(映射)f

1、第八章: 函數(shù),第一節(jié)：函數(shù)的定義與性質(zhì) 第二節(jié)：函數(shù)的復合與反函數(shù),第八章: 函數(shù),主要內(nèi)容函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)定義函數(shù)性質(zhì)函數(shù)運算函數(shù)的逆函數(shù)的合成雙射函數(shù)與集合的基數(shù),第八章: 函數(shù),第一節(jié)：函數(shù)的定義與性質(zhì) 第二節(jié)：函數(shù)的復合與反函數(shù),8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),函數(shù)的歷史：十七世紀伽俐略提出過非形式化的函數(shù)概念笛卡爾的解析幾何中討論一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系萊布尼茲、牛頓在幾何和微積分中都使用

2、函數(shù)…康托在集合論中用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),函數(shù)是具有特殊性質(zhì)的二元關(guān)系也稱為映射或變換本章定義一般函數(shù)類和各種特殊子類側(cè)重討論離散函數(shù),8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),函數(shù)(映射)F：F為二元關(guān)系，滿足?x∈dom F都存在唯一的y∈ran F使xFy成立F在x的值y：xFy記做y＝F(x)x稱為F的自變量函數(shù)相等：設(shè)F，G是函數(shù)F＝G ? F?G∧G ?F,8.1 函數(shù)

3、的定義與性質(zhì),A到B的函數(shù)f：設(shè)A，B是集合，如果f為函數(shù)，且domf=A, ranf?B記為f: A→B存在性唯一性,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),例：f: {a,b,c,d} → {1,2,3} f(a)=1 x f(x) f(b)=2 或 a 1 f(c)=2 b 2 f(d)=1 c 2

4、 d 1,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),皮亞諾后繼函數(shù)f: N→N, f(n)=n+1投影函數(shù)X和Y是非空集合，f: X×Y→X, f(x,y)=x,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),A到B的函數(shù)集合BA (B上A) BA ={f | f: A → B}例：設(shè)A={1, 2, 3}, B={a,b}，求BA解：BA={f0,f1,…,f7} f0={,,} f1={,,}

5、 f2={,,} f3={,,} f4={,,} f5={,,} f6={,,} f7={,,},8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),若A=Ф，B是任意集合，那么BA ={Ф}Ф×B=ФФ滿足函數(shù)定義的條件若A≠Ф而B=Ф，不存在從A到B的函數(shù)討論,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),函數(shù)的像：設(shè)f是從A到B的函數(shù)，A’?A，B’ ?Bf(A’)={f(x)| x∈A’

6、}叫做函數(shù)f下A’的像f(A)為函數(shù)f的像(f的值域) f－1(B’)={x|x∈A∧f(x)∈B’},稱f－1 (B’)為B’在f下的完全原像性質(zhì)：A’ ? f－1(f(A’)) （驗證）A’ ≠f－1(f(A’))例：f:{1,2,3}?{0,1}, f(1)=f(2)=0, f(3)=1 考慮A’={1},8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),例 設(shè)f：{a,b,c,d}→{1,2,3} f({a})={1} f

7、({a,b})={1,2} f(Ф)=Ф f-1({1})={a,d},8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),滿(單、雙)射：設(shè)f是從A到B的函數(shù)滿射：ranf=B單射：x≠x’ ? f(x)≠f(x’)或者：f(x)=f(x’) ? x=x’雙射：f是滿射且是單射,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),例：判斷函數(shù)類型f: R→R, f(x)=2x+5解：?y∈R存在x=(y-5)/2使得f(x)=y, f是滿射?x1,x2∈R, x

8、1≠x2, 有2 x1+5≠2 x1+5,即f(x1)≠f(x2),f是單射f是雙射,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),例：判斷f: A?B是否構(gòu)成函數(shù)，如果是，是否為單射、滿射和雙射A={1,2,3,4,5}, B ={6,7,8,9,10}, f= {,,,,}A, B同上, f={,,, , }A=B=R×R, f()=,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),常函數(shù)：f: A→B滿足如果存在y∈B使對每一x∈A有f(

9、x)=y 恒等函數(shù)IA: A→A，對每一x∈A有f(x)=x恒等函數(shù)是雙射函數(shù),8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),(嚴格)單調(diào)遞增：設(shè)，為偏序集，f: A→B單調(diào)遞增：如果對任意的x，y∈A，x?y，就有f(x)?f(y)嚴格單調(diào)遞增：如果對任意的x，y∈A，x?y,就有f(x)?f(y),8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),特征函數(shù)：設(shè)A’?A，函數(shù)χA’: A’→{0,1}定義為 χA’(x)= 1 如果x∈A’

10、 0 如果x?A’稱它是集合A’的特征函數(shù)例：設(shè)A={a,b,c,d}, A’={b,d} χA’:A’→{0,1}則 χA’(a)=0, χA’(b)=1 χA’(c)=0, χA’(d)=1,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),如果函數(shù)f:A →B的前域A非空，那么集合族{f-1({y})|y∈B∧f-1({y})≠Ф}形成A的一個劃分，與此劃分相關(guān)聯(lián)的等價關(guān)系R可如下定義：

11、 x1Rx2? f(x1)=f(x2)可以證明R符合等價條件稱R為f誘導的A上的等價關(guān)系定義: 設(shè)R是一集合A上的等價關(guān)系，函數(shù) g:A→A/R,g(x)=[x]R叫做從A到商集A/R的自然映射,8.1 函數(shù)的定義與性質(zhì),例 設(shè)A={a,b,c,d},B={0,1,2,3,4}f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1,f(d)=3f誘導的等價關(guān)系R的等價類{a,c},,im8ksyg從A到A/R的自然映

12、射gg:{a,b,c,d}→{{a,c},,8iaueag}g(a)={a,c}g(b)=g(c)={a,c}g(d)=8yeckwe,第八章: 函數(shù),第一節(jié)：函數(shù)的定義與性質(zhì) 第二節(jié)：函數(shù)的復合與反函數(shù),8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),函數(shù)的復合：關(guān)系的右復合性質(zhì)1：F?G還是一個函數(shù)證明：對任一x?dom( F?G)，假設(shè) ?F?G 且 ?F?G?t1(?F??G)? ?t2(?F??G)?t1?t2(t1=t2

13、??G??G)y1=y2,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),性質(zhì)2：domF?G={x|x?domF?F(x)? dom(G)}證明：對任一x?dom(F?G) ?t?y(?F??G)?t?y(x?domF?t=F(x)?t?domG)?t(x?domF?F(x)?domG)x?{x|x?domF?F(x)?dom(G)},8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),性質(zhì)3：?x?domF?G有F?G(x)=G(F(x))證明： x?domF?

14、F(x)?dom(G)?F??G?F?Gx?domF?G?F?G(x)=G(F(x))推論1：給定函數(shù)F, G, H, 則F?(G?H)和(F?G)?H都是函數(shù)，且 F?(G?H)=(F?G)?H,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),例：集合A={1,2,3}, A上的兩個函數(shù)f={,,}g={,,},f?g={,,}g?f={,,}f?f={,,}f?f?f={,,} =IA,8.2

15、 函數(shù)的復合與反函數(shù),例：A上的三個函數(shù) f(a)=3-a, g(a)=2a+1, h(a)=a/3我們有：(f?g)(a)=g(f(a))=g(3-a) =2(3-a)+1=7-2a(g?f)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2ah(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),推論2：設(shè)f:A→B, g:B→C, 則f?g：A→C,且? x

16、∈A都有f?g(x)=g(f(x))證明：由性質(zhì)1，f?g是函數(shù)，由性質(zhì)2易證 dom(f?g)=A, ran(f?g)?C 由性質(zhì)3，f?g(x)=g(f(x)),8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),定理：設(shè)函數(shù)f:A→B, g:B→C 則:若f和g都是滿射,則f?g 也是滿射若f和g都是單射,則f?g也是單射若f和g都是雙射,則f?g也是雙射,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),定理：設(shè)函數(shù)f:A→B,

17、g:B→C 則:若f和g都是滿射,則f?g也是滿射證明：任取c?C g是滿射?存在b?B, g(b)=c f是滿射?存在a?A, f(a)=b 由性質(zhì)3 f?g(a)=g(f(a))=g(b)=c 從而證明f?g是滿射,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),f?g是滿射, f不是滿射,f?g是單射, g不是單射,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),定理：給定函數(shù)

18、f:A→B,有f＝f?IB＝IA?f證明：首先易證f?IB和IA?f都是函數(shù) ?f??f?y?B ??f??IB ??f?IB 同理可以證明 ?f?IB?? IB?f,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),給定函數(shù)F，F(xiàn)-1不一定是函數(shù)例：A={a,b,c},B={1,2,3}f={,,} f非單射

19、非滿射f-1={,,} f-1不是函數(shù)討論：任給單射函數(shù)f:A→Bf-1是函數(shù)f-1:ranf→A的雙射函數(shù)f-1不一定是B到A的雙射函數(shù),8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),定理：函數(shù)f:A→B是雙射函數(shù)?f-1:B→A是雙射函數(shù)證明：由關(guān)系逆的性質(zhì) domf-1=ranf=B ranf-1=domf=A?x?B，假設(shè)有y1,y2?A，使得 ?f-1??f-1則

20、?f??ff是單射，故y1=y2，所以f是函數(shù)同樣可以證明f是單射和滿射,8.2 函數(shù)的復合與反函數(shù),定理：函數(shù)f:A→B是雙射函數(shù)? f-1?f=IB，f?f-1=IA證明：首先易證f-1?f是B到B的函數(shù)。 ?, ?f-1?f ??t(?f-1??f) ??t(?f??f) ?

21、x=y?x,y?B ??IB 同理可以證明IB?f-1?f,第八章: 函數(shù),第三節(jié)：雙射函數(shù)與集合的基數(shù),8.3 集合的基數(shù),等勢：集合A和B等勢如果存在從A到B的雙射函數(shù)記作A?B例：Z?Nf: Z?N，使得f(x)=2x，x≥0f(x)=-2x-1, x)=(m+n+1)(m+n)/2 + m,8.3 集合的基數(shù),例：(0,1)?Rf: (0,1)?R，使得

22、f(x)=tanπ(2x-1/2)例：[0.1]?(0.1)f: [0.1]? (0.1)，使得f(x)=1/2, x=0f(x)=1/4, x=1f(x)=1/2n+2, x=1/2nf(x)=x, 其他x,8.3 集合的基數(shù),例：[0,1]?[a,b]，對任何a<b, a, b?Rf: [0,1]?[a,b]，使得f

23、(x)=(b-a)x+a例：P(A)?{0,1}Af: P(A)?{0,1}A，使得f(A’)=χA’, ?A’?P(A),8.3 集合的基數(shù),定理：對任意集合A, B, CA?A若A?B，則B?A若A?B，B?C，則A?C證明？總結(jié)N?Z?Q?N×NR?[0,1]?(0,1)N?R ?,8.3 集合的基數(shù),康托定理：N?R對任意集合A都有，A?P(A),,,8.3 集合的基數(shù),康托定理：N?R對

24、任意集合A都有，A?P(A)證明：只需證明N?[0,1]任一[0,1]間實數(shù)必可寫成無限的十進制小數(shù) x=0.x1x2…, 0· xi · 9設(shè)f:N?[0,1]是從N到[0,1]的任何一個函數(shù)，則可列出f 的所有函數(shù)值如下,,,,8.3 集合的基數(shù),康托定理：N?R對任意集合A都有，A?P(A)證明：…則可列出f 的所有函數(shù)值如下 f(0)= 0

25、.a(1)1 a(1)2…… f(1)= 0.a(2)1 a(2)2…… f(2)= 0.a(3)1 a(3)2…… …. f(n-1)= 0.a(n)1 a(n)2……a(n)n… …. 設(shè)y=0.b1b2…, bi≠a(i)i, i=1,2,… y不在ranf中！

26、,,,8.3 集合的基數(shù),康托定理：N?R對任意集合A都有，A?P(A)證明：設(shè)g:A?P(A)是函數(shù)?？梢詷?gòu)造 B={x|x?A?x?g(x)}則B?P(A)，對任意x?A有 x?B?x?g(x)故B≠g(x)，所以x不在rang中,,,8.3 集合的基數(shù),優(yōu)勢于：B優(yōu)于A(A?·B): 存在從A到B的單射函數(shù)B真優(yōu)于A(A?·B): A?·

27、;B且B?A例：N?·N, N?·R, A?·P(A)N?·R, A?·P(A)定理：給定任意集合A, B, CA?·A若A?·B且B?·A，則A?B若A?·B且B?·C，則A?·C,,8.3 集合的基數(shù),對于有限集：集合中不同元素的個數(shù)。對于無限集呢？是否所有無限集的基數(shù)都一樣？為了比較兩個集合的“大小”，確

28、定有限集和無限集的概念，引進自然數(shù)集合給定集合A，A+=A?{A}，稱A+是A的后繼集合利用后繼集合的概念來定義自然數(shù)集合{0，1，2，??},8.3 集合的基數(shù),設(shè)A=?，則A的后繼集合可寫成A+=??{?}={?}(A+)+={?}?{{?}}={?，{?}}((A+)+)+={?，{?}}?{{?，{?}}} ={?，{?}，{?，{?}}}….定義自然數(shù)集合{0，1，2，??}

29、?=0?+=0+=1，(?+)+=1+=2上述求0的后繼集合而得到N={0，1，2，??},8.3 集合的基數(shù),Peano公理0?N (這里規(guī)定0=?)n?N?n+?N (這里n+是n的后繼數(shù))若S?N，且(ⅰ)0?S, (ⅱ)n?S?n+?S，則可得S=N,8.3 集合的基數(shù),有窮集：一個集合是有窮的?它與某個自然數(shù)等勢否則為無窮例：有窮集：{a,b,c} 無窮集：N, R三類不同基數(shù)有窮集合A: cardA

30、=n?A?n自然數(shù)集N：cardN=?0實數(shù)集R: cardR=?,8.3 集合的基數(shù),基數(shù)相等和大?。航o定集合A和BcardA=cardB?A?BcardA≤cardB?A?·BcardA<cardB?cardA≤cardB?cardA≠cardB例：cardN=cardQ=cardN×N=?0cardP(N)=card2N=card[a,b]=card(a,b)=??0< ?,8.3

31、 集合的基數(shù),可數(shù)集：A為可數(shù)集如果cardA≤?0例：可數(shù)集：{a,b,c}, N, Z, Q不可數(shù)集：R, (0,1)命題：可數(shù)集的任何子集是可數(shù)集兩個可數(shù)集的并是可數(shù)集兩個可數(shù)集的笛卡爾積是可數(shù)集無窮集的冪集不是可數(shù)集,8.3 集合的基數(shù),例：給定集合A, B, C，滿足cardA=?0, cardB=n (n≠0)，求cardA×B證明：令A={a0,a1,…}, B={b0,b1,…,bn-1}函

32、數(shù)f:A×B?N f()=in+jf為雙射，故 cardA×B=?0,第八章 習題課,主要內(nèi)容函數(shù)，從A到B的函數(shù) f:A?B，BA，函數(shù)的像與完全原像函數(shù)的性質(zhì)：單射、滿射、雙射函數(shù)重要函數(shù)：恒等函數(shù)、常函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、集合的特征函 數(shù)、自然映射集合等勢的定義與性質(zhì)集合優(yōu)勢的定義與性質(zhì)重要的集合等勢以及優(yōu)勢的結(jié)果可數(shù)集與不可數(shù)集集合基

33、數(shù)的定義,基本要求,給定 f, A, B, 判別 f 是否為從A到B的函數(shù)判別函數(shù) f:A?B的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）熟練計算函數(shù)的值、像、復合以及反函數(shù)證明函數(shù) f:A?B的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）給定集合A, B，構(gòu)造雙射函數(shù) f:A?B 能夠證明兩個集合等勢能夠證明一個集合優(yōu)勢于另一個集合知道什么是可數(shù)集與不可數(shù)集會求一個簡單集合的基數(shù),練習1,1．給定A, B 和 f, 判斷是否構(gòu)成函數(shù) f:A→B. 如果是,

34、 說明該 函數(shù)是否為單射、滿射、雙射的. 并根據(jù)要求進行計算.(1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={,,,,}.(2) A,B同(1), f={,,,,}.(3) A,B同(1), f={,,,}.(4) A=B=R, f(x)=x3(5) A=B=R+, f(x)=x/(x2+1).(6) A=B=R×R, f()=, 令

35、 L={|x,y∈R∧y=x+1}, 計算 f(L).(7) A=N×N, B=N, f()=|x2?y2|. 計算f(N×{0}), f ?1({0}),解,解答,(1) 能構(gòu)成 f:A→B, f:A→B既不是單射也不是滿射, 因為 f(3)=f(5)=9, 且7?ranf.(2) 不構(gòu)成 f:A→B, 因為 f 不是函數(shù). ∈f 且∈f, 與函 數(shù)定義矛盾(3)

36、不構(gòu)成 f:A→B, 因為dom f = {1,2,3,4} ≠ A(4) 能構(gòu)成 f:A→B, 且 f:A→B是雙射的(5) 能構(gòu)成 f:A→B, f:A→B既不是單射的也不是滿射的. 因為該 函數(shù)在 x=1取極大值 f(1)=1/2. 函數(shù)不是單調(diào)的,且ranf≠R+.(6) 能構(gòu)成 f:A→B, 且 f:A→B是雙射的.  f(L) = {|x∈R}=R×{?1}(7) 能構(gòu)成 f:A→

37、B, f:A→B既不是單射的也不是滿射的. 因為 f()=f()=0, 2?ranf. f(N×{0}) = {n2?02|n∈N} = {n2|n∈N} f?1({0}) = {|n∈N,練習2,2. 設(shè) f1, f2, f3, f4?RR，且,令Ei 是由 fi 導出的等價關(guān)系，i=1,2,3,4，即 xEiy ? fi(x)=fi(

38、y) (1) 畫出偏序集的哈斯圖，其中T 是加細關(guān)系： ?T ? ?x(x?R/Ei??y(y?R/Ej ? x?y)) (2) gi:R?R/Ei 是自然映射，求gi(0), i=1,2,3,4.(3) 對每個i, 說明 gi 的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）.,(1) 哈斯圖如下(2) g1(0) = {x | x?R?x?0}, g2(0)={0}, g3(0)=Z,

39、g4(0)=R(3) g1, g3, g4是滿射的；g2是雙射的.,解,圖1,解答,練習3,3．對于以下集合A和B，構(gòu)造從A到B的雙射函數(shù) f:A→B(1) A={1,2,3}，B={a, b, c}(2) A=(0,1)，B=(0,2)(3) A={x| x?Z∧x<0}，B=N (4) A=R，B=R+,解 (1) f={, , } (2) f:A?B, f(x)=2x(3) f:A?B, f(x)

40、= ?x?1(4) f:A?B, f(x)=ex,4.設(shè) 證明 f 既是滿射的，也是單射的.,證 任取?R?R，存在,使得,練習4,因此 f 是滿射的對于任意的 , ?R?R, 有,因此 f 是單射的.,證明方法,1. 證明 f:A?B是滿射的方法: 任取 y?B, 找到 x (即給出x的表示)或者證明存在x?A，使得f(x)=y. 2. 證明 f:A?B是單射的方法 方法一 ?x1,x2?A,

41、 f(x1)=f(x2) ? … ? x1=x2 推理前提 推理過程 推理結(jié)論 方法二 ?x1,x2?A, x1?x2 ? … ? f(x1)?f(x2)

42、 推理前提 推理過程 推理結(jié)論 3. 證明 f:A?B不是滿射的方法： 找到 y?B, y?ranf 4. 證明 f:A?B不是單射的方法：找到 x1,x2?A, x1?x2, 且 f(x1)=f(x2),5. 設(shè)A, B為二集合, 證明：如果A≈B, 則P(A)≈P(B),練習5,證 因為A≈B，存在雙射函數(shù) f:A?B，反函數(shù) f ?1:

43、B?A構(gòu)造函數(shù) g:P(A) ?P(B), g(T) = f(T)，?T?A （f(T)是T在函數(shù) f 的像） 證明 g 的滿射性. 對于任何S ?B, 存在 f ?1(S) ?A, 且 g(f ?1(S)) = f ? f ?1(S) = S 證明g的單射性. g(T1) = g(T2) ? f(T1) =

44、 f(T2) ? f ?1(f(T1) = f ?1(f(T2)) ? IA(T1) = IA(T2) ? T1=T2綜合上述得到P(A)≈P(B).,證明集合A與B等勢的方法,方法一：直接構(gòu)造從A到B的雙射, 即定義一個從A到B的函數(shù) f:A?B，證明 f 的滿射性，證明 f 的單射性方法二：利用定理8.8，構(gòu)造兩個單射 f:A?B 和

45、 g:B?A. 即 定義函數(shù) f 和 g ，證明 f 和 g 的單射性方法三：利用等勢的傳遞性方法四：直接計算A與B的基數(shù)，得到card A=card B. 注意：以上方法中最重要的是方法一.證明集合A與自然數(shù)集合N等勢的通常方法是：找到一個“數(shù)遍”A中元素的順序.,練習6,6．已知A={n7|n∈N}, B={n109|n∈N}, 求下列各題：(1) Card A(2) Card B(

46、3) card (A?B)(4) card (A?B),解 (1) 構(gòu)造雙射函數(shù) f:N?A, f(n)=n7 , 因此 card A=?0(2) 構(gòu)造雙射函數(shù) g:N?A, g(n)=n109, 因此card B=?0(3) 可數(shù)集的并仍舊是可數(shù)集，因此card(A?B)? ?0, 但是 card(A?B) ? card A=?0, 從而得到 card(A?

47、B)= ?0. (4) 因為7與109互素，card(A?B)={n7?109 | n?N}，與(1) 類似得到 card(A?B)= ?0,7. 已知cardA=?0, 且cardB<cardA, 求card(A?B),練習7,解 由A?B?A 得到 card(A?B) ? cardA, 即 card(A?B)? ?0 由 cardB<cardA 可知 B 為

48、有窮集，即存在自然數(shù)n使得 cardB=n. 假設(shè)card(A?B)< ?0，那么存在自然數(shù)m，使得 card(A?B)=m 從而得到 cardA = card((A?B)?B) ? n+m，與cardA=?0矛盾. 因此，