微分代數(shù)方程的數(shù)值解法-南京師范大學數(shù)學科學學

1、哈密頓系統(tǒng)中混沌的幾何判據(jù) 張素英 山西大學 理論物理研究所,一.混沌研究的常用方法簡介 二. 幾何方法及其推廣三. 勢能面、等勢線與混沌,主要內(nèi)容,指

2、數(shù) 是李雅普諾夫指數(shù)，是定量描述混沌的的重要工具.,一.混沌研究的常用方法,1.李雅普諾夫指數(shù),2. Poincaré截面如果軌道是周期的，Poincaré截面是有限個離散的點；如果是準周期的，Poincaré截面將會是一條封閉曲線。如果是混沌軌道，Poincaré截面將是隨機分布并布滿被規(guī)則區(qū)域劃分出來的區(qū)域。,另外還有拓撲熵、功率譜、重構(gòu)相空間法等等研究方法。,3. 幾何方法

3、 用微分幾何方法判斷哈密頓系統(tǒng)混沌的主要思想: 構(gòu)造一個流形，使得流形上測地線方程與哈密頓系統(tǒng)的運動方程等價, 通過研究測地線的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的混沌,幾何方法研究混沌 上個世紀90年代初人們發(fā)展了一套混沌研究的微分幾何方法。近二十年來人們把該方法與數(shù)值計算結(jié)合起來，將其應(yīng)用到許多模型當中，得到了很多有意義的結(jié)果。該方法的基本思想是把哈密頓系統(tǒng)的軌道看作給定度規(guī)的流形上的測地線，這樣就把軌道的不穩(wěn)定性與流形的幾何性質(zhì)聯(lián)系起來了。

4、,二. 幾何方法及其推廣,【1】L. Horwitz, Y. B. Zion, M. Lewkowicz, M. Schiffer and J. Levitan; Geometry of Hamiltonian Chaos; Phys. Rev. Lett. 98. 234301 (2007),如果在某區(qū)域,U的本征值至少有一個是負的,那么在這個區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.為了定量描述引入:,標準哈密頓系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可寫為：,不穩(wěn)定比,設(shè)

5、系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為：,運動方程為:,該項為小項,可以略掉.運動方程變?yōu)?,非零不穩(wěn)定比是混沌出現(xiàn)的標志. 適用范圍是: 標準哈密頓系統(tǒng)我們把該方法推廣到勢能含有動量的情況,系統(tǒng)的性質(zhì)完全由 決定.,把勢能項中的 當做參數(shù):,不穩(wěn)定比 ,進一步引入平均不穩(wěn)定比,表示在給定能量下,動量的容許區(qū)域,Dicke模型Hamiltonian過渡到經(jīng)典：,平均不穩(wěn)定比是坐標動量弱耦合系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的標

6、志. 為了驗證其有效性, 看一個具體例子：,平均不穩(wěn)定比與李雅普諾夫指數(shù)的比較后,發(fā)現(xiàn)在預(yù)言臨界值時比李雅普諾夫指數(shù)有優(yōu)勢.,J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 125105 (5pp),設(shè)有方程,1.系統(tǒng)局部穩(wěn)定性,給 一個擾動 ,則有,其中 是雅可比矩陣， 的性質(zhì)由 決定,三. 勢能面、等勢線與混沌,二自由度哈密頓系統(tǒng),其運動方程的雅可比矩陣特征值方程為,特征方程

7、可寫作,則系統(tǒng)局部穩(wěn)定性由 決定,令,方程的根的性質(zhì)決定系統(tǒng)的性質(zhì),曲面的凹凸性：取曲面上一點做切面，曲面在切面的上方時曲面向下凸即曲面是凹的，曲面在切面的下方時曲面向上凸即曲面是凸的.,為了研究勢能曲面的凹凸性，,把上式變形可得：,(1)如果,曲面在切平面上面,即曲面向下凸,(2)如果,曲面在切平面下面,即曲面向上凸,(3a)如果,雙曲二次型,沒有確定的符號,(3b)如果,雙曲二次型,沒有確定的符號,(4a)如果

8、,符號不能確定,(4b)如果,符號不能確定,根據(jù)以上分析,勢能面分為四種情況:,某一鄰域內(nèi)如勢能曲面向下凸,那么在此鄰域內(nèi)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.,3.勢能面對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,某一鄰域內(nèi)如勢能曲面向上凸,那么在此鄰域內(nèi)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.,某一鄰域內(nèi)如勢能曲面即不向上凸也不向下凸,那么在此鄰域內(nèi)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.,4.不穩(wěn)定指標函數(shù),定義凹凸指標：,定義正根指標：,凹凸指標與根指標定義等價即：,我們引入平均凹凸指標或平均根指標的概念：,非零平均

9、凹凸指標可以作為混沌的標志,5.例子,我們選取一個重要的例子就是廣義Toda勢：,,我們畫出了 平面的Poincaré截面圖 ：,Physics Letters A 375 (2011) 974–977,6.等勢線與混沌,令,的取值情況，主要看它的判別式,比較以上兩式可得：,如果在某點有,,據(jù)上式可得,,根據(jù)韋達定理，原特征值方程一定有一正一負兩根，系統(tǒng)在該點是不穩(wěn)定的。以此為基本出發(fā)點，我們用幾個引理

10、及定理來給出一個簡單的混沌的判據(jù),引理1： 如果在某點有 及,,則,證明： 對于等式,左邊是關(guān)于 的二次多項式。,,所以拋物線開口朝上，必然存在某個 使得,因為,,,又因為 ，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，我們知道必然存在某個實數(shù) 滿足方程,所以該方程判別式一定是正的，即,,引理2 ：B和C在繞原點的旋轉(zhuǎn)變換下形式不變。,,以此定理為基礎(chǔ)，我們

11、引入凹指標函數(shù)：,,為了判斷系統(tǒng)整體不穩(wěn)定性，我們進一步引入凹比率(Concave Ratio）,看一個具體例子,耦合諧振子,出現(xiàn)混沌的臨界能量為,其中‘Physically’表示在給定能量下容許的物理區(qū)域。為了方便使用我們把凹比率簡記為CR，我們可以把非零CR。作為系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個判據(jù)。如果僅對某系統(tǒng)作定性的判斷的話，我們只需判斷在給定系統(tǒng)能量Ｅ時，等勢線有沒有凹向中心的部分。如果要做定量分析，就需要計算CR,耦合諧振子Poincar