此骨的構(gòu)成類似于鋼筋混凝土，既有一定的強(qiáng)度和硬度，又有一定的彈性和韌性?！　?　長骨的力學(xué)性質(zhì)　　長骨是人體骨骼的主要受力部分，長骨的中間部位是骨干，兩端是骨骺，而內(nèi)部是中空的骨髓腔,骨干松質(zhì)骨少，密質(zhì)骨厚，有較大的強(qiáng)度和硬度，抗壓

25、強(qiáng)度較高，是松質(zhì)骨的4 ~ 5倍。所以骨干的力學(xué)改制接近脆性材料。骨骺密質(zhì)骨較薄，松質(zhì)骨發(fā)達(dá)且粗大，因此承載面積較大，受力比較均勻，可以承受較大的載荷，能產(chǎn)生較大的彈性變形而不損傷，抗拉性能較好，高于骨干，但抗壓強(qiáng)度較低，只是骨干的22%，骨骺的力學(xué)性質(zhì)接近塑性材料。由于長骨有塑性材料的彈性和韌性，又具有脆性材料的強(qiáng)度和硬度，所以,長骨既抗又抗壓。下表給出了人的脛骨與其他常用材料強(qiáng)度的比較，由表中可以看出，長骨的抗壓能

26、力與花崗巖相近，而抗拉強(qiáng)度卻比花崗巖大20倍。長骨除受拉伸與壓縮的載荷作用外，更多的是受扭轉(zhuǎn)或彎曲的載荷作用。受扭轉(zhuǎn)時，橫截面上主要是切應(yīng)力的作用，在截面中心部位切應(yīng)力最小，在邊緣處切應(yīng)力最大；受彎曲時，橫截面上主要是正應(yīng)力的作用，在中性層正應(yīng)力最小，在邊緣處正應(yīng)力最大。長骨的橫截面可以近似的視為空心圓截面，與實心截面相比，在,截面積相等的情況下，相當(dāng)于將實心圓中心部位受應(yīng)力很小的部分挖去填在截面的外緣，增大了邊緣的,

27、尺寸，相應(yīng)的增加了外緣對應(yīng)力的承受能力。因此空心圓截面對抗扭和抗彎來說是合理截面。人體長骨中部為骨骼腔，不僅具有生理作用，而且從力學(xué)角度來說也是完全合理的結(jié)構(gòu)。,3、骨的應(yīng)刺激1）一定范圍的應(yīng)力刺激，會影響骨的組織、結(jié)構(gòu)和形態(tài)，從而影響骨的力學(xué)性質(zhì)。　　骨是活性物質(zhì)，在不斷的生長發(fā)育。應(yīng)力刺激對骨細(xì)胞的生長和吸收起著調(diào)節(jié)作用。一定范圍內(nèi)經(jīng)常性的、間歇式的壓應(yīng)刺激，能助長骨的生長，使骨的形態(tài)變粗增厚，密度加大，改善骨的力

28、學(xué)性質(zhì)。骨的應(yīng)力刺激減少，會使骨吸收大于骨生長，結(jié)果是骨骼萎縮，骨質(zhì)疏松。四肢癱瘓的病人，骨,骼所受的應(yīng)力明顯減少，除受地心引力外，沒有由于肌肉收縮引起的應(yīng)力作用，發(fā)生明顯的骨吸收，在大量高鈣尿排出體外，骨骼萎縮，產(chǎn)生骨質(zhì)疏松癥，使骨在形態(tài)、組織結(jié)構(gòu)和功能上變得異常，力學(xué)性能明顯降低。宇航員在太空中生活，由于是在失生狀態(tài)下，所以骨骼受的應(yīng)力刺激大大減小，尿的含鈣量與在地面相比增加60%以上，同樣會引起骨質(zhì)疏松。因此，要

29、促進(jìn)骨的生長，必須有經(jīng)常性的應(yīng)力刺激，尤其是壓應(yīng)力刺激。壓應(yīng)力刺激是應(yīng)力刺激的主要因素，對骨組織的影響最大，美國學(xué)者拉什指出：固定不變的壓應(yīng)力刺激會引起骨萎縮，而間歇性的壓應(yīng)力刺激才能促使骨的生長。所以，體育鍛煉是這種應(yīng)力刺,激的好形式，不公刺激和影響肌肉組織，而且刺激骨組織的生長?！　?）應(yīng)力刺激對骨損傷的修復(fù)、愈合和再長起重要作用　　骨組織是能再生和修復(fù)的組織，修復(fù)和再生后其化學(xué)成分和物理性質(zhì)與原來的骨完全相同。

30、應(yīng)力刺激會使受傷后的骨組織進(jìn)行再生，骨痂可以不斷的形成和增殖。所以，必須在骨損傷或骨折的斷端施加應(yīng)力，使其發(fā)生形變，骨組織在形變的情況下產(chǎn)生骨痂。一般也，應(yīng)力越大，骨痂越豐富，且增殖迅速，能夠促進(jìn)骨的愈合和再生，最終成為與受傷前完全相同的骨組織。,習(xí)題：,1、一勻質(zhì)的鉛絲豎直懸掛，鉛絲的密度為ρ，ρ＝11.3?103kg/m3，長度為L0。求：（1）由于鉛絲自身的重量所產(chǎn)生的應(yīng)在距懸點L/4處的值是距懸點3L/4處值的