第1章函數(shù)與極限

1、高 等 數(shù) 學(xué),梅挺 主編中國水利水電出版社,第1章 函數(shù)和極限,主要內(nèi)容: 一、函數(shù) 二、極限 三、函數(shù)的連續(xù)性,一、函 數(shù),（一）函數(shù)的概念,1、變量與常量,,常量：在某一過程中保持一定數(shù)值的量，常用字母a,b,c，…來表示；,變量：在某一過程中可以取不同數(shù)值的量，常用字母x,y,z, …來表示。,★注意：常量與變量并非是絕對的,2、函數(shù)的概念,設(shè)x和y是同一變化過程中的兩個變

2、量，如果對于變量x的每一個允許的取值，變量y按照一定規(guī)律總有一個確定的值與之對應(yīng)，則稱變量x是變量y的函數(shù)，變量x稱為自變量， y又稱為因變量，記為：y=f (x),值 域：所有函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域,定義域：自變量的所有允許值的集合稱為函數(shù) 的定義域，通常用區(qū)間來表示,關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明：,（3）函數(shù)常用的表示法：,（1）構(gòu)成函數(shù)的要素有兩個：定義域與對應(yīng)規(guī)律,如果函數(shù)的定義

3、域相同，對應(yīng)規(guī)律也相同，那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是不同的。,（2）函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定：,在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實(shí)際意義來確定；如果函數(shù)是由沒有明確指出范圍的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出的，那么函數(shù)的定義域就是指使表達(dá)式有意義的一切的自變量的集合。,解析法、圖像法和列表法等。,1、定義域由兩個方面來確定：,★注意：,2、定義域和對應(yīng)規(guī)律/法則是判斷兩個函數(shù)是否相同的根據(jù),1)根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式的意義而確定，稱

4、為 自然定義域,2)根據(jù)問題的實(shí)際意義確定,例如：,（二）函數(shù)的幾種特性,1、單值性與多值性,對于自變量的每一個取值，函數(shù)y有唯一確定的一個值與之對應(yīng)，這樣的函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)。,例如，,,,2、函數(shù)的單調(diào)性,例如：,3、函數(shù)的奇偶性,例如：,1.偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對稱．,2.判定函數(shù)的奇偶性首先看其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱否．,★注意,4、函數(shù)的周期性,5、函數(shù)的有界性,如：,（三）復(fù)合

5、函數(shù),類似地，可以定義多于兩重復(fù)合關(guān)系的復(fù)合函數(shù),復(fù)合函數(shù)的求解難點(diǎn)：合成與分解,★對于復(fù)合函數(shù)的合成與分解注意以下幾點(diǎn) ：,如:,1、對復(fù)合函數(shù)的分解一定要徹底2、分解標(biāo)準(zhǔn)是：分解成六類基本初等函數(shù)的 四則運(yùn)算3、內(nèi)層函數(shù)的值域必須為外層函數(shù)定義域的 子集，否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù),（四）初等函數(shù),1、基本初等函數(shù),以上六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).,,A.常函數(shù),,,,B.冪函數(shù),,,,,,B.冪函數(shù),,

6、,,,,C.指數(shù)函數(shù),,,,D.對數(shù)函數(shù),,E.三角函數(shù),,,,,E.三角函數(shù),,,E.三角函數(shù),,F.反三角函數(shù),,,,F.反三角函數(shù),2、初等函數(shù),例如：,是初等函數(shù)。,由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。,★注意,分段函數(shù)： 有些函數(shù)，對于其定義域內(nèi)自變量不同的值， 不能用一個統(tǒng)一的解析式表示，而要用兩個或 兩個以上的式子表示，這類函數(shù)稱為分段

7、函數(shù)。,分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是兩個或幾個函數(shù),分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？,★問題,二、極 限,（一）極限的概念,1、x→∞時函數(shù)的極限,x→∞時函數(shù)的極限定義,★說明,★說明,比如：,對于函數(shù) ，因?yàn)椋?，所以只有 時的極限。對于函數(shù) ，要求 時的極限，需分別討論 和

8、 的情況。,從而,2、x→x0時函數(shù)的極限,x→x0時函數(shù)的極限定義,★說明,★說明,也可以從函數(shù)的圖像上明確地看出該函數(shù)的極限不存在,討論：,求 和 的極限。,結(jié)論：二者定義域不同，但是極限相等，都為2。所以，函數(shù)在無定義的點(diǎn)的極限值可能存在，要區(qū)別求極限與求函數(shù)值。,（二）極限的四則運(yùn)算,★說明,例7 求,解：,例8 求,,,例9 求,,

9、例10 求,,因?yàn)?,所以,例11 求,,解：分段函數(shù)分段點(diǎn)左、右的函數(shù)解析表達(dá)式不同，因此在求分段函數(shù)分段點(diǎn)極限的時候一定要考慮其左、右極限。,,（三）兩個重要極限,（1）,,例14 求,,解：,例15 求,,,,例17 求,,解：,,,,（四）無窮小量與無窮大量,1、定義,★注意,討論：,對比無窮小量與無窮小的量，二者是一個概念嗎？,,,2、相關(guān)定理,★說明,★說明,3、無窮小的比較與階,無窮小的比較與階,三、函數(shù)

10、的連續(xù)性,微積分學(xué)所研究的函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)。,我們現(xiàn)在要研究的就是用極限來描述函數(shù)連續(xù)的定義。,當(dāng)我們把函數(shù)y=f(x)用它的圖像來表示時，就會發(fā)現(xiàn)有的函數(shù)曲線的大部分是連續(xù)不斷的，只是在某些地方是斷開的。例如：,函數(shù)在x=0是斷開的，在[-1，1]的,其它地方是連續(xù)不斷的。,因此，我們可以認(rèn)為，如果一個函數(shù)的圖像在某一區(qū)間上是連續(xù)不斷的，那么就稱這個函數(shù)在這一區(qū)間上是連續(xù)的。,為了精確地描述函數(shù)連續(xù)的概念，先引進(jìn)

11、函數(shù)增量的概念。,1、函數(shù)的增量,★說明,（一）函數(shù)的連續(xù)性,2、函數(shù)連續(xù)性的概念,,,因?yàn)?總成立，因此有：,上式表明：連續(xù)函數(shù)求極限時，極限符號可以和函數(shù)符號交換次序。,,（式3）,（式1）,（式2）,,,,,,,若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)。,若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，

12、且在區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)（ ）右端點(diǎn)左連續(xù)（ ），則稱 在閉區(qū)間 上連續(xù)。,幾何意義：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)為一條沒有任何間斷的曲線。,（三）函數(shù)的間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn)包括三種情況：,,以上兩種情況稱為可去間斷點(diǎn)(令 ),第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)之外的間斷