ㄧ個數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之設(shè)計理念-數(shù)學(xué)教師知識庫

1、ㄧ個數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之設(shè)計理念,科學(xué)教育月刊,2003第十一卷第一期,林美娟 莊志洋 孫鵬宗 許金葉 黃瀧輝 盧思靜 黃凱澤,報告：數(shù)資研一 鄭則謙,大綱,摘要緒論文獻探討系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點MathCAL的數(shù)值運算核心派特里網(wǎng)路理論與MathCAL解題核心系統(tǒng)資料庫設(shè)計解題診斷矯正機制,大綱,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能系統(tǒng)架構(gòu)系統(tǒng)操作流程題目編輯器結(jié)論與未來研究方向,摘要,本文描述的是一個網(wǎng)路

2、化數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之雛形及設(shè)計理念使用派特里網(wǎng)路(Petri Nets)紀(jì)錄數(shù)學(xué)解題知識使用者要求協(xié)助時，系統(tǒng)可將其解題過程與所儲存之專家解提之事加以比對，提供適當(dāng)引導(dǎo)提供網(wǎng)路同步與非同步溝通功能庫存題目與各題目解法均具有擴充性,緒論,培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力是近二十年來美國數(shù)學(xué)教育所倡議的重點學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評鑑標(biāo)準(zhǔn)(NCTM,1989)學(xué)校數(shù)學(xué)課程之原則與標(biāo)準(zhǔn)(NCTM,2000)國民中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(教育部,2002a)問

3、題解決不只侷限於練習(xí)題或測驗卷，而是泛指解決日常生活中的各種問題,緒論,電腦輔助教學(xué)解題系統(tǒng)應(yīng)具有以下特色：分別記錄專家與學(xué)習(xí)者之解題步驟，並據(jù)以分析學(xué)習(xí)者之解題狀況強調(diào)解題概念的運用，而非繁瑣的運算擁有足夠的運算能力提供新增知識庫與題庫的機制透過網(wǎng)路溝通功能提供學(xué)習(xí)者之間合作的機制模擬紙筆解題的方式，完整呈現(xiàn)解題過程儲存學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)歷程,緒論,MathCAL 發(fā)展過程：,文獻探討,數(shù)學(xué)家Polya指出，數(shù)學(xué)解題歷程包括了

4、解問題、擬定解題計畫、執(zhí)行計畫、回顧解題過程中可能產(chǎn)生的問題：無法深入了解題意以分析題目已知條件和所要求之答案未能仔細(xì)閱讀題目內(nèi)容不知如何分析題目之已知條件和所欲求取結(jié)果之間的關(guān)連解題過程中計算錯誤習(xí)於聆聽老師講解解題過程，缺乏主動參予解題的歷程練習(xí)解題過程中缺乏即時解惑的回饋以致半途而廢,文獻探討,NCTM 2000 中，將「科技」(technology)、「平等」(equity)、「課程」(curriculum)、「教

5、」(teaching)、「學(xué)」(learning)、「評量」(assessment)、並列為數(shù)學(xué)教育的六大原則其中「科技」所陳述的是： 科技的運用對於數(shù)學(xué)教育是不可或缺的，它可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成效,文獻探討,以科技工具輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的好處：可將抽象數(shù)學(xué)概念視覺化，針對螢?zāi)簧暇呦蠡奈锛M行數(shù)學(xué)概念的觀察與討論藉由任意操弄數(shù)據(jù)或圖形觀察其立即的變化複雜運算由計算工具取代，使學(xué)生將時間與精力轉(zhuǎn)而做較高層次概念或模式上的思考科

6、技工具所具備的運算能力可進行大量資料的收集、分析、與呈現(xiàn)網(wǎng)路豐富資源得以接觸廣泛而多樣化的題目可提供個別化、適性化的教學(xué)，因而兼顧不同性向或不同學(xué)習(xí)成就的學(xué)生,文獻探討,相關(guān)研究：依照教學(xué)理論、知識範(fàn)圍、使用對象、學(xué)習(xí)目標(biāo)、軟體設(shè)計方法而分類Kieran(1996)利用電腦軟體學(xué)習(xí)代數(shù)解題Abidin and Hartlet (1998)，F(xiàn)unctionLab繪製代數(shù)文字題的解題想法侯鳳秋、陳龍川(1999) ，適性CAI

7、Nakano Murakami等人(2000)，ILE，練習(xí)設(shè)計簡單加減法應(yīng)用的文字題。Chen , Homg 和 Yang (2000)，國中幾何網(wǎng)路學(xué)習(xí)環(huán)境,文獻探討,MathCAL根據(jù)數(shù)學(xué)解題所具有之特性再系統(tǒng)中實現(xiàn)了三種回饋方式：請求幫忙：允許學(xué)習(xí)者自行操作系統(tǒng)於遭遇困難時自主性的向系統(tǒng)要求協(xié)助賦予工具：記錄每一個解題步驟，並將其歷程分別以文字和圖形呈現(xiàn)在螢?zāi)簧瞎┙忸}者回顧其解題過程模仿專家：當(dāng)學(xué)習(xí)者陷入解題僵局時，可

8、將系統(tǒng)知識庫中所儲存之專家解法提供給學(xué)習(xí)者觀察與學(xué)習(xí),系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,MathCAL 的數(shù)值運算核心數(shù)可以是單一的值(1、2、3)，亦可由其他數(shù)值以+、-、×、÷連接而成 ( 、 )數(shù)系中所有的數(shù)值皆可拆解成整數(shù)配合四則運算式所表示的數(shù)值,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,以二元數(shù)(Binary Tree)串接的方式來表示一個數(shù)值,以及,Ex：,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,處理任

9、一數(shù)值前：將數(shù)值建成一棵二元數(shù)，而二元數(shù)的建立必須依照數(shù)值中所含運算子的運算優(yōu)先順序以後置(postorder)的方式表示在記憶體內(nèi)部以鏈結(jié)串列(Linked Lists)來表示二元數(shù)的資料結(jié)構(gòu)，每一個節(jié)點(node)所表示的可能是整數(shù)也可能是運算子,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,數(shù)值之間可運算類型可分為以下幾類：整數(shù)對整數(shù)的加減乘法整數(shù)對整數(shù)的除法整數(shù)對有理數(shù)的四則運算有理數(shù)對整數(shù)的四則運算有理數(shù)對有理數(shù)的四則運算無理數(shù)

10、對無理數(shù)變數(shù)對變數(shù)無法運算類型：整數(shù)和無理數(shù)及變數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)及變數(shù)、無理數(shù)和變數(shù),系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,,MathCAL系統(tǒng)中，所有等式亦是以二元樹方式儲存。解一元一次方程式時，是運用「移項法則」、「同解定理」將方程式化成最簡方程 ，,最後再將變,數(shù)的係數(shù)運用移項法則將等式化為 ，即可求出其解。,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,派特里網(wǎng)路理論與 MathCAL 解題核心：派特里網(wǎng)路(Pe

11、tri Nets)是一種具有圖形化性質(zhì)的正規(guī)語言，適用於塑模具有同時性特質(zhì)的系統(tǒng)。,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,雙重有向多重圖 (Bipartite Directed Graph),系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,Step1：AB是直徑，C為切點。利用半圓內(nèi)圓周角必為直角，因此三角形CAB為直角三角形。Step2：角DCB = θ，CD為切線，利用「弦切角度數(shù)等於其夾弧所對圓周角度數(shù)」得到直角三角形CAB中角 A = θ。Step3：AB=26

12、，且AB為斜邊，又知Cosθ=12/13，可得AC=24。Step4：因為Cosθ=12/13，可利用三角函數(shù)平方和關(guān)係得出Sinθ=5/13Step5：帶入直角三角形面積公式1/2*AB*AC*Sinθ得面積為120。,24,,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,系統(tǒng)資料庫設(shè)計：資料庫的使用主要目的為知識共享、儲存、擷取、分析可利用結(jié)構(gòu)化查詢語言(SQL)撰寫查詢指令以擷取資料庫中的資料。,,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點

13、,解題診斷矯正機制：學(xué)習(xí)者解題過程診斷解題過程引導(dǎo)學(xué)習(xí)者解題函式認(rèn)知診斷精熟學(xué)習(xí)引導(dǎo),系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,學(xué)習(xí)者解題過程診斷針對各種情況推斷學(xué)習(xí)者陷入僵局的可能原因設(shè)法提醒學(xué)習(xí)者找出「題目的已知條件」、「題目的未知數(shù)」、「欲求取的答案」,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,解題過程引導(dǎo)將系統(tǒng)所儲存之專家解題知識與學(xué)習(xí)者的解題資料做比對，期能據(jù)以提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)解題過程中，系統(tǒng)首須確定何種解題方法最適合用來引導(dǎo)學(xué)習(xí)者主要考量：是否

14、觸發(fā)某種正確解法的關(guān)鍵性解題函式次要考量：何者所包含的使用者已觸發(fā)之解題函式數(shù)目最多、何者顯示解題者已完成最高比率之解題步驟、何者距離完成解題尚需觸發(fā)的函式數(shù)目最少,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,學(xué)習(xí)者解題函式認(rèn)知診斷學(xué)習(xí)者一時不知下一步該朝哪個方向解題學(xué)習(xí)者雖然熟悉某個該觸發(fā)而未觸發(fā)的函式，卻不知可將其運用於此題中學(xué)習(xí)者並不了解某個該觸發(fā)而未觸發(fā)的解題函式,系統(tǒng)設(shè)計方法與實作重點,精熟學(xué)習(xí)引導(dǎo)提供相關(guān)函式觀念的文字與圖形，並由系統(tǒng)

15、資料庫中取出適當(dāng)?shù)念}目供學(xué)習(xí)者進行精熟練習(xí)，以幫助學(xué)習(xí)者熟悉該函式觀念，並進一步將其用於目前的解題步驟中。取出精熟練習(xí)題的原則該題目中之解題步驟必須包含學(xué)習(xí)者所欲精熟練習(xí)之函式觀念該題之解題步驟沒有包括學(xué)習(xí)者有認(rèn)知困難的其他函式觀念,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,系統(tǒng)架構(gòu),系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,系統(tǒng)操作流程,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,題目編輯器,結(jié)論與未來研究方向,本文中提出以派特里網(wǎng)路為理論基礎(chǔ)所設(shè)計的一個數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)的雛形知識領(lǐng)域仍需擴充