空間曲面.ppt-武漢大學(xué)

1、高等數(shù)學(xué),黃明,武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,曲面與曲線,二次曲面空間曲線,二次曲面,柱面旋轉(zhuǎn)曲面錐面球面橢球面，拋物面，雙曲面,一、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面,1.概念,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動直線叫做柱面的母線.,,,L,C,柱面?： ?的母線L，L??z軸； ?的準(zhǔn)線C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲線）,空間點M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影點M1(x

2、,y),1.?點M(x,y,z), M的橫、縱坐標(biāo)x,y滿足F(x,y)=0，,則點M1(x,y,0) 在?的準(zhǔn)線C上，,故點M(x,y,z)在柱面?上；,2.?點M(x,y,z) ??，,則M的橫、縱坐標(biāo)x,y滿足F(x,y)=0,（點M(x,y,z)在過點M1(x,y,0) 母線L上）,（M的投影點M1(x,y,0) 在?的準(zhǔn)線C上）,M(x,y,z),?,?,,M1(x,y,0),柱面?的方程,2.幾種常見的柱面,1.橢圓柱面,2

3、.雙曲柱面,3.拋物柱面,4.特殊的平面,1.橢圓柱面,2.雙曲柱面,3.拋物柱面,3.拋物柱面,球面,在空間中，與一定點的距離為一定長的點的集合是球面，這個定點是球心，定長是半徑。,標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方程,錐面,一條動直線通過一定點且沿空間一條固定曲線移動所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，定點稱為錐面的頂點，固定曲線稱為錐面的母線,反之,任意滿足如上方程的點必在此錐面上，故所求錐面的方程為,旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)曲面的方程,平面上曲線C繞該平面上一條定直線

4、旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，平面曲線C叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸。,yoz面上曲線C:f(y,z)=0 繞定直線z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,?p0??,過p0作平面z=z0,與?的交線為一圓周，其半徑,但對p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0,?M(x,y,z)??,有,若點M(x,y,z)??，則其坐標(biāo)x,y,z不滿足(2)式。,故(2)式為此旋轉(zhuǎn)曲面的方程。,故對曲線C:f(y,z)=0：,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的

5、曲面方程為,曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程為,類似地，可考慮其他的在某一坐標(biāo)平面上的曲線繞相應(yīng)的坐標(biāo)軸 旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。,旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,圓錐面,幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面,例1 yoz平面上的拋物線,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面,旋轉(zhuǎn)拋物面：,例2 yoz平面上的拋物線,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面,旋轉(zhuǎn)橢球面：,例3 yoz平面上的雙曲線,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面,單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面：,例3 zox平面上的雙曲線

6、,繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面,雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面：,三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中例1與例2 給出的旋轉(zhuǎn)曲面就是二次曲面。相對而言，二次曲面有較廣泛的應(yīng)用，并且它的形狀也比較簡單。因此作為基本問題（Ⅱ）的例子，我們主要討論以下幾個特殊的二次曲面的形狀： 1、橢球面 2、拋物面

7、 3、雙曲面 討論的方法一般是用坐標(biāo)或特殊的平面與二次曲面相截，考察其截痕的形狀，然后對那些截痕加以綜合，得出曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。,1.橢球面,方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8、 表示的曲面叫做橢球面。下面我們根據(jù)所給出的方程，用截痕法來考察橢球面的形狀。由方程可知 即

9、 ∣x∣≤a ,∣y∣≤b ,∣z∣ ≤c , 這說明橢球面包含在由平面 x = ±a , y =±b , z =± c 圍成的長方體內(nèi)。,這些截痕就是橢圓。即有：,,,先考慮橢球面與三個坐標(biāo)面的截痕,,,,,,,,再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截這個曲面，所得截痕的方程是這些截痕也都是橢圓。易見，當(dāng)︱h︱由0變到 c

10、 時，橢圓由大變小，最后縮成一點（0，0，±c).同樣地用平行于 yoz面或zox面的平面去截這個曲面，也有類似的結(jié)果（見圖５－３７(a)或后面所顯示的各個圖形).如果連續(xù)地取這樣的截痕，那么可以想像，這些截痕就組成了一張橢球面。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在橢球面方程中，a，b，c按其大小，分別叫做橢球的長半軸，中半軸，短半軸。如果有兩個半軸相等，如 a=b,則方程表示的是由平面上的橢圓　　　　　　　　

11、　繞ｚ軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球面。如果a = b = c ,則方程 x2 +y2+z2 = a2　表示一個球面。。,,,２、拋物面,拋物面分橢圓拋物面與雙曲拋物面兩種。方程　　　　　　　　　　　　　　　　（６） 所表示的曲面叫做橢圓拋物面。設(shè)方程右端取正號，現(xiàn)在來考察它的形狀。,用xoy面（z = 0）去截這曲面，截痕為原點。用平面z = h（h > 0）去截這曲面，截痕為橢圓,,當(dāng)h→0時，截痕退縮為原點；當(dāng)h&l

12、t;0 時,截痕不存在.原點叫做橢圓拋物面的頂點.,（2）用zox面（y = 0）去截這曲面,截痕為拋物線 用平面y = k去截這曲面，截痕也為拋物線,,（3）用yoz面（x = 0）及平面x=l去截這曲面，其結(jié)果與（2）是類似的。如下圖所示：,,,,,,,,綜 合以上分

13、析結(jié)果，可知橢 圓拋物面的形狀如圖5-38所示。,方程 (7) 所表示的曲面叫做雙曲拋物面。設(shè)方程右端取正號，現(xiàn)在來考察它們的形狀。(在方程(7)中令 ) （1）用平面

14、z = h（h > 0）去截這曲面，截痕方程是,,當(dāng)h > 0時，(h=3)截痕是雙曲線，其實軸平行于 x 軸。當(dāng)h = 0 時，截痕是xoy平面上兩條相交于原點的直線當(dāng)h< 0時。(h=-3)截痕是雙曲線。其實軸平行于 y 軸。,,,,,,(2)用平面x = k 去截這曲面，截痕方程是

15、 當(dāng)k = 0時，截痕是yoz平面上頂點在原點的拋物線且張口朝下。k≠0時，截痕都是張口朝下的拋物線，且拋物線的頂點隨∣k∣增大而升高。,,,,（3）用平面y = l 去截這曲面，截痕均是張口朝上的拋物線,,,,,綜合以上分析結(jié)果可知，雙曲拋物面的形狀如圖5-39所示。因其形狀與馬鞍相似，故也叫它鞍形面。,,,3、雙曲面,雙曲面分單葉雙曲面與雙葉雙曲面兩種。其中方程

16、 所表示的曲面叫做單葉雙曲面。用截痕法可得出它的形狀如圖5-40（a）（b）所示。,,,,方程

17、 所表示的曲面叫做雙葉雙曲面。它的形狀如圖5-40（c）所示。,,最后我們指出兩點：（1）以上討論的二次曲面都稱為標(biāo)準(zhǔn)

18、型二次曲面,它們的方程也稱為標(biāo)準(zhǔn)型二次方程.在Oxyz坐標(biāo)系中,如果將二次曲面作平移,那么曲面的方程就有所改變.若曲面 ? 的方程是F(x,y,z) = 0, 則方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的圖形 ?´與 ? 有相同的形狀.有兩種方法可得到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的圖形: 一種方法是在同一坐標(biāo)架下,將 ? 沿著向徑 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移? r ?

19、距離而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的圖形?´；另一種方法是先在O?XYZ坐標(biāo)系下作出 ?：F(x,y,z) = 0的圖形， 然后將坐標(biāo)架平移，使移動后的坐標(biāo)原點位于原坐標(biāo)系的（-x0 ,-y0,- z0)處，并將坐標(biāo)系改成Oxyz,這與平面解析幾何中的情形是類似的。利用這一點，就可將某些非標(biāo)準(zhǔn)二次方程用簡單的配平方法，找出它的標(biāo)準(zhǔn)形式，再用上述平移方法獲得它的圖形并確定其位置，

20、 例如方程 經(jīng)過配完全平方，得 故其標(biāo)準(zhǔn)形為,由此可知它表示橢圓拋物面，在O?XYZ坐標(biāo)系中作出橢圓拋物面。如下圖,,,然后將坐標(biāo)系Oxyz的原點O取在O’XYZ坐標(biāo)系的點（1，-1，3）處，作出x軸、y軸、z軸，使之分別平行于x軸、y軸、z軸與z軸并略去O’XYZ坐標(biāo)架，即得到原方程表示的圖形。,,,（2）對一般的三元方程表示的曲面，用手工描點法是很難繪出它的三維立體圖形的，讀者