bch碼在通信領(lǐng)域的研究與應(yīng)用

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文為了研究BCH碼在通信領(lǐng)域的應(yīng)用，先從線性分組碼的基本檢錯(cuò)與糾錯(cuò)原理出發(fā)，得出其一般規(guī)律：其能檢出多個(gè)錯(cuò)碼，但只能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。為了能使其編碼效率提高，繼而研究了漢明碼，既是線性碼中能糾正一個(gè)錯(cuò)碼且效率最高的。最后研究具有循環(huán)特性的且能糾正多個(gè)錯(cuò)碼的BCH碼。</p><p>　　關(guān)鍵字：線性分組碼；

2、漢明碼；循環(huán)碼；BCH碼</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　In order to study BCH code application in telecommunication field, first from the linear block codes of basic error checking and correc

3、tion principle, the general rule: the detection of multiple error code, but only to correct a wrong code. In order to improve the coding efficiency, then study the Hamming code is a linear code, can correct an error code

4、 and the efficiency is the highest. The final study with cyclic characteristics and can be corrected for multiple fault code BCH code。</p><p>　　Keywords：Linear block codes；Hamming code；Cyclic code；BCH code&l

5、t;/p><p><b>　　第1章 概 述</b></p><p>　　1.1 當(dāng)前BCH碼的現(xiàn)狀 </p><p>　　計(jì)算機(jī)通信是一種以數(shù)據(jù)通信形式出現(xiàn)，在計(jì)算機(jī)與計(jì)算機(jī)之間或計(jì)算機(jī)與終端設(shè)備之間進(jìn)行信息傳遞的方式。它是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)與通信技術(shù)相融合的產(chǎn)物，在軍隊(duì)指揮自動(dòng)化系統(tǒng)、武器控制系統(tǒng)、信息處理系統(tǒng)、決策分析系統(tǒng)、情報(bào)檢索系統(tǒng)以及

6、辦公自動(dòng)化系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)、衛(wèi)星通信及高速數(shù)據(jù)網(wǎng)的飛速發(fā)展，數(shù)據(jù)的交換、處理和存儲(chǔ)技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用，人們對(duì)數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)系統(tǒng)的可靠性提出了越來越高的要求。因此，如何控制差錯(cuò)、提高數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的可靠性，成為現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)工作者所面臨的重要課題，線性分組碼是差錯(cuò)控制編碼的重要一種，線性分組碼的編碼與譯碼電路比較簡(jiǎn)單，糾錯(cuò)能力也較強(qiáng)，是實(shí)際應(yīng)用中比較流行的差錯(cuò)控制編碼

7、方法之一。線性分組碼中的BCH碼，由于能糾正多個(gè)錯(cuò)碼，接譯碼比較容易，應(yīng)用相對(duì)比較廣泛。</p><p>　　1.2 差錯(cuò)控制技術(shù)概述</p><p>　　數(shù)字信號(hào)在傳輸過程中，由于受到干擾的影響，碼元波形將變壞，接收端收到后可能發(fā)生錯(cuò)誤判決，由乘性干擾引起的碼間串?dāng)_，一般采用均衡的辦法糾正。加性干擾的影響一般從合理選擇調(diào)制制度解調(diào)方法以及發(fā)送功率等方面考慮，使加性干擾不足以影響達(dá)到誤碼率

8、要求。在仍不能滿足要求時(shí)，為減少錯(cuò)誤、提高通信質(zhì)量還采用檢錯(cuò)、糾錯(cuò)技術(shù)，即差錯(cuò)控制措施。差錯(cuò)控制的主要方法是將數(shù)據(jù)以某種形式編碼。</p><p>　　差錯(cuò)控制的核心為：抗干擾編碼，簡(jiǎn)稱差錯(cuò)控制編碼。差錯(cuò)控制編碼分為檢錯(cuò)碼、糾錯(cuò)碼兩大類。它在碼元間建立了某種數(shù)學(xué)約束關(guān)系，并且對(duì)特定的信道總存在某種糾錯(cuò)編碼信號(hào)以實(shí)現(xiàn)最小的能量或最小的帶寬或最小的時(shí)間代價(jià)獲得最小的數(shù)據(jù)傳輸差錯(cuò)。</p><p&g

9、t;　　對(duì)于不同信道，采用不同類型的差錯(cuò)控制技術(shù)。差錯(cuò)控制技術(shù)主要有：</p><p>　　檢錯(cuò)重發(fā)：在發(fā)送碼元序列中加入差錯(cuò)控制碼元，接收端利用這些碼元檢測(cè)到有錯(cuò)碼時(shí)，利用反向信道通知發(fā)送端，要求發(fā)送端重發(fā)，知道正確接收為止。</p><p>　　前向糾錯(cuò)：前向糾錯(cuò)是利用接收端在發(fā)送碼元序列中加入的差錯(cuò)控制碼元，不但能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能夠?qū)㈠e(cuò)碼恢復(fù)其正確值。</p><

10、p>　　反饋校驗(yàn)：不需要在發(fā)送序列中加入差錯(cuò)控制碼元，接收端接收到的碼元原封不動(dòng)的轉(zhuǎn)發(fā)會(huì)發(fā)送端。在發(fā)送端將他和原發(fā)送碼元逐一比較，若發(fā)現(xiàn)有不同，就認(rèn)為接收端接受的序列有錯(cuò)碼，發(fā)送端立即從發(fā)。</p><p>　　檢錯(cuò)刪除：在接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼后，立即將其刪除，不要求重發(fā)。這種方法只適合在少數(shù)特定系統(tǒng)中，在那里發(fā)送碼元有大量的多余度，刪除部分接收碼元不影響應(yīng)用。</p><p>　　1.3

11、 本文主要工作</p><p>　　本文先研究線性分組碼的基本檢錯(cuò)與糾錯(cuò)原理，還有其監(jiān)督矩陣和生成矩陣，后研究循環(huán)碼的編碼與譯碼過程，他們都能檢出多個(gè)錯(cuò)，但只能糾正一個(gè)錯(cuò)。最后研究具有循環(huán)特性的且能糾正多個(gè)錯(cuò)碼的BCH碼，及其編碼與譯碼過程和BCH碼在通信領(lǐng)域的應(yīng)用。</p><p>　　第2章 線性分組碼的基本原理</p><p><b>　　2.1 線

12、性分組碼</b></p><p>　　線性分組碼是一類奇偶校驗(yàn)碼，它可以由（n，k）形式表示，編碼器將一個(gè)k比特信息分組（信息矢量）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)更長(zhǎng)的由給定元素符號(hào)集組成的n比特編碼分組，當(dāng)這個(gè)符號(hào)集包含兩個(gè)元素（0和1），與二進(jìn)制相對(duì)，稱為二進(jìn)制編碼。 </p><p>　　分組碼是對(duì)每段k 位長(zhǎng)的信息組，以一定規(guī)則增加r = n - k個(gè)檢驗(yàn)元，組成長(zhǎng)為n的序列：，稱這個(gè)序列

13、為碼字。在二進(jìn)制情況下，信息組總共有個(gè)( q 進(jìn)制為個(gè)) ，因此通過編碼器后，相應(yīng)的碼字也有個(gè)，稱這個(gè)碼字集合為( n , k) 分組碼。n長(zhǎng)序列的可能排列總共有種。稱被選取的個(gè) n重為許用碼組，其余個(gè)為禁用碼組，稱R = k / n為碼率。</p><p>　　那么對(duì)于（7，3）碼即為用7位長(zhǎng)的序列表示3位信息碼，7位長(zhǎng)序列的可能排列總共有個(gè)。許用碼組有個(gè)，其余個(gè)禁用碼組，碼率為R=3/7=42.86%。<

14、;/p><p>　　對(duì)于長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制分組碼，可以表示成（n，k），通常用于前向糾錯(cuò)。在分組碼中，監(jiān)督位加到信息位之后，形成新碼，在編碼中，k個(gè)信息位，被編為n位長(zhǎng)度，（n-k）個(gè)監(jiān)督碼的作用是實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。</p><p>　　2.2 線性分組碼的糾檢錯(cuò)能力</p><p>　　在分組碼中，我們把碼組C中非零分量（對(duì)二進(jìn)制來說，即1分量）的數(shù)目定義為碼組C的漢明重

15、量。兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的個(gè)數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距，也稱漢明距離。對(duì)（n，k）線性碼來說，個(gè)碼字中所有可能碼字之間的漢明距離中最小的距離稱為該碼的最小漢明距離，用dmin表示。而對(duì)于線性分組碼來說，線性分組碼的最小距離等于它的最小重量。</p><p>　　一個(gè)線性分組碼碼的最小距離dmin和碼的抗干擾能力有如下關(guān)系：</p><p>　　若要檢測(cè)m個(gè)錯(cuò)碼，要求最小距離dmin≥m

16、+1</p><p>　　若要糾正t個(gè)錯(cuò)碼，要求最小距離dmin≥2t+1</p><p>　　若要糾正t個(gè)錯(cuò)碼同時(shí)檢測(cè)m個(gè)（m>t）錯(cuò)碼，要求碼的最小距離dmin≥m+t+1</p><p>　　由上可知，一個(gè)（n,k）線性分組碼有兩個(gè)重要參數(shù)。一個(gè)是它的最小距離dmin，它反映了碼的抗干擾能力，dmin越大，碼的糾錯(cuò)或檢錯(cuò)能力越強(qiáng)；另一個(gè)是碼率R=k/n，

17、它表示信息位在碼組中所占的比重，R越大，說明信息位占的比重越高，故碼的有效性越高。顯然，我們希望構(gòu)造一個(gè)R高且dmin大的碼，但實(shí)際上這兩者是矛盾的。編碼的主要任務(wù)就是如何找到一種方法，在滿足一定R的條件下，使dmin盡可能地大。</p><p>　　2.3 線性分組碼的生成矩陣</p><p>　　選用碼組的信息組為，碼字為。當(dāng)已知信息組時(shí)，按以下規(guī)則得到四個(gè)校驗(yàn)元，即 </p&g

18、t;<p><b>　　(1)</b></p><p>　　這組方程稱為校驗(yàn)方程。</p><p>　?。?,3）碼有許用碼組有個(gè)，其余個(gè)禁用碼組，碼率為R=3/7=42.86%。發(fā)送方發(fā)送的是許用碼字，若接收方收到的是禁用碼字，則說明傳輸中發(fā)生了錯(cuò)誤。</p><p>　　為了深化對(duì)線性分組碼的理論分析，可將其與線性空間聯(lián)系起來

19、。由于每個(gè)碼字都是一個(gè)二進(jìn)制的n重，即二進(jìn)制n維線性空間中的一個(gè)矢量，因此碼字又稱為碼矢。線性分組碼的一個(gè)重要參數(shù)是碼率R=k/n,它說明在一個(gè)碼字中信息位所占的比重，R越大，說明信息位所占比重越大，碼的傳輸信息的有效性越高。由于(n,k)線性分組，線性分組碼的個(gè)碼字組成了n維線性空間的一個(gè)k維子空間。因此這個(gè)碼字完全可由k個(gè)線性無關(guān)的矢量所組成。</p><p>　　設(shè)此k個(gè)矢量為，有生成矩陣形式為：</

20、p><p>　　(n,k)碼字中的任一碼字均可由這組基底的線性組合生成，即：</p><p>　　Ci=[CnCn-1Cn-2……Cn-k]·G (3)</p><p>　　上式中[CnCn-1Cn-2……Cn-k]是k個(gè)信息元組成的信息組。</p><p>　　表3

21、-1 按上式編出的（7，3）碼</p><p>　　對(duì)于表3-1給出的（7,3）線性分組碼，可將其寫成矩陣形式：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，（7,3）線性分組碼的生成矩陣為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>

22、;　　2.4 線性分組碼的監(jiān)督矩陣</p><p>　　線性分組碼的四個(gè)校驗(yàn)元由式（1）所示的線性方程組決定的，把（1）式移相有：</p><p><b>　　（6）</b></p><p><b>　　上式的矩陣形式為：</b></p><p><b>　?。?）</b>&l

23、t;/p><p>　　這里的四行七列矩陣稱為（7,3）線性分組碼的一致監(jiān)督矩陣（一致校驗(yàn)矩陣），用H表示，即：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　第3章 循環(huán)碼原理與介紹</p><p><b>　　3.1 循環(huán)碼介紹</b></p><p>　　

24、循環(huán)碼是線性分組碼的一種，所以它具有線性分組碼的一般特性，此外還具有循環(huán)性。循環(huán)碼的編碼和解碼設(shè)備都不太復(fù)雜，且檢(糾)錯(cuò)能力強(qiáng)。它不但可以檢測(cè)隨機(jī)的錯(cuò)誤，還可以檢錯(cuò)突發(fā)的錯(cuò)誤。（n,k）循環(huán)碼可以檢測(cè)長(zhǎng)為n-k或更短的任何突發(fā)錯(cuò)誤，包括首尾相接突發(fā)錯(cuò)誤。</p><p>　　循環(huán)碼是一種無權(quán)碼，循環(huán)碼編排的特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間符合卡諾圖中的鄰接條件，即相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間只有一位碼元不同，碼元就是組成數(shù)碼的單元。

25、符合這個(gè)特點(diǎn)的有多種方案，但循環(huán)碼只能是表中的那種。循環(huán)碼的優(yōu)點(diǎn)是沒有瞬時(shí)錯(cuò)誤，因?yàn)樵跀?shù)碼變換過程中，在速度上會(huì)有快有慢，中間經(jīng)過其它一些數(shù)碼形式，稱它們?yōu)樗矔r(shí)錯(cuò)誤。這在某些數(shù)字系統(tǒng)中是不允許的，為此希望相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間僅有一位碼元不同，即滿足鄰接條件，這樣就不會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)錯(cuò)誤。循環(huán)碼就是這樣一種編碼，它可以在卡諾圖中依次循環(huán)得到。循環(huán)碼又稱格雷碼（ Grey Code ）。</p><p>　　循環(huán)碼最大的特點(diǎn)就

26、是碼字的循環(huán)特性，所謂循環(huán)特性是指：循環(huán)碼中任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位后，所得到的碼組仍然是許用碼組。若（  …  ）為一循環(huán)碼組，則（ … ）、（… ）、……還是許用碼組。也就是說，不論是左移還是右移，也不論移多少位，仍然是許用的循環(huán)碼組。</p><p>　　3.1.1 循環(huán)碼的多項(xiàng)式表示</p><p>　　設(shè)碼長(zhǎng)為n的循環(huán)碼表示為</p&

27、gt;<p>　　（，,……，…… ，） （1）</p><p>　　其中為二進(jìn)制數(shù)，通常把碼組中各碼元當(dāng)做二進(jìn)制的系數(shù)，即把上式中長(zhǎng)為n的各個(gè)分量看做多項(xiàng)式：</p><p>　　T(x) =++……++……++ （2）</p><p>　　的各項(xiàng)系數(shù)，則碼字與碼多項(xiàng)式一一對(duì)應(yīng)，這種多項(xiàng)式中，x僅表示碼元

28、位置的標(biāo)記,因此我們并不關(guān)心x的取值，這種多項(xiàng)式稱為碼多項(xiàng)式。</p><p>　　3.1.2 (n,k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式</p><p>　　(n,k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式寫為g(x),它是(n,k)循環(huán)碼碼集中唯一的，冪次為n-k的碼多項(xiàng)式，則g(x)是一個(gè)冪次為n的碼多項(xiàng)式。按模（+1）運(yùn)算，此時(shí)：</p><p>　　= Q(x)+

29、 （3）</p><p>　　即 g(x)R（x），且因 g(x)也是n階冪，故Q(x)=1.由于它是循環(huán)碼，故 g(x)按模（+1)運(yùn)算后的“余式”也是循環(huán)碼的一個(gè)碼字，它必能被g(x)整除，即：</p><p>　　=F(x) （4）</p><p>　　由以上兩式可以得到：</p>

30、<p>　　g(x)= Q(x)（+1）+R(x) =（+1）+f(x)g(x) （5）</p><p>　　和+1=[+f(x)]g(x)=h(x)g(x) （6）</p><p>　　從上式中可以看出，生成多項(xiàng)式g(x)應(yīng)該是+1的一個(gè)因式，即循環(huán)碼多項(xiàng)式應(yīng)該是+1的一個(gè)n-k次因式。</p><p>　　3.1

31、.3 循環(huán)碼的生成矩陣和一致校驗(yàn)矩陣</p><p>　　對(duì)所有的i=0,1,2,……k-1，用生成多項(xiàng)式g(x)除，有：</p><p>　　=(x)g(x)+(x) （7）</p><p>　　式中（x）是余式，表示為：</p><p>　?。▁）=+……++

32、 （8）</p><p>　　因此，+（x）是g(x)的倍式，即+（x）是碼多項(xiàng)式，由此得到系統(tǒng)形式的生成矩陣為：</p><p>　　G= （9）</p><p>　　它是一個(gè)kn階的矩陣。</p><p>　　同樣，由G=0可以得到系統(tǒng)形式的一致校驗(yàn)矩陣為：</p><p&g

33、t;　　H= （10）</p><p>　　如已知（7，4）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式和校驗(yàn)多項(xiàng)式分別為：g(x) = x3 + x +1，h(x) = x4 + x2 + x +1。寫得其生成矩陣和校驗(yàn)矩陣分別為：</p><p>　　G= （11）</p>&

34、lt;p>　　H= （12）</p><p>　　3.2 循環(huán)碼編譯碼原理</p><p>　　3.2.1 循環(huán)碼編碼原理</p><p>　　有信息碼構(gòu)成信息多項(xiàng)式m(x)= +……+其中高冪次為k-1;</p><p>　

35、　用乘以信息多項(xiàng)式m(x)，得到的 m(x)最高冪次為n-1,該過程相當(dāng)于把信息嗎（，，……，，）移位到了碼字德前k個(gè)信息位，其后是r個(gè)全為零的監(jiān)督位;</p><p>　　用g(x)除 m(x)得到余式r(x),其次數(shù)必小于g(x)的次數(shù)，即小于（n-k）,將此r(x)加于信息位后做監(jiān)督位，即將r(x)于 m(x)相加，得到的多項(xiàng)式必為一碼多項(xiàng)式。</p><p>　　根據(jù)上面的討論，可

36、得到在（7，4）循環(huán)碼編碼的程序框圖如圖1 所下圖示：</p><p><b>　　圖2 編碼程序框圖</b></p><p>　　3.2.2 循環(huán)碼的譯碼原理</p><p>　　糾錯(cuò)碼的譯碼是該編碼能否得到實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵所在。譯碼器往往比編碼較難實(shí)現(xiàn)，對(duì)于糾錯(cuò)能力強(qiáng)的糾錯(cuò)碼更復(fù)雜。根據(jù)不同的糾錯(cuò)或檢錯(cuò)目的，循環(huán)碼譯碼器可分為用于糾錯(cuò)目的和用

37、于檢錯(cuò)目的的循環(huán)碼譯碼器。 </p><p>　　通常，將接收到的循環(huán)碼組進(jìn)行除法運(yùn)算，如果除盡，則說明正確傳輸；如果未除盡，則在寄存器中的內(nèi)容就是錯(cuò)誤圖樣，根據(jù)錯(cuò)誤圖樣可以確定一種邏輯，來確定差錯(cuò)的位置，從而達(dá)到糾錯(cuò)的目的。用于糾錯(cuò)目的的循環(huán)碼的譯碼算法比較復(fù)雜，感興趣的話可以參考一些參考書。而用于檢錯(cuò)目的循環(huán)碼，一般使用ARQ通信方式。檢測(cè)過程也是將接受到的碼組進(jìn)行除法運(yùn)算，如果除盡，則說明傳輸無誤；如果未除

38、盡，則表明傳輸出現(xiàn)差錯(cuò)，要求發(fā)送端重發(fā)。用于這種目的的循環(huán)碼經(jīng)常被成為循環(huán)冗余校驗(yàn)碼，即CRC校驗(yàn)碼。CRC校驗(yàn)碼由于編碼電路、檢錯(cuò)電路簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，因此得到廣泛的應(yīng)用。在通過MODEM傳輸文件的協(xié)議如ZMODEM、XMODEM協(xié)議中均用到了CRC校驗(yàn)技術(shù)。在磁盤、光盤介質(zhì)存儲(chǔ)技術(shù)中也使用該方法。 </p><p>　　在SystemView中沒有提供專用的CRC循環(huán)冗余校驗(yàn)碼編碼器，讀者可根據(jù)有關(guān)參考書設(shè)計(jì)一

39、個(gè)相應(yīng)的仿真電路。如果不想親自動(dòng)手設(shè)計(jì)，可以在CDMA庫（IS95）中找到一個(gè)現(xiàn)成的專用的CRC編碼器和譯碼器。該圖符（FrameQ）是的接入信道的數(shù)據(jù)幀品質(zhì)指示編碼器，其中使用了多種不同比特率的數(shù)據(jù)模型，通過CRC校驗(yàn)來判斷接入信道的質(zhì)量好壞。其中規(guī)定每一幀的長(zhǎng)度為20ms的數(shù)據(jù)。一個(gè)典型IS-95-A標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的9600信道的CRC測(cè)試碼的長(zhǎng)度為192比特，其中信息位172位、校驗(yàn)位12比特、尾部全零8比特。感興趣的讀者可以加入一個(gè)速

40、率為860bps（192bit/0.2ms＝860）的PN數(shù)據(jù)，然后觀察經(jīng)過CRC編碼后的波形。并可用對(duì)應(yīng)的譯碼器譯碼觀察輸出波形是否與輸入的PN碼一致。</p><p>　　當(dāng)碼字c通過噪聲信道傳送時(shí)，會(huì)受到干擾而產(chǎn)生錯(cuò)誤。如果信道產(chǎn)生的錯(cuò)誤圖樣是e，譯碼器收到的n重接受矢量是y,則表示為： y=c+e （13）</p><p>　　上式也可以寫成多項(xiàng)式形式：y(x)=c(x)+e(x

41、) （14）</p><p>　　譯碼器的任務(wù)就是從y(x)中得到，然后求的估值碼字</p><p>　　= y(x)+ （15） </p><p><b>　　并從中得到信息組。</b></p><p>　　循環(huán)碼譯碼可按以下三

42、個(gè)步驟進(jìn)行：</p><p>　?。?）有接收到的y(x)計(jì)算伴隨式s(x);</p><p>　?。?）根據(jù)伴隨式s(x)找出對(duì)應(yīng)的估值錯(cuò)誤圖樣；</p><p>　?。?）計(jì)算= y(x)+ ，得到估計(jì)碼字。若=c(x),則譯碼正確，否則，若c(x)，則譯碼錯(cuò)誤。</p><p>　　由于g(x) 的次數(shù)為n - k 次，g(x) 除E(

43、x) 后得余式（即伴隨式）的最高次數(shù)為n-k-1次，故S(x) 共有2n-k 個(gè)可能的表達(dá)式，每一個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)一個(gè)錯(cuò)誤格式?？梢灾?7,4）循環(huán)碼的S(x) 共有2(7-4) = 8個(gè)可能的表達(dá)式，可根據(jù)錯(cuò)誤圖樣表來糾正(7,4）循環(huán)碼中的一位錯(cuò)誤，其伴隨式如表1所示。</p><p>　　BCH（7，4）循環(huán)碼錯(cuò)誤圖樣表：</p><p>　　表1 BCH（7，4）循環(huán)碼錯(cuò)誤圖樣表&l

44、t;/p><p>　　上式指出了系統(tǒng)循環(huán)碼的譯碼方法：將收到的碼字R(x) 用g(x) 去除，如果除盡則無錯(cuò)；否則有錯(cuò)。如果有錯(cuò)，可由余式S(x) 一一找出對(duì)應(yīng)圖樣，然后將錯(cuò)誤圖樣E(x) 與R(x) 模2 和，即為所求碼字C(x) ，從而實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)目的。</p><p>　　第4章 BCH碼原理與介紹</p><p>　　4.1 BCH碼的優(yōu)點(diǎn)</p>

45、<p>　　提高信息傳輸?shù)目煽啃院陀行?，始終是通信工作所追求的目標(biāo)。糾錯(cuò)碼是提高信息傳輸可靠性的一種重要手段。1948年香農(nóng)（Shannon）在他的開創(chuàng)性論文“通信的數(shù)學(xué)理論”中，首次闡明了在有擾信道中實(shí)現(xiàn)可靠通信的方法，提出了著名的有擾信道編碼定理，奠定了糾錯(cuò)碼的基石。根據(jù)香農(nóng)的思想，研究者先后給出了一系列設(shè)計(jì)好碼和有效譯碼的方法。以后，糾錯(cuò)碼受到了越來越多的通信和數(shù)學(xué)工作者，特別是代數(shù)學(xué)家的重視，使糾錯(cuò)碼無論在理論上還是

46、在實(shí)際中都得到了飛速發(fā)展。BCH、卷積碼，Turbo碼、LDPC碼等</p><p>　　現(xiàn)代數(shù)據(jù)傳輸通信中,常常因傳輸差錯(cuò)造成誤碼錯(cuò)碼,尤其在無線通信中,空中的突發(fā)或隨機(jī)干擾噪聲會(huì)造成編碼差錯(cuò)。為了提高傳輸?shù)恼_率,往往采用一些校驗(yàn)方法,以檢驗(yàn)糾正傳輸差錯(cuò)。通信中校驗(yàn)的方法很多, 如BCH、卷積碼，Turbo碼、LDPC碼等，其中的BCH編碼有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn):它的糾錯(cuò)能力很強(qiáng)，特別在短和中等碼長(zhǎng)下，其性能很接近于

47、理論值，構(gòu)造方便，編碼簡(jiǎn)單，不僅可以檢糾突發(fā)性錯(cuò)誤,還能檢糾隨機(jī)差錯(cuò)。因此, 在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，如在我國地面數(shù)字電視廣播標(biāo)準(zhǔn)中就選用了BCH（762 .752）碼。</p><p>　　4.2 BCH碼的構(gòu)建</p><p>　　BCH 碼使用有限域上的域論與多項(xiàng)式。為了檢測(cè)錯(cuò)誤可以構(gòu)建一個(gè)檢測(cè)多項(xiàng)式，這樣接收端就可以檢測(cè)是否有錯(cuò)誤發(fā)生。</p><p>　

48、　要構(gòu)建一個(gè)能夠檢測(cè)、校正兩個(gè)錯(cuò)誤的 BCH 碼，我們要使用有限域 GF(16) 或者 Z2[x]／<x4 + x + 1>。如果α是m1(x) = x4 + x + 1的一個(gè)根，那么m1就是α的極小多項(xiàng)式，這是因?yàn)?lt;/p><p>　　m1(x) = (x -α)(x -α2)(x -α4)(x -α8)=x4 + x + 1。 </p><p>　　如果要構(gòu)建一個(gè)能夠糾正一

49、個(gè)錯(cuò)誤的BCH碼，那么就使用 m1(x)，這個(gè)代碼就是所有滿足：</p><p>　　C(x)≡0（mod m1(x)）且根為α,α2,α4,α8 的多項(xiàng)式 C(x)。</p><p>　　4.3 BCH碼的編碼</p><p>　　構(gòu)建碼字為(c14, c13, ..., c8)，這樣多項(xiàng)式為c14+c13+...+c8，我們將它稱為CI。</p>

50、<p>　　然后就要找出CR滿足CR=CI (mod m1,3(x))=c7+c6+...+c0</p><p>　　這樣就得到待發(fā)的碼字C(x) = CI+CR (mod m1,3(x)) = 0</p><p>　　例如，如果我們要對(duì) (1,1,0,0,1,1,0) 進(jìn)行編碼</p><p>　　CI=x14+x13+x10+x9 </p>

51、<p>　　然后用m1,3(x) 除以（這里的除法是多項(xiàng)式除法）CI ，得到結(jié)果為 CR(x)，在Z2域中，我們可以算出 CR為x3+1 </p><p>　　這樣，待發(fā)的碼字為(1,1,0,0,1,1,0, 0,0,0,0,1,0,0,1) </p><p>　　4.4 BCH碼的解碼</p><p>　　BCH 的解碼過程可以分為以下四步：<

52、/p><p>　　1、計(jì)算接收到的向量R的 2t 伴隨矩陣； </p><p>　　2、計(jì)算錯(cuò)誤定位多項(xiàng)式； </p><p>　　3、解多項(xiàng)式，得到錯(cuò)誤位置； </p><p>　　4、如果不是二進(jìn)制 BCH 碼，就計(jì)算錯(cuò)誤位置的誤差值。 </p><p>　　假設(shè)我們收到一個(gè)碼字向量r，即多項(xiàng)式 R(x)。</p

53、><p>　　如果沒有錯(cuò)誤，那么 R(α)=R(α3)=0</p><p>　　如果有一個(gè)錯(cuò)誤，例如 r=c+ei，其中 ei 表示 R14 的第i個(gè)基向量，于是：</p><p>　　S1=R (α) =C (α) +αi=αi </p><p>　　S3=R (α3) =C (α3) + (α3) i = (αi) 3=S13 </p&

54、gt;<p>　　這樣就可以糾正錯(cuò)誤。α的指數(shù)顯示的數(shù)據(jù)位變化可以幫助我們校正錯(cuò)誤。</p><p>　　如果有兩個(gè)錯(cuò)誤，例如r=c+ei+ej ，那么：</p><p>　　S1=R (α) =C (α) +αi+αj </p><p>　　S3=R (α3) =C (α3) + (α3) i+ (α3) j = (α3) i + (α3) j &l

55、t;/p><p>　　這與 S13 不同，所以我們認(rèn)為有兩個(gè)錯(cuò)誤。更進(jìn)一步的代數(shù)方法可以幫助。</p><p>　　第5章 BCH碼在通信領(lǐng)域的應(yīng)用</p><p>　　5.1 模擬移動(dòng)通信系統(tǒng)中數(shù)字信令的BCH編碼</p><p>　　模擬蜂窩系統(tǒng)中，業(yè)務(wù)信道主要是傳輸模擬FM電話以及少量模擬信令，因此未應(yīng)用數(shù)字處理技術(shù)。而控制信道均傳輸數(shù)字

56、信令，并進(jìn)行了數(shù)字調(diào)制和糾錯(cuò)編碼。以英國系統(tǒng)為例，采用FSK調(diào)制，傳輸速率為8kb/s?；静捎玫氖荁CH（40，28）編碼，漢明距離d =5, 具有糾正2位隨機(jī)錯(cuò)碼的能力。之后重發(fā)5次，以提高抗衰落、抗干擾能力；移動(dòng)臺(tái)采用了BCH（48，36）進(jìn)行糾錯(cuò)編碼，漢明距離d =5，可糾正2個(gè)隨機(jī)差錯(cuò)或糾正1個(gè)及檢測(cè)2個(gè)差錯(cuò),然后也是重復(fù)5次發(fā)送。上述糾錯(cuò)編碼是提高數(shù)字信令傳輸可靠性必需的，也是行之有效的。</p><p&

57、gt;<b>　　第六章 全文總結(jié)</b></p><p>　　本文為了研究BCH碼在通信領(lǐng)域的應(yīng)用，先從線性分組碼的基本檢錯(cuò)與糾錯(cuò)原理出發(fā)，得出其一般規(guī)律：其能檢出多個(gè)錯(cuò)碼，但只能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。為了能使其編碼效率提高，繼而研究了漢明碼，既是線性碼中能糾正一個(gè)錯(cuò)碼且效率最高的。</p><p>　　為了使編解碼設(shè)備都不太復(fù)雜，進(jìn)而研究具有循環(huán)特性的循環(huán)碼。它遵循嚴(yán)密的

58、代數(shù)關(guān)系式，但仍然只能糾正以為錯(cuò)碼。最后研究具有循環(huán)特性的且能糾正多個(gè)錯(cuò)碼的BCH碼。在而研究它的構(gòu)造，編解碼，在模擬通信系統(tǒng)中的應(yīng)用。最后得出BCH碼的解碼設(shè)備很簡(jiǎn)單和通用，在通信領(lǐng)域有著重要作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　[1] 樊昌信 曹麗娜編著 通信原理 國防工業(yè)出版</p><p>　　[

59、2] 宋祖順 著《現(xiàn)代通信原理》[M].電子工業(yè)出版社</p><p>　　[3] 孫麗華編·信息論與糾錯(cuò)編碼·電子工業(yè)出版社</p><p>　　[4] 傅祖蕓著·信息論--基礎(chǔ)理論與應(yīng)用[M]·電子工業(yè)出版社</p><p>　　[5]孫麗華 謝仲華 陳榮伶編 《信息論與糾錯(cuò)編碼》.北京.電子工業(yè)出版社.</p>