等離子體物理學-spacephysicsdivisionofustc-中國科學技術(shù)大學

1、等離子體物理學,李毅2011.9,相關(guān)書籍,課本李定，陳銀華，馬錦繡，楊維纮，等離子體物理學，高等教育出版社，2006。參考文獻杜世剛 等離子體物理，原子能出版社，1988Dwight R. Nicholson, Introduction to Plasma Theory, John Wiley & Sons Inc., 1983T.J.M. Body and J. J. Sanderson, The Physics

2、 of Plasmas, Cambridge Univ. Press, 2003Wolfgang Bamjohann and Rudolf A. Treumann, Basic Space Plasma Physics, Imperial College Press, 1997金尚憲 徐家鸞 等離子體物理學，原子能出版社，1980Nicholas A. Krall, ,Alvin W. Trivelpiece, Principle

3、s of Plasma Physics, 有中文譯本。Chen, F. F. Introduction to Plasma Physics. 2nd ed. Plenum Press, 1984. 有中文譯本。馬騰才 胡希偉 陳銀華 等離子體物理原理，中國科學技術(shù)大學出版社，1988T. J. M. Body & J. J. Sanderson, Plasma Dynamics, Barnes & Noble In

4、c., 1969,等離子體的概念和參數(shù)范圍,等離子體從廣義上說，是泛指一些具有足夠能量的自由的帶電粒子，其運動以受電磁場力作用為主的物質(zhì)，從這個意義上來說，半導體、電解液都是等離子體。但一般相對專門性地是指電離了的氣體，當然它的行為是以帶電粒子和電場磁場自恰地相互作用為主導。等離子體的感性認識：是部分或完全電離了的氣體，它的行為受電磁場影響。溫度是導致物質(zhì)狀態(tài)變化的關(guān)鍵參量，等離子體是物質(zhì)繼固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)之后的第四種狀態(tài)。,氣體電

5、離,氣體溫度升高導致電離，從而形成等離子體態(tài)。等離子體的復合率為 這里 是常系數(shù)只要氣體有1%的電離，其行為就會由電磁場主導。等離子體的溫度和電子（離子）密度是它的重要參量。,Saha方程描述了溫度與電離度（電離和復合達到平衡）的關(guān)系。這里ne,ni是電子和離子的密度，no是中性粒子的密度，h是Planck常數(shù)，k是Boltzmann常數(shù)。 pe, pi, po分別是電子、離子和中性粒子的統(tǒng)計權(quán)重，對氫

6、(H)來說分別是2，2，1，而 Ei 是電離能，對于H原子為13.6eV。,從等離子體密度可以估算粒子之間的平均距離： 在這個距離上，帶電粒子之間的勢能為而粒子的動能是與溫度有關(guān)的，作為等離子體，一般來說，其動能要比勢能大得多。,動能與勢能,,,等離子體的溫度常用能量 表示，如：處于平衡態(tài)的等離子體常常具有Maxwellian分布，即 對于非Maxwellian分布的等離子體，只有有效的動力學溫度：,溫度與

7、速度分布,,,,,等離子體的各種存在,等離子體的參數(shù)范圍很大，溫度跨越了約7個量級，密度跨越約25個量級，這么大的范圍類，等離子體物理都是適用的。,等離子體的各種存在方式,雖然等離子體在日常生活中不象固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)物質(zhì)那樣常見，但事實上，自然界99%以上的物質(zhì)是等離子體。遙遠的恒星包括太陽都是以等離子體形式存在。行星際、磁層、電離層都是等離子體態(tài)的物質(zhì)。大氣中的閃電、高溫火焰也是等離子體。極光、霓虹燈、閃電、電弧光、火焰等都是等離子體

8、。古希臘哲學家認為火是構(gòu)成世界萬物的四種元素之一，它也是中國古代五行之一，八卦中的“離”也代表火?？梢姾茉缛藗兙驼J識到等離子體是構(gòu)成世界的重要的物質(zhì)。等離子體的參數(shù)范圍很大，溫度跨越了約7個量級，密度跨越約25個量級，這么大的范圍類，等離子體物理都是適用的。,八卦中的“離” 代表等離子體類的物質(zhì),上、中、下三個爻全是陽爻的卦是乾卦，乾卦代表天在上。上、中、下三個爻全是陰爻的卦是坤卦，坤卦代表地在下。下面是陽爻，上面也是陽爻，中間是陰爻

9、，是離卦，代表太陽，位置在東方，亦代表火，代表光明。下面是陰爻，中間是陽爻，上面是陰爻，卦名叫坎，代表月亮，也代表水。乾、坤、離、坎四個卦，就是天、地、日、月四個象。,等離子體物理的重要應用,等離子體研究的生長點：空間等離子體，能源相關(guān)的等離子體，工業(yè)技術(shù)相關(guān)的等離子體物理空間物理：高層大氣、電離層、磁層、行星際空間、太陽日冕、太陽光球及內(nèi)部，恒星，星際等，空間環(huán)境是人類活動的新領(lǐng)域，空間天氣與人類生活越來越緊密地聯(lián)系在一起。能源需

10、求：主要是受控熱核聚變。磁約束、慣性約束。工業(yè)技術(shù)：等離子體電視、化學、冶金、表面處理、金剛石人工合成、鍍膜、焊接、燈具,對于等離子體的描述方法,1. 單粒子運動僅考慮帶電粒子在電磁場中的運動，不考慮帶電粒子運動對電磁場的影響。方法簡單直觀，但不自洽，無法求出電磁場的變化2. 磁流體力學將等離子體視為受磁場作用的流體，同時考慮流體的流動使磁場產(chǎn)生的變化。結(jié)果是自洽的，但等離子體需保持電中性和高導電性，以至于無須考慮電場的影響

11、。僅適合處理低頻長波的變化，因而被稱為等離子體宏觀理論 。,對于等離子體的描述方法,3. 多成分流體與電磁場相互作用對于每種帶電粒子視為是一種流體，等離子體由多種流體成分組成，同時與電磁場發(fā)生自洽的相互作用。電子和離子可以分離，允許靜電場存在，可以處理高頻或短波長的問題，但要求同一種流體的速度分布不是遠離平衡態(tài)的。4. 動理學理論通過等離子體中電子和離子各種成分的速度分布函數(shù)完整描述等離子體的狀態(tài)。對帶電粒子加速、反射等現(xiàn)象能夠

12、很好地描述。需要解的信息太多，求解復雜。稱為等離子體的微觀理論。,流體的歐拉描述和拉格朗日描述,等離子體描述中，除了非自洽的單粒子運動理論，都將等離子體當作流體或相空間的流體處理。對流體進行描述，考察各個物理量隨著時間的變化，常用的是歐拉法，即考察固定的地點上物理量隨時間的變化，另外一種方法是拉格朗日法，是考察固定的物質(zhì)上的物理量隨時間的變化。因為物質(zhì)是移動的，因此不但隨時間變化，也隨空間變化。微分時的關(guān)系,思考題,自然界中，有哪

13、些等離子體物質(zhì)？它們的溫度、密度的參數(shù)范圍是什么？試舉例說明。等離子體有哪些描述方式？其中，哪些是自洽的，哪些不是自洽的？對于流體來說，拉格朗日法和歐拉法是怎樣的描述方法？指出其中各自的特點，評論其優(yōu)缺點。,第1次課,流體的連續(xù)性方程,描述流體密度的基本方程是連續(xù)性方程假設(shè)等離子體沒有產(chǎn)生（電離）、沒有消失（復合），一塊等離子體的數(shù)量會保持不變。拉格朗日法給出的流體連續(xù)性方程隨體運動時，體積和密度都在不斷變化，為了弄清楚體

14、積的變化必須先知道線段在流動中的變化。,,拉格朗日法考察線段流動,流體中一段長度元 ，經(jīng)過時間Dt之后，新的長度元滿足,拉格朗日法求連續(xù)性方程,拉格朗日法給出的流體連續(xù)性方程不可壓縮條件,歐拉法求連續(xù)性方程,一個小體積元中，x方向兩側(cè)凈流入為再考慮y和z方向，最后得與拉格朗日法得到的連續(xù)性方程等價。,動理論方程,相空間取空間坐標和速度坐標均為自變量。分布函數(shù) f(t,x,v

15、) 是相空間的粒子密度。動理論方程是相空間的連續(xù)性方程，x、v相互獨立：碰撞項。帶電粒子緊鄰的局部電磁場迥異于平均電磁場引起的效應。在速度空間分布函數(shù)有顯著改變，記為：,滿足動理論方程的平衡分布,麥克斯韋分布。多次碰撞后，分布趨向于顯然滿足動理論方程。波爾茲曼分布。有靜電勢時，顯然滿足動理論方程。一般帶電粒子運動時，哈密頓函數(shù)H守恒的情況下，有,等離子體的高導電性和內(nèi)部電場,等離子體是良導體。等離子體由能夠自

16、由移動的帶電粒子組成，因而具有很好的導電特性。非磁化等離子體無內(nèi)部電場如果把等離子體視為電阻很小的良導體，非磁化的等離子體內(nèi)部則相當于導體內(nèi)部，電場趨向于0。磁化等離子體中的電場基本上垂直于磁場雖然在有磁場的等離子體中可以有電場（磁場的作用阻礙了帶點粒子在垂直磁場方向做自由移動，因而），但電場只有垂直于磁場的分量，平行于磁場的電場分量也很小。,等離子體整體呈準電中性,等離子體整體呈電中性。如果等離子體中有凈電荷存在的話，會導致

17、靜電場產(chǎn)生，這與等離子體中不存在電場的假設(shè)相違背。熱運動引起電荷的隨機漲落，電中性被破壞由于等離子體具有一定的溫度，帶電粒子的熱運動會引起電荷的隨機漲落，時時會破壞電中性條件，而凈電荷產(chǎn)生的靜電場不斷試圖使等離子體保持凈電荷分布處處為0的電中性。準電中性等離子體只能在一定空間范圍和時間尺度上保持電中性，而小于這個空間范圍或時間尺度時，等離子體會在局部或在短暫時間內(nèi)偏離電中性。從長時間和大尺度范圍看，等離子體仍然呈現(xiàn)出電中性的特點

18、。因此，我們稱等離子體呈現(xiàn)準中性的特點。,準電中性的空間尺度,等離子體偏離電中性具有一定的空間尺度和時間尺度?？紤]在等離子體中放入一個電勢為f的無限大平板柵極。這時，假設(shè)柵極電位大于0，周圍的離子被趕走，而電子被吸引，從而產(chǎn)生凈電荷。凈電荷產(chǎn)生的電場與帶電粒子的熱運動達到動態(tài)平衡。此時，考慮一維靜電情況下的等離子體的分布函數(shù) f ( t, x, v )是波爾茲曼分布，滿足動力論方程及靜電方程：,德拜屏蔽和德拜長度,考慮等離子體由電子

19、和單一成分離子組成且其中，定義德拜長度 lD 滿足而此時靜電勢為：這里電勢衰減的特征長度正是德拜長度。也是等離子體在空間上能夠偏離中性條件的尺度。,點電荷的德拜屏蔽,考慮等離子體中的一個點電荷周圍的電勢此時定積分常數(shù)利用無窮遠處靜電勢為0及沒有等離子體時回歸真空時的電勢表達式。等離子體中的電勢比真空的顯著減小，以德拜長度指數(shù)遞減。熱運動使得屏蔽效果變差，電荷密度越大則屏蔽效果越好。,德拜球內(nèi)的電子數(shù)

20、,計算一下以德拜長度為尺度的等離子中的電子個數(shù)。這里L是電子之間的平均距離。U是在平均距離下的電勢能。等離子體有熱運動動能遠大于勢能的性質(zhì)，因而德拜球中的電子個數(shù)遠大于1，正是這樣才能起屏蔽作用。,準電中性的時間尺度,考慮等離子體偏離電中性的時間尺度。帶電粒子的熱運動也會引起電荷分布的漲落，從而短時間內(nèi)產(chǎn)生的非電中性和電場。電場試圖回復等離子體的電中性，但在電荷分布回復中性時，帶電粒子又具有了運動的動能，會引起新的電荷分布不均

21、勻，結(jié)果成為振蕩運動。特別對于電子振蕩引起的波動，我們稱電子的這種振蕩為電子靜電波，也叫Langmuir波。簡單來說，假設(shè)電子整體移動了x，內(nèi)部產(chǎn)生電場為,離子與電子同時振動的情況,等離子體中，既有電子的熱運動，也有離子的熱運動。簡單來說，假設(shè)電子整體向右移動了xe，離子整體向右移動了xi，內(nèi)部產(chǎn)生電場和運動為說明振蕩是以電子為主。離子作用可以忽略。,準電中性的時間、空間尺度和熱運動,wp稱為等離子體頻率。其倒數(shù)是滿足準電中

22、性條件的時間尺度。它只是等離子體的密度的函數(shù)，與溫度無關(guān)。等離子體偏離電中性與帶電粒子的熱運動有很大關(guān)系。熱運動的速度恰好是德拜長度和等離子體頻率的乘積：這說明若用以角頻率wp作簡諧振動模型，電子振幅是德拜長度 lDe ，過平衡點時速度為 vt。,思考題,驗算有電勢的Boltzmann分布滿足動理論的穩(wěn)態(tài)Vlasov方程。等離子體若是可壓縮的，試說明等離子體速度的散度正比于單位時間內(nèi)此地的等離子體密度的壓縮比率。若密度為n的

23、等離子體中，一半電子溫度為T而另一半是冷的，其中的電子靜電振蕩的頻率會如何變化？等離子體中的某些電子正在做簡諧振動，其振幅為Debye長度，動能由熱運動提供，其簡諧振蕩角頻率是多少？,第2次課,等離子體中的碰撞,經(jīng)典的二體碰撞。兩體碰撞在質(zhì)心系中化為約化質(zhì)量在有心力作用下的運動 利用角動量守恒，有 這里b是瞄準距離。對時間積分：,碰撞的偏轉(zhuǎn)角和微分散射截面,為經(jīng)典二體碰撞的偏轉(zhuǎn)角公式。當瞄準距離b=bmin 時，偏轉(zhuǎn)角為

24、90度。碰撞的微分散射截面，即單位立體角對應的靶面積，計算為：,庫侖碰撞,按照瞄準距離，將碰撞情況近似為：近碰撞，轉(zhuǎn)角大于90度：遠碰撞，轉(zhuǎn)角小于90度： 無碰撞，因德拜屏蔽，認為無靜電場： 近碰撞頻率為：處理遠碰撞時，多次小角度碰撞累計為一次大角度偏轉(zhuǎn)的情況，遠碰撞頻率因為 ，遠碰撞比近碰撞更重要。因此，我們用遠碰撞頻率近似表示碰撞頻率。,實驗室坐標系中的碰撞,在實驗室坐標系中，被撞的（下標2）

25、粒子靜止，偏轉(zhuǎn)角與質(zhì)心系中有所不同。在 時，兩者近似相等。在 時，有在 時，有因此，在實驗室坐標系中，計算等離子體中的電子-電子，電子-離子，離子-離子彼此的碰撞頻率時也要做相應調(diào)整。,實驗室系的碰撞頻率分析,考慮約化質(zhì)量相對速度瞄準距離,實驗室系的碰撞頻率分析,因質(zhì)心系與實驗室坐標系中偏轉(zhuǎn)角度的不同，有

26、因此，在實驗室坐標系中，考慮等離子體中的電子-電子，電子-離子，離子-離子彼此的碰撞頻率這說明等離子體中，電子與其他粒子的碰撞頻率很高，而離子與其他粒子碰撞的頻率很低。,實驗室系碰撞的能量交換,每種碰撞每次交換的能量為（剛性球模型）：因此，在實驗室坐標系中四種碰撞單位時間的能量交換為,等離子體因碰撞趨于平衡的快慢,這說明等離子體中，因碰撞趨于平衡分布的時間，電子-電子最短，離子-離子其次，而電子和離子之間達到平衡分

27、布所需時間最久。,單粒子運動,等離子體的一種最簡單的描述方法，它只考察帶電粒子在電磁場作用下的運動：但并不考慮帶電粒子運動狀態(tài)變化而引起的電磁場適用范圍：稀薄的等離子體成分，或具有強大磁場的情況。其運動狀態(tài)的變化不會顯著改變已存在的電磁場。優(yōu)點：簡單直觀，物理圖像清晰。缺點：不是自恰地描述物理過程。無法研究帶電粒子與電磁場的相互作用。,帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動,回旋運動類似旋轉(zhuǎn)運動：回旋頻率（矢量）,帶電粒子在

28、均勻恒定磁場中的運動,取z軸為磁場B方向令則帶電粒子垂直方向做回旋運動，平行方向速度不變。,求解得帶電粒子的運動,帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動,,,,,,r,Wt,x,y,o,,,B,均勻恒定磁場中帶電粒子的回旋運動,值得注意的是，回旋頻率只與磁場的大小有關(guān)，而與回旋粒子的垂直速度或回旋半徑無關(guān)。但如果相對論效應不能忽略，則帶電粒子的質(zhì)量會發(fā)生變化，回旋頻率會隨著垂直方向的速度改變。此時，帶電粒子的運動方程為其中g(shù)

29、是相對論因子。它只與帶電粒子速度的大小有關(guān)，與速度的方向無關(guān)。而事實上，只要用點乘式即可看出：,帶電粒子在均勻恒定電磁場中運動,磁場、電場恒定假設(shè)電場在x、z平面內(nèi)解得即引起y方向的漂移速度,帶電粒子引導中心的漂移運動,引導中心的漂移運動回旋運動時可定義引導中心引導中心的運動速度為其中，加速度,,,,除磁場之外的外力,引導中心的漂移運動,化簡可得其中，引導中心的漂移速度分為3項。平行磁場的運動外

30、力引起的垂直磁場方向的漂移磁場的不均勻性引起的漂移,,,,引導中心的漂移運動,帶電粒子運動大致圖像：首先，它繞著磁力線旋轉(zhuǎn)，但其引導中心主要是沿著磁力線方向做平行運動。其次，引導中心會在外力作用下漂移偏離磁力線，其漂移方向與磁力線垂直，也與力的方向垂直。此外，磁場的不均勻性也能引起漂移運動。下面我們詳細分析一下帶電粒子的各種引導中心的漂移運動。,恒定電場力的漂移運動,對于恒定靜電場，漂移速度為值得注意的是，電場漂移速度與帶電粒

31、子的電荷的正負符號無關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無關(guān)。在等離子體中，離子和電子以相同的方向和速度漂移，不會造成的電荷分離。事實上，我們?nèi)绻∫粋€以相對速度運動的新參考系（稱為deHoffman-Teller參考系），通過洛侖茲變換可以發(fā)現(xiàn)，在新的參考系中電場為0，帶電粒子只是簡單地圍繞磁力線旋轉(zhuǎn)。而在我們原先的參考系中觀察，所有的電子和離子除了回旋之外，均以一個相同的速度做漂移運動。,,,,重力等其他恒定力的漂移運動,普通情況下，力總是引起與

32、其方向一致的加速度。而在有磁場的情況下，力引起的是一個垂直方向的漂移速度這個速度與帶電粒子的質(zhì)量也沒有關(guān)系，但與其電荷有關(guān)。尤其對于電荷符號相反的帶電粒子，其漂移方向也相反。在等離子體中，電子和離子漂移方向不同，會引起電荷分離，從而產(chǎn)生一些特殊的物理現(xiàn)象（如等離子體-磁場分界面上產(chǎn)生的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性）。,,,,思考題,為什么通常Debye長度遠大于近碰撞的瞄準距離？給出證明。庫侖碰撞所用的電勢的模型是什么?庫侖碰撞(遠碰撞)和

33、近碰撞一般情況下誰的碰撞頻率更高?在均勻電磁場 中，電子原先靜止在原點，求它其后的運動軌跡并證明是擺線。磁場中的引導中心位置如何確定？受力之后引導中心向哪個方向漂移？,,,,第3次課,磁場不均勻性引起的漂移,帶電粒子感受到的磁場變化主要是磁場空間不均勻引起的磁場變化的頻率應遠遠小于回旋頻率，否則引導中心的近似不成立。一般來說，磁場隨時間變化會感應出電場，情況比較復雜，因而這里不予考慮。

34、普通情況下，磁場變化頻率很低?？臻g變化的特征尺度也應該遠大于回旋半徑。研究漂移時需要對回旋圓周做平均。,,,,磁場不均勻性引起的漂移,對回旋圓周做平均時，假設(shè)帶電粒子作螺旋運動因此進一步化簡可得：,,,,磁場不均勻性引起的漂移,其中 是在垂直方向上的空間微分算符。,,,,磁場不均勻性引起的漂移,即有：在公式中，磁場在空間的變化包括兩個部分，一是磁力線方向的變化，另一個是磁場強度的變化。沿著磁力線方向看磁

35、場方向的變化，可計算磁力線的曲率可得,,,,磁場不均勻性引起的漂移,即有：在公式中， 是曲率（密切圓半徑的倒數(shù)），表示磁力線的彎曲程度，方向指向磁力線密切圓圓心。在沒有電流的地方，有（下一頁給出證明）統(tǒng)一為,,,,磁場不均勻性引起的漂移,證明：沒有電流時，磁場的空間不均勻性引起的漂移運動分為兩部分，一是離心力引起的，為（式中R為曲率半徑） ：,,,,磁場不均勻性引起

36、的漂移,另一部分是磁張力引起的（也可以說是磁場梯度引起的 ），為：這里m是回旋運動的磁矩 ：而 體現(xiàn)了磁場的梯度對帶電粒子所施加的等效作用力。 在無電流區(qū)域，曲率漂移和梯度漂移方向一致。,,,,帶電粒子在時間變化電場中的漂移（極化漂移）,有恒定磁場和垂直于磁場的變化電場 解運動方程 ：令,,,,帶電粒子在時間變化電場中的漂移（極化漂移）,一般情況電場的變化遠慢于回旋，則y方向上是普通的電漂移，x方

37、向上即是極化漂移： 粒子越重，漂移越快。引起電流，電荷分離。,,,,守恒量和絕熱不變量,對于只在磁場中運動的帶電粒子，其動能守恒。 有周期運動的系統(tǒng)中，若系統(tǒng)的能量變化遠慢于周期運動，則周期運動的角變量q對于它的廣義動量p積分一周，可得對應的作用變量 近似不變，稱為絕熱不變量。結(jié)論論證如下：假設(shè)系統(tǒng)只有一個廣義變量q（其實只需在哈密頓-雅可比方程中q可分離出來），有,,,,守恒量和絕熱不變量,系統(tǒng)的哈密

38、頓函數(shù)為反解為因而對哈密頓方程作l和E的偏導數(shù)，得到代入得,,,,回旋運動和磁矩不變量,對于回旋運動，對應磁矩不變量。 由于帶電粒子在磁場中運動時，動能w不變，同時磁矩也是絕熱不變量，因此沿磁場方向的動能w||可寫為 如果只考慮粒子的平行方向動能，mB可看作等效勢能，勢能的負梯度是等效磁鏡力：這個力引起磁場梯度漂移。,,,,磁鏡力,如圖是一個非均勻（這里以會聚的為例）磁場形態(tài)。帶電粒子在磁場中旋轉(zhuǎn)運動時，受

39、力計算的結(jié)果與從能量分析得到的完全相同：,,,磁鏡效應,當磁場會聚時，帶電粒子在回旋的同時，沿著磁場方向磁場強的區(qū)域前進時，會受到反向的磁鏡力。這種力可能使粒子的平行速度減為0然后反向，使粒子被反射如同鏡子反射光線。帶電粒子的速度方向與磁場的夾角稱為投射角。在磁鏡反射點上，投射角變成直角，平行方向的速度是0，垂直方向的速度是粒子的總速率。假設(shè)磁鏡裝置中的帶電粒子處于磁場較弱的區(qū)域（磁場為Bmin），其投射角如果小于某個臨界角qm就能通

40、過磁場最強的地方（磁場為Bmax），則有,,,損失錐分布,投射角小于這個臨界角的帶電粒子能通過磁場最大的地方，是通行粒子（或逃逸粒子），而投射角大于這個臨界角的帶電粒子會被兩端的強磁場束縛在中間的弱場區(qū)域，成為束縛粒子。束縛粒子所形成的分布稱為損失錐分布，因為投射角小于臨界角的粒子都逃逸了，而投射角大于臨界角的粒子依然存在，其總體分布好像挖去兩個對頂?shù)膱A錐而得名。由于這種分布不是各向同性的，也不處于平衡態(tài)，因而具有自由能，可以導致一些不

41、穩(wěn)定性產(chǎn)生。,,,彈跳運動和縱向不變量,帶電粒子在做回旋運動的時候，沿著磁場方向上會在磁鏡點之間被磁鏡力來回反射，稱為彈跳運動，也是一種周期運動，周期遠長于回旋周期。相應的絕熱不變量為縱向不變量，沿著磁力線方向（縱向）其動量做空間積分：地球輻射帶中捕獲了不少高能帶電粒子，它們在地球南北磁極之間做彈跳運動。,,,費米加速,我們常常能觀測到來自宇宙中的一些能量極高的帶電粒子，如有的粒子能量可達1018eV。為了解釋這些高能帶電粒子的來源

42、，費米提出了一種加速機制。宇宙中有一些地方存在強磁場，當帶電粒子被兩個相對運動的強磁場區(qū)域捕獲時，每次反射時由于強場的相對運動都獲得能量。粒子能量在漫長的歲月中不斷積累，從而達到極高能量，最終逃出強磁場之間的束縛，成為自由的高能粒子。,,,等磁通面上的環(huán)繞漂移運動,在彈跳運動過程中，由于磁場的空間不均勻性，導致曲率漂移和磁鏡力漂移。漂移的方向是軸向的，當漂移一圈能夠回到原來的磁力線上。這種周期運動的周期又遠長于彈跳運動的周期?？梢匀∏蜃?/p>

43、標的軸向角j為此種周期變化的廣義變量，相應的： 稱為磁通不變量。即帶電粒子的漂移是沿著同一個的磁通面進行的。,,,地球磁層中的帶電粒子運動,地球磁層中有內(nèi)輻射帶和外輻射帶。這些輻射帶中捕獲大量的高能帶電粒子，分別來自地球外層大氣和太空。地球的磁場可以近似看作是偶極磁場，帶電粒子在磁場中做回旋運動、彈跳運動和等磁通面上的繞地球漂移運動，這三種周期運動分別對應磁矩不變量、縱向不變量和磁通不變量。其周期也依次增加。這三個絕熱不變

44、量的不變性取決于外界環(huán)境變化的特征時間是否遠遠大于它們所對應的運動周期。如果外界環(huán)境變化較快，絕熱不變量就無法保持其不變的特性。,,,托卡馬克中的帶電粒子運動,在托卡馬克中，因為環(huán)向磁場與大半徑R成反比，Bt~1/R，靠近中心的地方磁場更強。而帶電粒子沿磁面運動時，如果投射角小于臨界角，則為通行粒子，如果投射角大于臨界角，則沿著磁力線運動向中心附近時，會發(fā)生反射，這些粒子稱為捕獲粒子。同時，因其軌道類似香蕉，也稱為香蕉粒子。由于被捕獲粒

45、子和通行粒子這兩類粒子的存在，速度分布也不是平衡的，能產(chǎn)生一些動力學效應。,,,思考題,假設(shè)地球赤道處的磁場為0.3G，并且它象理想偶極子一樣，以r-3衰減。假設(shè)存在1eV質(zhì)子和3x104eV的電子，分布各向同性。在赤道平面r=5R(R為地球半徑)處，二者密度都為n=105m-3。(1)計算離子和電子的磁場梯度漂移速度。(2)電子的漂移方向如何？(3)一個電子繞地球緩轉(zhuǎn)一周所需要的時間。(4)計算環(huán)向漂移電流密度。在磁鏡比Rm=5的兩

46、個運動磁鏡間俘獲的一個宇宙射線的質(zhì)子，它的初始能量為w=103eV，并且在中間平面處有v垂直=v平行，每個磁鏡以速度Vm=104m/s向中間平面運動，L=1010m。 (1)用損失椎公式和磁矩不變性，求出質(zhì)子逃逸前將加速到多高能量。(2)粒子由初始被捕獲到逃逸需要多少時間？,,,第4次課,等離子體的宏觀物理量,分布函數(shù)和宏觀物理量分布函數(shù)的意義在于描述了局域中具有特定速度的粒子有多少。如果所測物理量與粒子速度有關(guān)，宏觀測量值應該是局域

47、所有粒子所具有的該物理量的平均值：這里 是與速度有關(guān)的物理量，它的宏觀觀測值為 ，即該物理量對粒子分布的加權(quán)平均。例如，微觀速度v對應的測量量是等離子體的流動速度。,,,等離子體的流體運動模型,等離子體的流體運動模型是研究等離子體的宏觀觀測物理量的變化和滿足的方程。而微觀的分布函數(shù)滿足動理論方程：這里的電場和磁場是尚未把碰撞項歸于一起時的包含微觀變化的場。為了求出宏觀物理量

48、 滿足的方程，必須對動理論方程做必要的速度積分運算，同時要乘以微觀量 。,,,矩方程,等離子體的流體運動模型是研究等離子體的宏觀觀測物理量的變化和滿足的方程。而微觀的分布函數(shù)滿足動理論方程：其中，用到了分部積分及在速度無限大的地方分布函數(shù)為0的條件。所得的方程稱為矩方程，是由微觀動理論方程得到的宏觀物理量滿足的方程。,,,連續(xù)性方程和動量方程,取 ，得連續(xù)性方程：取

49、 ，得動量方程（守恒形式）：其中， 為壓力張量。,,,壓力張量,熱運動速度通常是指微觀速度與宏觀平均速度之差。設(shè)想流體中有一個與當?shù)亓魉僖粯拥募傧胄×⒎襟w，由于有熱運動，粒子自由穿越立方體表面。若將立方體表面實體化，并清空外部的粒子，則立方體表面受到壓力，正是壓力張量的各個分量。如Pxy是法線x方向的面單位面積所受到的壓力（壓強）的y分量。計算如下：,,,壓力張量,對于普

50、通的Maxwellian分布，I是單位張量。若平行磁場和垂直磁場方向的溫度不同，b是磁場方向的單位向量。對于流體力學中有粘滯情況，壓力張量的非對角項不為0，相關(guān)的理論給出(h為粘滯系數(shù)，h'為體積粘滯系數(shù)，是與流體可壓縮性有關(guān))：,,,動量方程中的碰撞項,對于動量方程，其中的電磁場如果去除局域中的微觀變化，歸并為碰撞效應，則要考慮單位時間內(nèi)因為碰撞引起的動量變化：動量的改變量與坐標系無關(guān)。質(zhì)心系中，粒子的初動量為約化

51、質(zhì)量mab乘以兩粒子的速度差，末動量偏轉(zhuǎn)90度方向但在垂直面內(nèi)各項同性，統(tǒng)計平均后為0。,,,牛頓受力方程,包含碰撞項的動量方程：與之等價的是牛頓受力方程：單位體積中的等離子體受力分別是：壓力梯度力，電磁力，碰撞阻力。碰撞項的碰撞頻率用庫侖碰撞頻率，而電子與離子的速度差與電流有關(guān)。負壓力梯度是流體的受力。對于帶電粒子，還受洛侖茲力。,,,壓力滿足的方程,對于矩方程，取 ，首先有并引入熱流矢量（絕熱情

52、況下這項為0）得到壓力滿足的方程為：這里使用了愛因斯坦求和約定。且,,,對角項壓力滿足的方程（能量方程）,對于一般情況，Pij只有對角項（i=j）不為0。取i=j并從1到3求和：這時壓力對角項之和近似等于：熱流在這種近似情況下也為0（絕熱）：如果分布函數(shù)偏離麥克斯韋分布較嚴重，則絕熱近似并不成立。,,,能量方程的化簡,利用連續(xù)性方程將能量方程化簡 ：這是常用的求解溫度變化的方程。其中壓力通過狀態(tài)方程來用溫度表

53、達。內(nèi)能的變化來源于內(nèi)能的輸運和壓力做的功，電場產(chǎn)生的焦耳熱，以及熱流。當分布函數(shù)遠離平衡分布時，沒有統(tǒng)一的溫度，不同的方向上的壓力也不一樣，需要對每個的壓力張量分量分別計算。,,,壓力張量滿足的方程,利用連續(xù)性方程，簡化消去方程前幾項得再代入得,,,壓力張量滿足的方程,利用牛頓方程簡化得絕熱條件下，成為（利用了連續(xù)性方程）對于對角項，有（此式不用愛因斯坦求和約定）,,,絕熱各項同性壓力方程,如果壓力張量只

54、有對角項不為0，則有對于各項同性情況，如果物理問題是D維的（D=1,2,3），則這是絕熱條件下的狀態(tài)方程，多方指數(shù)g對于1維問題是3，對于2維問題是2，對于3維問題是5/3。,,,雙絕熱模型的壓力方程,對于有磁場情況，一般來說，平行磁場方向的壓力與垂直于磁場的壓力不一樣。假設(shè)只有對角項壓力不為0，則另外，利用單粒子軌道理論中，帶電粒子的磁矩是絕熱不變量的結(jié)果，用垂直方向的熱運動速度代替粒子的垂直速度，有：,,,雙絕

55、熱模型的壓力方程,綜合雙絕熱模型的兩個方程，可推出這個方程也可以用后面要講到的凍結(jié)方程導出。等離子體凍結(jié)在磁場中時，它與線元流動具有相同的方程：取平行于磁場的方向，得：,,,壓力方程的討論,而故與用磁矩是絕熱不變量得到的結(jié)果相同。如果不是絕熱情況，需要知道熱流，而寫出熱流滿足的方程中，又必然需要引入更高階矩的物理量，以至于將問題復雜化。對于有熱流情況處理的簡化辦法是設(shè)置多方指數(shù)g為合理的數(shù)值來求解，如 g=1是等溫

56、過程。,,,帶電粒子的流體方程組,總結(jié)一下，通過矩方程的計算，得到帶電粒子的流體方程組：1. 連續(xù)性方程2.動量方程（守恒型）或牛頓方程,,,帶電粒子的流體方程組,3.1 能量方程：3.2 絕熱方程3.3 雙絕熱方程（下面三個中取二個）這三個方程依據(jù)具體情況選擇其一。,,,思考題,從矩方程推導出等離子體的受力方程。從能量方程 和受力方程，導出壓力各向同性時，絕熱情況下的狀態(tài)方程。,第5次課,磁流體力

57、學方程組,將等離子體中的各個成分寫出的流體方程相加，得到對等離子體整體描述的磁流體力學方程組。由于有內(nèi)部作用力，以等離子體質(zhì)心運動描述多成分等離子體的運動。連續(xù)性方程 ：考慮到等離子體是準中性的，運動時，呈顯出整體移動的特征，各種成分的速度基本相同。但在有電流存在時，電子速度會有所不同，由于電子很輕，電子速度對整體速度（質(zhì)心速度）的貢獻極小，影響可以忽略。,,,磁流體力學方程組,受力方程：碰撞項由于是等離子體各個成分內(nèi)部

58、的碰撞，求和之后總動量并不隨碰撞改變，因而相互抵消。如果考慮準電中性條件，則,,,磁流體力學方程組,能量方程：式中e是等離子體中的平均熱運動速度。各項同性條件下，可以使用絕熱方程：或有磁場時的雙絕熱方程：,,,電場、磁場、電流,利用麥克斯韋方程組，進一步給出磁場：其中的電場的獲得比較復雜，最簡單的方法是，假設(shè)等離子體是良導體，內(nèi)部沒有平行電場，而垂直電場完全是流動造成的：從單粒子理論我們知道，這個電場恰好導致等離子

59、體整體以速度u流動?；蛘哒f，坐標變換到與等離子體一起運動時，就感受不到這個電場了。,,,封閉的磁流體力學方程組,簡化的磁流體力學方程組如下：,,,等離子體的磁流體描述,描述等離子體的物理量，有密度r，速度u，溫度T（或壓力p），磁場B（或者為矢勢或磁標勢），它們均是隨空間和時間變化的場量。等離子體作為中性的整體運動。其中可以有電流存在，電流是由磁場形態(tài)決定的。磁場力和熱壓力共同對等離子體整體運動起作用。等離子體的運動也影響磁場變化

60、。,,,磁壓力和磁張力,磁流體區(qū)別于普通流體的一個顯著特征是，在磁流體中存在磁場和電流相互作用形成的洛侖茲力。而電流也可以從磁場得到：因此從牛頓方程看 ：從而單位體積的受力除了普通的壓力梯度力之外，磁場的作用力可化為磁壓力梯度力和磁張力。,,,磁壓力,從受力的表達式中，可知磁壓力為：其表現(xiàn)和普通的熱壓力行為一樣。熱壓力與磁壓力之比稱為b值，是表征等離子體的磁化程度的重要參量：行星際空間等離子體中的b值大致是1左右，此時

61、，磁場屬于較弱的形態(tài)；日冕中或聚變實驗裝置（如托卡馬克）中，b值的典型數(shù)值是0.1，此時，磁場相對較強。,,,磁張力,受力的另一項為：前一項是磁張力 （其值是磁壓力的2倍）拉緊磁力線造成的，合力指向曲率中心，大小和磁張力及磁力線曲率成正比，是磁力線彎曲的恢復力。磁壓力梯度力不一定垂直于磁場，但總的洛侖茲力一定是垂直于磁場的。而后一項正抵消了磁壓力梯度力的平行分量。,,,洛侖茲力與電磁張量,另一方面，洛侖茲力可以寫為

62、：其中，T是電磁張量，包括各項同性的磁壓力，以及沿著磁場方向的磁張力。抵消之后，是垂直于磁場的磁壓力，以及沿著磁力線方向的磁張力（其最后的合力為垂直于磁場的恢復力）。,,,磁力線與等離子體一同流動,磁場的變化方程為：這個方程可以化為：與流動場中的線段所滿足的方程形式相同。說明磁力線是凍結(jié)在等離子體中一起流動。這也是我們計算雙絕熱時所用的方程。,,,磁場凍結(jié)時磁通不變,在磁通量管中，等離子體質(zhì)量不變，而與線段

63、元行為相同，說明磁通F也是不變的。另一方面，我們也可以直接從方程考察磁通凍結(jié)，在同一塊面積s上的磁通保持不變：,,,,有電阻時的磁場演化方程,當碰撞存在時，等效為等離子體中存在電阻。此時，在與等離子體一起運動的坐標系中的電場和電流之間有歐姆定律此時，磁場的變化方程變?yōu)椋哼@個方程我們已知右端第一項是等離子體和磁場凍結(jié)為一體的效應。而右端第二項對等離子體起到擴散作用。,,,磁場的擴散項,當碰撞存在時，等效為等離子體中存在電阻。

64、此時，在與等離子體一起運動的坐標系中的電場和電流之間有歐姆定律此時，磁場的變化方程變?yōu)椋鹤詈笠徊降忍栐陔娮杪蕿槌Ａ繒r成立。這個方程我們已知右端第一項是等離子體和磁場凍結(jié)為一體的效應。而右端第二項對等離子體起到擴散作用。,,,磁場擴散方程的一維解,考慮在與等離子體相對速度為0的隨體坐標系中，此時，等離子體的速度為0，則方程只剩擴散項：考慮一維情況：初始條件： ，經(jīng)傅里葉變換：

65、解之,,,磁場擴散方程的一維解,逆變換得：其磁通量保持常數(shù)： 但寬度與g的開平方及時間的開平方成正比。 這說明磁場隨時間逐漸擴散。,,,磁雷諾數(shù),磁場的凍結(jié)和擴散是兩種相反的特性。在理想等離子體或無碰撞等離子體中，只有凍結(jié)效應。在具有有限電阻的等離子體中，擴散也起一定的作用，但總的來說，凍結(jié)是占主要地位的。凍結(jié)項與擴散項的比值定義為磁雷諾數(shù)：式中，L是磁場空間變化的特征尺度。,,,廣義歐姆定律,當碰撞存在時，

66、等離子體中存在等效電阻。從電子的受力方程出發(fā)，可導出廣義歐姆定律對應各項依次為：流動項，霍爾效應項，電子壓力項，電子慣性項，碰撞項（電阻項）。對比先前使用的歐姆定律，有碰撞和電阻的關(guān)系：,,,廣義歐姆定律中的各項,廣義歐姆定律給出了電場的表達式。其中，流動項所起的作用是磁場的凍結(jié)效應，而碰撞項（電阻項）起磁場的擴散作用?；魻栃梺碓从陔娏骱痛艌鲎饔脮r的霍爾效應，當電子流動速度和粒子流動速度不一致而產(chǎn)生電流時，在磁場的作用下，

67、電子和離子受力不同，產(chǎn)生分離趨勢，從而等離子體因其準中性特性而自發(fā)產(chǎn)生電場來抵消這種分離趨勢。電子壓力項能在b值大的等離子體中起作用，產(chǎn)生平行電場；而電子慣性項在電磁場結(jié)構(gòu)的特征尺度與電子慣性長度相當時起作用，也能產(chǎn)生平行電場。而流動項和霍爾效應項只能提供垂直方向的電場。,,,等離子體的平衡,平衡時，等離子體不運動，滿足這表明，磁力線和電流線都是在等壓面內(nèi)。（ 是沿著等壓面的法線方向，j和B都與它垂直，因此他們都平行于等壓

68、面）對于平直的磁力線，在垂直方向，有對于柱等離子體，由于對稱性，等壓面就是柱的同心圓面。磁場既有軸向也有徑向分量：,,,柱形等離子體的平衡,柱對稱平衡時，磁力線具有一定的曲率：其中因而，徑向的平衡方程為：,,,無力場的平衡,在低b等離子體中，磁場力占主導地位，熱壓力梯度力可以忽略不計。平衡時，必須電流與磁場平行，滿足：其中a為常數(shù)時，是線性無力場，系統(tǒng)達到整體勢能最小的平衡狀態(tài)。做旋度，得Helmholtz方程：