某些度量切叢上的單位球面【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　某些度量切叢上的單位球面</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p>

3、<p>　　本文主要研究了二、三維的Finsler度量的切叢上的單位球面，通過對Finsler流行上的幾個特殊的度量，如Randers度量、Matsumoto度量等的單位球面進(jìn)行討論，并對于這些Finsler度量的單位切圓畫出了具體圖形，從而得到了相關(guān)定理，并證明了這些定理。第一章研究了二、三維的Randers度量的切叢上的單位球面，并得出了相關(guān)定理。第二、三章分別討論了二、三維的度量和Matsumoto度量的切叢上的單位球面

4、及其圖形。</p><p>　　關(guān)鍵詞：Finsler度量；Randers度量；單位切球；切叢</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　This paper mainly studies the unit sphere on the tangent bundle of two and three dimensi

5、on Finsler metrics. By means of the discussion of some unit spheres on several special metrics in Finsler manifold, such as Randers metric, such as Matsumoto metric etc. And draw the geometric figure of unit tangent sp

6、here, thus get some related theorem and proof these theorems. The first chapter discusses the unit tangent sphere on the two and three dimension Finsler metrics. And get some related theorem.</p><p>　　Key w

7、ords: Finsler metric; Randers metric; Unit tangent sphere; Tangent bundle </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p><b>　　Abstract</b></p&g

8、t;<p><b>　　引言1</b></p><p>　　第一章 Finsler度量切叢上的單位球面3</p><p>　　1.1 Finsler幾何中切叢上單位球面的定義3</p><p>　　1.2 Finsler度量以及一些特殊的Finsler度量3</p><p>　　第二章 Rander

9、s度量及單位球面6</p><p>　　2.1 二維球面6</p><p>　　2.2 三維球面9</p><p>　　2.3 橢圓 橢球面12</p><p>　　第三章 及其單位球面14</p><p>　　3.1 二維 n=214</p><p>　　3.2 三維 n=31

10、5</p><p>　　第四章 Matsumoto度量及其單位球面17</p><p>　　4.1 二維 n=217</p><p>　　4.2 三維 n=318</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)20</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><

11、p>　　附錄……………………………………………………………………………………………….24 </p><p><b>　　引言</b></p><p>　　Finsler幾何的背景與發(fā)展</p><p>　　Finsler幾何的歷史可以追溯到黎曼的著名演講,黎曼早在1854年的著名就職演講中試圖用空間中的模來定義更廣泛的度量空間，也就是后

12、來的被稱為Finsler幾何的研究，但是并沒有很好的進(jìn)展。1918年Finsler在他的一篇論文中討論了基于變分定義度量的一般原則，研究了一般的正則度量空間中的曲線和曲面的變分問題，正因如此，后來把這樣的正則度量空間稱之為Finsler空間。</p><p>　　近十幾年來，F(xiàn)insler幾何學(xué)家對Finsler度量的整體性質(zhì)作了大量研究，并取得了一系列重要結(jié)果。如關(guān)于常旗曲率Finsler空間的整體結(jié)構(gòu)，法國籍

13、伊朗裔數(shù)學(xué)家AkbarZadeh證明了：在緊致流形上，任何具有負(fù)常數(shù)旗曲率的Finsler度量一定是黎曼度量，任何旗曲率為0的Finsler度量一定是局部Minkowski度量。進(jìn)一步，莫小歡與沈忠民證明了：在維數(shù)大于2的Finsler流形上，若Finsler度量具有標(biāo)量旗曲率且其旗曲率是負(fù)的，則Finsler度量一定是Randers度量，這說明了研究Randers度量的重要性。</p><p>　　黎曼流形的切

14、叢與單位切球叢的幾何及黎曼流形上的極小或調(diào)和單位向量場已被廣泛研究和討論，并且仍是前沿研究的一個熱點(diǎn)之一。但在Finsler幾何情形，相應(yīng)的內(nèi)容還沒有得到足夠的重視，相關(guān)結(jié)果還很少。因此，F(xiàn)insler幾何學(xué)家將在未來的研究工作中深入研究Finsler流形的切叢與單切球叢的幾何，并深入研究Finsler流形上的極小或調(diào)和單位向量場，探討極小子流形與調(diào)和映照的聯(lián)系以及它們的幾何變分特征，在一定的曲率條件下討論調(diào)和映照的穩(wěn)定性。這些內(nèi)容都是

15、十分重要和有趣的課題。 </p><p>　　本文通過研究得出了以下結(jié)論；</p><p>　　在二維歐式空間上Randers度量切叢上的單位球面是橢圓。在三維歐式空間上Randers度量切叢上的單位球面是橢球面。而且在二、三維歐氏空間上的橢圓或橢球面在切叢上一定是Randers度量的單位球面。</p><p>　　在二維歐氏空間上的度量=的單位球面和的系

16、數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢圓。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)，取一定值時它的單位球面不為橢圓。在三維當(dāng)歐式空間上的度量的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢球面。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)時，取一定值時不為橢球面。</p><p>　　在二維歐氏空間上的Matsumoto度量 的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢圓。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)，取一定值時它的單

17、位球面不為橢圓。在三維歐氏空間上的Matsumoto度量 =1的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢球面。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)時，取一定值時不為橢球面。</p><p>　　第一章 Finsler度量切叢上的單位球面</p><p>　　1.1 Finsler幾何中切叢上單位球面的定義</p><p>　　Finsler幾何,簡單地講,就是

18、具有Finsler度量的微分幾何。雖然1985年就引進(jìn)了Finsler度量，并且后來也有所進(jìn)展；但近幾十年才真正引起數(shù)學(xué)家特別是幾何家門的重視。原因很簡單，80年代末人們發(fā)現(xiàn)了Finsler幾何生物、物理等方面有許多應(yīng)用。著名數(shù)學(xué)家S.S.Chern殷切期望華人尤其是中國大陸本身的數(shù)學(xué)研究在Finsler幾何方面能處于世界領(lǐng)先的地位。目前在日本人、法國、羅馬尼亞、加拿大等國家已經(jīng)廣泛地開展了這一領(lǐng)域的研究，但在中國國內(nèi)的有關(guān)成果報道卻很

19、少。</p><p>　　切叢是微分流行M上的一種特殊的向量叢，一般記為T(M)，它的秩就等于流行M的維數(shù)。</p><p>　　設(shè)M是一個n維流行,haM上的一個Finsler結(jié)構(gòu)是一個具有下列性質(zhì)的映射F:TM</p><p>　　F在TM\{0}上是嚴(yán)格正的、光滑的；</p><p><b>　　;</b><

20、/p><p>　　在M上的任何局部坐標(biāo)系矩陣（）對所有的都是正定的。</p><p>　　令（1.1），則對每一。</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　是去心切空間上的黎曼度量。在處的單位切球定義為</p><p><b>　?。?.3） </b>

21、</p><p>　　1.2 Finsler度量以及一些特殊的Finsler度量</p><p>　　在Finsler幾何的幾十年發(fā)展中，尋找具有特殊性質(zhì)的特殊Finsler度量一直是數(shù)學(xué)家關(guān)注的重要的問題。更多生動具體的度量對研究Finsler幾何的一些基本問題有著重要地作用。在Finsler度量中，-度量是我們知道和了解的最多的度量，這一直是Finsler幾何學(xué)家們研究的熱點(diǎn)。九十年代

22、以前，日本數(shù)學(xué)家主要采用張量分析的方法研究-度量，-度量這個概念是日本數(shù)學(xué)家M.Matsumoto于1972年在已被物理學(xué)家關(guān)注的Randers度量（其中表示黎曼度量，表示1階微分形式）的基礎(chǔ)上而提出的。但幾何的本質(zhì)往往被張量計(jì)算所掩蓋，所以這方面的進(jìn)展緩慢。九十年代以后，Z.Shen引入新的運(yùn)算模式并大量應(yīng)用Maple程序運(yùn)算，為-度量的研究注入了新的活力。</p><p>　　若上的函數(shù)滿足以下條件，則稱它為

23、上的一個Finsler度量：</p><p>　　(1) 在上是函數(shù)；</p><p><b>　　(2) ，；</b></p><p><b>　　(3) ，；</b></p><p>　　(4) 基本張量正定。</p><p>　　由定義可見當(dāng)只與有關(guān)時，它就是一個黎曼度

24、量；</p><p>　　1972年，在已被物理學(xué)家廣泛關(guān)注的Randers的度量的基礎(chǔ)上，日本數(shù)學(xué)家M.Matsumoto提出了-度量這個概念.設(shè)為一個維流形，稱Finsler度量為上的-度量.若為1階正齊次函數(shù)，即 </p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中為黎曼度量，為1階微分形式，即1-形式.&l

25、t;/p><p>　　下列是文獻(xiàn)中常見的-度量：Randers度量；Matsumoto度量；Park-Lee度量；Kropina度量 ；廣義Kropina度量，.</p><p>　　2.3 Finsler度量的切叢上那些長度為1的向量構(gòu)成的單位球面</p><p><b>　　令</b></p><p>　　是單位切球在M

26、上且是正投影。明顯是TM的全臍和一個局部的表達(dá)</p><p>　　在一個局部坐標(biāo)在TM上。</p><p>　　第二章 Randers度量及單位球面</p><p><b>　　2.1 二維球面</b></p><p>　　定理1.1；在維數(shù)為二的歐式空間上Randers度量的單位球面一定是橢圓。</p>

27、<p>　　證明：解出滿足F(v)=1的單位圓的方程</p><p><b>　　令</b></p><p>　　Randers度量 =</p><p><b>　　當(dāng)時解出方程的根；</b></p><p>　　即 =1 則x的解為；</p><p><

28、b>　　y的解為；</b></p><p><b>　　以下將求的標(biāo)準(zhǔn)方程</b></p><p><b>　　解； </b></p><p><b>　　兩邊平方并合并得；</b></p><p><b>　　寫出它的系數(shù)矩陣</b>&

29、lt;/p><p><b>　　計(jì)算不變量</b></p><p><b>　　解得 </b></p><p><b>　　解特征方程</b></p><p>　　得二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為</p><p>　　由于，所以此二次曲線為橢圓。</p

30、><p>　　下面將畫出當(dāng)取不同值時此橢圓的圖</p><p><b>　　當(dāng)=0.5, 時</b></p><p><b>　　當(dāng)=0.1,時</b></p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　從以上三個例子可以看出在二維歐氏空間上Ra

31、nders度量的單位球面一定為橢圓。</p><p><b>　　2.2 三維球面</b></p><p>　　定理2.1；在維數(shù)為三的歐式空間上Randers度量的單位球面一定是橢球面</p><p><b>　　三維 </b></p><p>　　Randers度量 </p>&l

32、t;p><b>　　令時，解出方程的根</b></p><p><b>　　X的解為、</b></p><p><b>　　y的解為</b></p><p><b>　　z的解為</b></p><p>　　以下將寫出的標(biāo)準(zhǔn)方程</p>

33、<p><b>　　解：</b></p><p><b>　　兩邊平方并合并得</b></p><p><b>　　則 它的系數(shù)矩陣為</b></p><p><b>　　計(jì)算其不變量</b></p><p><b>　　特征方程為&

34、lt;/b></p><p><b>　　所以標(biāo)準(zhǔn)方程為</b></p><p>　　所以此二次曲面為橢球面。</p><p>　　下面將畫出取不同值時此橢球面的圖形</p><p><b>　　時</b></p><p><b>　　時</b>&

35、lt;/p><p>　　可以看出在三維歐氏空間上Randers度量的單位球面為橢球面。</p><p>　　2.3 橢圓 橢球面</p><p>　　下面我們將證明定理1.1的逆定理</p><p>　　定理 2.3 在二維歐氏空間上的橢圓一定是Randers度量上的單位球面。</p><p>　　證： 設(shè)橢圓的一般方程為

36、</p><p>　　由坐標(biāo)變換定理可知；存在線性變換</p><p>　　使得 </p><p>　　即是Randers度量上的單位球面。</p><p><b>　　例如 ：</b></p><p>　　Riemann度量；</p><p>&

37、lt;b>　　當(dāng)中為零時</b></p><p><b>　　可以通過線性變換</b></p><p>　　化為，即為Riemann度量</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　即 依然是Randers度量。</p><p>　　本章得

38、出的結(jié)論是，在二維歐式空間上Randers度量切叢上的單位球面是橢圓。在三維歐式空間上Randers度量切叢上的單位球面是橢球面。而且在二、三維歐氏空間上的橢圓或橢球面在切叢上一定是Randers度量的單位球面。</p><p>　　第三章 及其單位球面</p><p>　　3.1 二維 n=2</p><p><b>　　將代入中得</b>

39、</p><p>　　下面畫出當(dāng)時以上方程的圖</p><p>　　可以看出當(dāng)n=2時的單位球面為斜橢圓。</p><p><b>　　但是當(dāng)時情況就不同</b></p><p><b>　　如，時畫出圖形</b></p><p>　　可以看出，在以上情況下的單位球面不是橢圓

40、。</p><p>　　3.2 三維 n=3</p><p><b>　　將代入中得</b></p><p>　　下面將畫出當(dāng)時方程的圖；</p><p>　　可以看出當(dāng)n=3時的單位球面為橢球面。</p><p><b>　　但當(dāng)時</b></p><p

41、>　　可以看出，在以上情況下的單位球面不是橢球面。</p><p>　　本章主要得出的結(jié)論是，在二維歐氏空間上的度量=的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢圓。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)，取一定值時它的單位球面不為橢圓。在三維當(dāng)歐式空間上的度量的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢球面。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)時，取一定值時不為橢球面。</p><

42、;p>　　第四章 Matsumoto度量及其單位球面</p><p>　　Matsumoto度量是Finsler幾何中一個重要的度量。</p><p>　　4.1 二維 n=2</p><p><b>　　將代入中得；</b></p><p>　　下面將畫出方程的圖形；</p><p>&l

43、t;b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　可以看出當(dāng)n=2時的單位球面為橢圓。</p><p><b>　　但，當(dāng)時</b></p><p>　　可以看出，在以上情況下的單位球面不是橢圓。</p><p>　　4.2 三維 n=3</p><p><b>　　將代入

44、中得；</b></p><p>　　下面畫出方程的圖形；</p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　可以看出n=3時，當(dāng)并取相同值時為橢球面。</p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　可以看出n=3時，當(dāng)并取不同值時的單位

45、球面不是橢球面。</p><p>　　本章主要得出結(jié)論；在二維歐氏空間上的Matsumoto度量 的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢圓。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)，取一定值時它的單位球面不為橢圓。在三維歐氏空間上的Matsumoto度量 =1的單位球面和的系數(shù)有關(guān)。當(dāng)?shù)南禂?shù)取1，取一定值時它的單位球面為橢球面。當(dāng)?shù)南禂?shù)取小于1的數(shù)時，取一定值時不為橢球面。</p><p

46、><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　沈忠民，詹華稅． 幾何中若干問題之研究(1)[J] 集美大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1999，4(3)：76-83．</p><p>　　伍鴻熙，陳維桓．黎曼幾何選講[M] 北京：北京大學(xué)出版杜，1993</p><p>　　沈一兵 。 整體微分幾何初步[M] 北京：高等教育出版社，200

47、9。7</p><p>　　徐森林，薛春華，胡自勝，金亞東。近代微分幾何[M] 合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009。6</p><p>　　卡爾莫。曲線和曲面的微分幾何學(xué)。上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1988。</p><p>　　P Fi~lsler．Ober kurven und m chert in p［J]gemeinen R n［M]．C,Ottinge

48、n：Di~ on，1918．</p><p>　　Zhongmin Shen,Two-Dimensional Finsler Metrics with Constant Curvature,to　appear。</p><p>　　Gluck H, Ziller W。 On the volume of a unit vector

49、field on the three　sphere[J] 。 Comm Math Helv, 1986, 61: 177- 192</p><p>　　Zhou J W, Huang H。 Geometr y on Grassmann manifolds G( 2, 8) and G ( 3, 8) [J] 。 Math J Okayama Univ, 2002, 44: 171-179。</p>

50、<p>　　M US SO E, TRICERRIF。 Riemanian　metrics on tan gent bundles [J]。 An n 。 Ma t。 Pura Appl 。, 198 8, 1 5 0 (4):1-19</p><p>　　BLAIRDE 。 Riemannian Geometry o f Contact and Sypletic Manifolds [M]。 Birk

51、h ¨auser Boston ,Inc 。,Boston ,MA,2002。</p><p>　　Makoto Matsumoto, Foundations of Finsler geometry and special Finsler spaces。 Kaiseisha press, 1986。</p><p><b>　　附錄</b></p>

52、;<p><b>　　計(jì)算過程</b></p><p>　　> solve(sqrt(x^2+y^2)+b1*x+b2*y=1,x);</p><p>　　> solve(sqrt(x^2+y^2)+b1*x+b2*y=1,y);</p><p>　　> expand((1-b1*x-b2*y)^2);</

53、p><p>　　>collect(x^2+y^2-(b1^2*x^2+2*b1*x*b2*y-2*b1*x+b2^2*y^2-2*b2*y+1),{x,y},distributed);</p><p>　　>A:=matrix(3,3,[1-b1^2,-b1*b2,b1,-b1*b2,1-b2^2,b2,b1,b2,-1]);</p><p>　　>

54、B:=diag(eigenvalues(A));</p><p>　　>A:=matrix(3,3,[1-b1^2,-b1*b2,b1,-b1*b2,1-b2^2,b2,b1,b2,-1]);</p><p>　　> B:=diag(eigenvalues(A));</p><p>　　> solve(sqrt(x^2+y^2+z^2)+b1*x+

55、b2*y+b3*z=1,x);</p><p>　　> solve(sqrt(x^2+y^2+z^2)+b1*x+b2*y+b3*z=1,y);</p><p>　　> solve(sqrt(x^2+y^2+z^2)+b1*x+b2*y+b3*z=1,z);</p><p>　　>A:=matrix(4,4,[1-b1^2,-b1*b2,-b1*b

56、3,b1,-b1*b2,1-b2^2,-b2*b3,b2,-b1*b3,-b2*b3,1-b3^2,b3,b1,b2,b3,-1]);</p><p>　　> B:=diag(eigenvalues(A));</p><p>　　>A:=matrix(3,3,[1-b1^2,-b1*b2,-b1*b3,-b1*b2,1-b2^2,-b2*b3,-b1*b3,-b2*b3,1-b

57、3^2]);</p><p>　　> B:=diag(eigenvalues(A));</p><p><b>　　作圖過程</b></p><p>　　> with(plots);</p><p>　　>implicitplot(sqrt(x^2+y^2)+0.5*x+0.5*y=1,x=-3..3,

58、y=-3..3);</p><p>　　>implicitplot(sqrt(x^2+y^2)+0.1*x+0.1*y=1,x=-2..2,y=-2..2);</p><p>　　>implicitplot(sqrt(x^2+0.3*y^2)+0.3*x+0.5*y=1,x=-18..3,y=-60..3);</p><p>　　>implicit

59、plot3d(sqrt(x^2+y^2+z^2)+0.5*x+0.5*y+0.5*z=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-6..6);</p><p>　　>with(plots):implicitplot3d(sqrt(x^2+y^2+z^2)+0.1*x+0.1*y+0.1*z=1,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);</p><p>　　>with(p

60、lots):implicitplot((sqrt(x^2+y^2)+0.3*x+0.3*y)^2/sqrt(x^2+y^2)=1,x=-3..3,y=-3..3);</p><p>　　>with(plots):implicitplot((sqrt(x^2+0.3*y^2)+0.3*x)^2/sqrt(x^2+y^2)=1,x=-3..3,y=-6..6);</p><p>　　&g

61、t;with(plots):implicitplot3d((sqrt(x^2+y^2+z^2)+0.3*x+0.3*y+0.3*z)^2/sqrt(x^2+y^2+z^2)=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5);</p><p>　　>with(plots):implicitplot3d((x^2+y^2+z^2)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)-0.5*x-0.4*y-0.4*z)=