雙曲型偏微分方程的求解及其應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　雙曲型偏微分方程的求解及其應(yīng)用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 </p&

2、gt;<p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要:雙曲型偏微分方程是偏微分方程極其重要的組成部分。它可以描述物體內(nèi)部的振動，尤

3、其是波動傳播過程。本文通過敘述偏微分方程以及其相關(guān)的概念定義，并且以波動方程作為雙曲型偏微分方程的典型的例子來介紹其求解和應(yīng)用。文章重點講述了用分離變量法來求解波動方程的的具體過程，并簡單介紹了達朗貝爾方法以及積分變換方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞: 雙曲型；分離變量；積分變換</p><p>　　Solution of hyperbolic partial differential

4、equations and its application</p><p>　　Abstract：Hyperbolic partial differential equations is partial differential equation of the most important components. It can describe object interior vibration, especia

5、lly wave process. This article through narrative partial differential equation and its related concepts in wave equation is defined, and hyperbolic partial differential equations as the typical example to introduce its s

6、olution and the application. This paper tells the method of separation of variables to solve with the specific p</p><p>　　Keywords: hyperbolic type ; separation of variables ; Integral transform</p>&

7、lt;p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 問題的背景、意義1</p><p>　　1.1.1 背景1</p><p>　　1.1.2 意義2</p><p>　　2 雙曲型偏微分方程

8、的基本概念3</p><p>　　2.1 偏微分方程的基本概念3</p><p>　　2.1.1 定義3</p><p>　　2.1.2 定解條件和定解問題3</p><p>　　2.1.3 定解問題的適定性3</p><p>　　3 雙曲型偏微分方程的求解5</p><p&g

9、t;　　3.1 基本概念5</p><p>　　3.1.1 雙曲型5</p><p>　　3.1.2 分離變量法5</p><p>　　3.1.3 一些方程的通解5</p><p>　　3.2 分離變量法6</p><p>　　3.3 達朗貝爾方法12</p><p>　

10、　3.4 積分變換法15</p><p>　　4 雙曲型偏微分方程的應(yīng)用17</p><p>　　4.1 定解問題的求解17</p><p>　　4.2 弦自由振動的求解18</p><p>　　4.3 求解定解問題19</p><p><b>　　5 結(jié)論21</b>&l

11、t;/p><p><b>　　致 謝22</b></p><p><b>　　參考文獻23</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問題的背景、意義</p><p><b>　　1.1.1 背景&

12、lt;/b></p><p>　　擴展微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學的有機結(jié)合，成為18世紀數(shù)學的鮮明特征之一，產(chǎn)生的新思想使數(shù)學本身大大受惠，一系列新的數(shù)學分支在18世紀成長起來。如，常微分方程、偏微分方程、變分法3個分支的形成。 </p><p>　　微積分對弦振動等力學問題的應(yīng)用引導一門新的數(shù)學分支，偏微分方程的建立。包含未知函數(shù)以及偏導數(shù)的等式稱為偏微分方程。</p&g

13、t;<p>　　偏微分方程理論研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解，有多少個解，解的各種性質(zhì)與求解方法，及其應(yīng)用。</p><p>　　一階偏微分方程的解法。1722年拉格朗日（ 法，1736-1813 ）和1819年柯西（ 法，1798-1857年 ）發(fā)現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組。</p><p>　　二階偏微分方程的突破口是弦振動方程。給定一個拉緊的均勻柔軟的弦

14、，兩端固定在軸的某兩點上，考察該弦在平衡位置附近的微小橫振動。弦上個點的運動可以橫向位移 表示，則。這個方程稱為弦振動方程，或一維的波動方程。</p><p>　　1715年和1727年泰勒和約翰.伯努利分別提出了建立弦振動方程的問題。1747年達朗貝爾（ 1717-1783 ）發(fā)表《弦振動研究》和1749年歐拉都導出了弦振動方程并求出解，成為偏微分方程研究的開端。1753年丹尼爾.伯努利的論文（1755年發(fā)表）

15、在假定所有可能的初始曲線均可表為正弦級數(shù)的前提下，導出了具有正弦周期模式的解。歐拉在1759年的論文（1766年發(fā)表）中將弦振動方程作了推廣，討論了二維鼓膜的振動和聲波的三維傳播，分別得到了二維和三維的波動方程，獲得了解的初步性質(zhì)。波動方程現(xiàn)稱為雙曲型偏微分方程。</p><p>　　另一重要類型的二階偏微分方程是位勢方程，是1752年歐拉在研究流體力學時提出的。歐拉證明了對流體內(nèi)任一點的速度分量,,，一定存在函

16、數(shù) （速度勢）滿足，這就是位勢方程。在熱傳導過程中，當熱運動達到平衡狀態(tài)時，溫度u也滿足上述方程，所以它也稱為調(diào)和方程。1785年拉普拉斯（法，1749-1827年）用球調(diào)和函數(shù)求解，稍后又給出了這方程的直角坐標形式。現(xiàn)在稱這方程為拉普拉斯方程，這屬于橢圓形偏微分方程。</p><p>　　對二階偏微分方程的求解構(gòu)成19世紀數(shù)學家和物理學家關(guān)注的中心問題之一[1-4]。</p><p>&

17、lt;b>　　1.1.2 意義</b></p><p>　　在科學技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數(shù)來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和

18、時間有關(guān)系，而且和空間坐標也有聯(lián)系，這就要用多個變量的函數(shù)來表示。</p><p>　　隨著電子計算機的出現(xiàn)和發(fā)展, 偏微分方程的數(shù)值解得到了前所未有的發(fā)展和應(yīng)用.在科學的計算機化進程中,科學與工程計算作為工具性、方法性、邊緣交叉性的新學科開始了自己的新發(fā)展.由于科學基本規(guī)律大多是通過偏微分方程來描述的，因此科學與工程計算的主要任務(wù)就是求解形形色色的偏微分方程，特別是一些大規(guī)模、非線性、幾何非規(guī)則性的方程.<

19、;/p><p>　　隨著物理科學所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展。從這個角度說，偏微分方程變成了數(shù)學的中心。</p><p>　　2 雙曲型偏微分方程的基本概念</p><p>　　2.1 偏微分方程的基本概念</

20、p><p>　　這一節(jié)，我們來了解一下關(guān)于偏微分方程的相關(guān)概念，如定解條件和定解問題以及定解問題的適定性。</p><p>　　2.1.1 定義 </p><p>　　含有未知函數(shù)的偏導數(shù)的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。

21、</p><p>　　方程的個數(shù)是1的稱為方程式，方程的個數(shù)多于1的稱為方程組。對于方程組而言，一般要求方程的個數(shù)與未知函數(shù)的個數(shù)相同。如果方程的個數(shù)少于未知函數(shù)的個數(shù)，稱方程組是欠定的。如果方程組的個數(shù)多于未知函數(shù)的個數(shù)，稱方程組是超定的。</p><p>　　方程（組）中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)的階數(shù)稱為方程（組）的階數(shù)。</p><p>　　定解條件和定解

22、問題 </p><p>　　給定一個常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求滿足方程，即滿足某種物理定律，而不能完全確定一個物理狀態(tài)，這種解通常有無窮多個。特解除了要求滿足方程外，還要滿足給定的外加（特殊）條件。對偏微分方程也是一樣的。換句話說，為了完全確定一個物理狀態(tài)，只有相應(yīng)的偏微分方程是不夠的，必須給出它的初始

23、狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加的特定條件，這種特定條件稱為定解條件。描述初始時刻物理狀態(tài)的定解條件稱為初值條件或初始條件，描述邊界上物理狀態(tài)的條件稱為邊界條件或邊值條件。一個方程匹配上定解條件就構(gòu)成定解問題。</p><p>　　2.2.3 定解問題的適定性 </p><p>　　對于不同的物理問題，一般來講其定解條件也是（例如，弦振動問題和熱傳導問題有不同的初值條件，描述不同物理狀態(tài)的熱

24、傳導問題也有不同的邊界條件）。從數(shù)學上來看，判斷一個定解問題是否合理，即是否能夠完全描述一個給定的物理狀態(tài)，一般來講有以下三個標準：</p><p>　　（1）解的存在性 所給的定解問題有解</p><p>　?。?）解的唯一性 所給的定解問題只有一個解</p><p>　?。?）解的穩(wěn)定性 當定解條件（初值條件

25、，邊界條件）以及方程中的系數(shù)有微小變動時，相應(yīng)的解也有微小變動。解的穩(wěn)定性也只有微小變動。解的穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。</p><p>　　解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，三者合起來稱為解的適定性。一般來說，一個具體的物理問題在一定的條件下，總有唯一確定的狀態(tài)，反應(yīng)在定解問題中就是解的存在唯一性。定解條件都是通過測量和統(tǒng)計而得到的，在測量和統(tǒng)計的過程中誤差總是難免的，同時在建立數(shù)學模型的過程中也多次用了近

26、似[5-10]。</p><p>　　3 雙曲型偏微分方程的求解</p><p><b>　　3.1 基本概念</b></p><p>　　首先，讓我們了解一下有關(guān)于雙曲型偏微分方程的概念。比如什么是雙曲型的，什么是分離變量法以及了解常微分方程中的一些解，為后面我們要講到的方法的求解做準備。</p><p>　　3.

27、1.1 雙曲型</p><p>　　考察兩個自變量的二階線性偏微分方程</p><p>　　， （3.1.1）</p><p>　　其中,,,都是x,的連續(xù)可微實值函數(shù)，并且，，不同時為零。</p><p>　　存在任一點的一個領(lǐng)域內(nèi)。</p><p>　　結(jié)論 如果在點（任一點的一個領(lǐng)域內(nèi)）處，

28、則稱方程（3.1.1）在點 處是雙曲型的。</p><p>　　3.1.2 分離變量法</p><p>　　給定一個二元數(shù)組 。</p><p>　　， （3.1.2）</p><p>　?。?.1.2）式實際上一些變量分離形式的函數(shù)的和（疊加）。這就啟發(fā)我們設(shè)法求出一個線性方程線性方程的具有

29、上述形式的解。求這種形式的解的方法就稱為分離變量法</p><p>　　3.1.3 一些方程的通解</p><p>　　我們首先來了解一下有關(guān)于常系數(shù)二階線性常微分方程的通解。</p><p>　　給定一個常系數(shù)二階線性常微分方程</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對應(yīng)

30、的特征方程是，有兩個根為和。根據(jù) ，的不同情況，有下面的已知結(jié)論：</p><p>　　(1) 當 ，為實數(shù)且 時，</p><p><b>　　；</b></p><p>　　(2) 當 為實數(shù)時，</p><p><b>　　；</b></p><p>　　（3）當

31、 ， 時，</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.2 分離變量法</p><p>　　有了以上的基礎(chǔ)知識打底，我們現(xiàn)在就來求解典型的雙曲型偏微分方程。</p><p>　　這里我們主要討論具有很強實際背景的一個典型的二階線性偏微分方程，是研究弦振動的方程，稱為波動方程，屬于雙曲型。這里運用分

32、離變量法。</p><p>　　給出具有任意初始位置（位移）和速度時這個問題的完整解答，即求解描述端點固定的弦振動的波動方程的邊值問題。</p><p>　　假設(shè)弦沿x軸張緊放置，端點分別固定在x=0和x=L處（圖1）。令 表示弦在時刻點處的位置。我們知道滿足一維波動方程：</p><p>　　， （3.2.1）</p>

33、;<p>　　為求出，我們將求解這個方程，其邊界條件為</p><p>　　和 對所有， （3.2.2）</p><p><b>　　初始條件為</b></p><p>　　和 當 。 （3.2.3）</p><p>　　邊界條件說明弦的端點在任何時刻

34、都是固定的，而初始條件給出的弦的初始形狀，以及其初始速度。</p><p>　　我們將給出這個問題的兩個解，一個是基于所謂的分離變量法，這個非常有力的方法將用來求解這里的偏微分方程；另一個解是由達朗貝爾發(fā)現(xiàn)的，用閉形式來表達，從而得到一些用行波來表示的有趣幾何解釋。</p><p>　　為揭示分離變量法的主要思想，我們將求解過程分解成三個基本步驟。</p><p>

35、　　步驟1：在（3.2.1）和（3.2.2）中分離變量</p><p>　　首先，我們求出（3.2.1）的形如</p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　的非零乘積解，其中是只與有關(guān)的函數(shù)，而是只與有關(guān)的函數(shù)。問題就化為求解和，對（3.2.4）作關(guān)于和的微分，得到</p><p><b

36、>　　和 。</b></p><p>　　代入（3.2.1）式，得到</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　兩邊再除以，得到</b></p><p>　　。 （3.2.5）<

37、/p><p>　?。ú挥脫臑?，我們將繼續(xù)這種形式的求解過程。）在方程（3.2.5）中，變量是分離的，因為方程左邊只是的函數(shù)，而右邊只是的函數(shù)。由于和是相互獨立的，要得到等式的唯一方法是（3.2.5）式兩端為常數(shù)且相等，所以</p><p>　　和 ,</p><p>　　其中是任意常數(shù)，稱為分離常數(shù)。我們將變量分離的方程寫成如下兩個常微分方程：<

38、/p><p><b>　?。?.2.6）</b></p><p><b>　　和</b></p><p>　　. （3.2.7）</p><p>　　這樣，我們得到了兩個常微分方程來代替我們原先的偏微分方程，這是分離變量法的要點。但是，這兩個方程

39、通過常數(shù)而耦合在一起，因此并不是相互獨立的。我們下一步是在邊界條件（3.2.2）中分離變量。利用（3.2.4）式和邊界條件，得到</p><p>　　和 ， 對所有 。</p><p>　　如果 或 ，則對所有，必須為0，因此由（3.2.4），恒等于零。為避免這個平凡解，令</p><p><b>　　和 .</b></p&g

40、t;<p>　　因此我們得到X的邊值問題：</p><p>　　， 和 .</p><p>　　正如下一步驟所發(fā)現(xiàn)的，并不是所有的分離常數(shù)都能導出的平凡解。我們的討論將涉及簡單的二階線性常系數(shù)常微分方程的求解。</p><p>　　步驟2：求解變量分離的方程</p><p>　　首先，我們求解的方程，因為它帶有邊界條

41、件，而的方程沒有，邊界條件可以將解的范圍縮小。</p><p>　　如果是正的，比如， ，則X的方程變?yōu)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其通解為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　我

42、們現(xiàn)在說明：滿足其邊界條件的唯一方法就是選取 .事實上，蘊涵著 ，因此得到 。條件 蘊涵著 ，但是 ，因此 ，即得 。因此情形只導出平凡解。</p><p>　　類似地，當 時，微分方程化為 ，其通解為 。滿足其邊界條件的唯一方法就是選取 ，這又將導出平凡解 。所以，唯一剩下的可能就是</p><p><b>　　.</b></p>

43、<p><b>　　相應(yīng)于的邊值問題是</b></p><p>　　， 和 .</p><p><b>　　微分方程的通解為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　條件蘊涵著 ，因此 ：條件 蘊含著</p&g

44、t;<p><b>　　.</b></p><p>　　為避免平凡解 ，取 （ ，這里只是為了方便起見，任何其他非零值均可），得到由于正弦函數(shù)在的整數(shù)倍處為零，我們得到</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　因此</b></p>

45、<p><b>　　， .</b></p><p>　　注意到，對于的負值情形，我們得到了一個相同的解，只差一個符號。因此，不失一般性，舍去對應(yīng)于負的解。</p><p>　　現(xiàn)在，回到（3.2.7）式，代入 ，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>&l

46、t;b>　　方程的通解是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中我們令</b></p><p>　　, .</p><p>　　像（3.2.4）式那樣將和的解結(jié)合起來，我們得到（3.2.1）式的一組無窮多個滿足邊界條件（3.

47、2.2）的乘積解：</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　這就是波動方程的正規(guī)波形。</p><p>　　由于所有正規(guī)波形都滿足線性齊次方程（3.2.1）和邊界條件（3.2.2），由疊加原理，其任意線性組合都滿足（3.2.1）和（3.2.2）。但是不難發(fā)現(xiàn)：如此線性組合，一般而言，可能不滿足初始條件（3.2.3）。

48、因此，受疊加原理啟發(fā)，自然要嘗試“無窮”線性組合</p><p>　　作為邊值問題（3.2.1）~（3.2.3）的解。</p><p>　　步驟3：整個問題的傅里葉級數(shù)解</p><p>　　為徹底解決我們的問題，我們必須確定未知系數(shù)和 ，以使函數(shù)滿足初始條件（3.2.3）。以（3.2.3）中第一個條件開始，在無窮級數(shù)解中令 ，得到</p><

49、p><b>　　， .</b></p><p>　　右端的級數(shù)是f的半幅正弦級數(shù)展開式，因此由公式，得到正弦系數(shù)b為</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　類似地，由（3.2.3）中的第二個初始條件，我們確定 。對的級數(shù)關(guān)于逐次微分，并令 ，得到</p><

50、;p><b>　　.</b></p><p>　　由于這是的半幅正弦級數(shù)展開式所以我們得到</p><p>　　， .</p><p>　　解出 ，并代入的值，得到</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　這樣，我們確定

51、出了解的級數(shù)表達式中的所有未知系數(shù)。我們將上面所得到的總結(jié)如下。</p><p>　　一維波動方程的解 一維波動方程</p><p><b>　　， , </b></p><p><b>　　帶有邊界條件</b></p><p><b>　　和 對所有</b&

52、gt;</p><p><b>　　以及初始條件</b></p><p><b>　　和 當 </b></p><p><b>　　的解為</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>

53、　　，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　以及</b></p><p><b>　　， .</b></p><p>　　3.3 達朗貝爾方法</p><p>　　正如前面提到的，本節(jié)將

54、說明相應(yīng)的弦振動</p><p><b>　?。?.3.1）</b></p><p>　　和對所有， （3.3.2）</p><p>　　和對 （3.3.3）</p><p>　　的邊值問題的傅里葉級數(shù)解具有更簡單的表達式，僅用初始值

55、和來表達。更確切地，我們將證明（3.3.1）~（3.3.3）的解可以表達為</p><p>　　， （3.3.4）</p><p>　　其中和表示和的奇延拓，這稱為弦振動問題的達朗貝爾解，它可以用行波來作一個有趣的解釋。</p><p>　　例 從傅里葉級數(shù)到達朗貝爾解</p><p>　　當 和時，前一節(jié)傅里葉級數(shù)方

56、法得到（3.3.1）~（3.3.3）的解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　另一方面，達朗貝爾解（3.3.4）得到如下形式的解：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　回憶起三角恒等式，我們發(fā)現(xiàn)這兩個解是一樣的。</p><p&g

57、t;　　由前一節(jié)的傅里葉級數(shù)解推導出達朗貝爾解（3.3.4）是基于類似的思想，將在習題中給出其證明框架。此時，直接驗證（3.3.4）滿足方程（3.3.1）~（3.3.3）就能說明（3.3.4）的正確性。為簡化記號，我們?nèi)サ?號，用同一個記號來記函數(shù)及其奇延拓。另外，我們假設(shè)下面計算中所出現(xiàn)的導數(shù)都存在。首先，我們驗證（3.3.4）滿足（3.3.1），對（3.3.4）求關(guān)于的導數(shù)，利用鏈式法則和微積分基本定理，我們得到</p>

58、<p><b>　　。</b></p><p>　　關(guān)于求二階導數(shù)，我們得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　類似地，對（3.3.4）求關(guān)于的導數(shù)得到</p><p><b>　　和</b></p><p>&l

59、t;b>　　。</b></p><p>　　因此，，從而（3.3.4）滿足波動方程（3.3.1）.</p><p>　　為驗證（3.3.4）滿足（3.3.2）和（3.3.3），我們利用和是奇的和周期的這個事實。例如，為驗證在處的邊界條件（3.3.2），我們在（3.3.4）中令，得到</p><p><b>　　，</b><

60、;/p><p>　　因為是奇的，所以；是奇的，所以其在對稱區(qū)間上的積分為。</p><p><b>　　達朗貝爾的幾何解釋</b></p><p>　　當初始速度為零時，達朗貝爾解具有如下更簡單的形式：</p><p>　　。 （3.3.5）</p><p>

61、;　　這里有一個有趣的幾何解釋，對固定的，（作為的函數(shù)時）的圖像由的圖像向右平移個單位得到，隨著增加，圖像表示的波以速度向右傳播。類似地，的圖像是以速度向左傳播的波。由（3.3.5）式知，波動方程的解是兩列向相反方向傳播的、其形狀由弦的初始形狀確定的波的平均值。</p><p>　　一般形式的達朗貝爾解（3.3.4）較難從幾何上解釋，但是，它確實告訴我們：在點處</p><p>　　時刻的

62、位移完全由在和之間的區(qū)間上的初始速度決定。為理解初始速度對運動的影響，令表示的一個原函數(shù)，因此</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對于某個固定的數(shù)。注意到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　最后一個等式是由于是奇的。因此，是周期的。利用和，解（3.

63、3.4）可改寫為</p><p><b>　　， （3.3.6）</b></p><p>　　試證：一般的，解還是由右行和左行波行構(gòu)成。與（3.3.5）的情形的主要區(qū)別在于，此時兩個波形不再具有相同的形狀，函數(shù)和分別給出了右行和左行波行狀[11-13]。</p><p>　　3.4 積分變換法</p><p>　　前

64、面我們用到了分離變量法，這里我們討論一種新的方法，積分變換法。</p><p>　　考慮一維齊次弦振動方程的初值問題</p><p><b>　?。?.4.1）</b></p><p>　　記，，。對方程和定解條件關(guān)于施行Fourier變換，得</p><p><b>　　由此解出</b></

65、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中，由</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　確定。解出，，就得到</p><p

66、>　　. （3.4.2）</p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可以求出</b></p><p>　　， （3.4.3）</p><p>　　.

67、 （3.4.4）</p><p>　　最后，由（3.4.2）式~（3.4.4）式得到</p><p>　　. （3.4.5）</p><p>　　這就是著名的d’Alembert公式。容易證明：如果，，那么由（3.4.5）</p><p>　　式給出的是問題（3.4.1）的古典解。&

68、lt;/p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　以及（3.4.3）式和（3.4.4）式得</p><p><b>　　，</b></

69、p><p><b>　　。</b></p><p>　　4 雙曲型偏微分方程的應(yīng)用</p><p>　　下面我們運用我們上面所提到的方法求解以下的定解問題[14-15]。</p><p>　　4.1 求解定解問題</p><p><b>　　解 令，得</b></p&g

70、t;<p><b>　　，.</b></p><p>　　利用邊界條件推知，。所以，對應(yīng)的特征值問題為</p><p><b>　　其全部特征值函數(shù)為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　是全部特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)。將代入的方程解

71、出：</p><p>　　故所求問題的形式解是</p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用初值條件，確定出系數(shù)：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>

72、;　　最后得出所求的形式解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.2 設(shè)有長為l，兩端固定張緊的弦，開始時在中點處把弦拉高h后松手，讓弦自由振動。求弦的位移。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　其中</b><

73、;/p><p>　　利用分離變量法，令 并將其代入方程，得</p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　再由兩邊條件得 ，于是得定解問題所對應(yīng)的特征問題為</p><p><b>　　其全部特征值函數(shù)為</b></p><p><b>

74、　　， </b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　用 代入的方程，得</p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　其解為</b></p><p><b>　　。&

75、lt;/b></p><p><b>　　故，求得</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　再迭加，得問題的形式解為</p><p><b>　　。</b>

76、</p><p><b>　　由始界條件知， ，</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所求的解為</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.3 求解定解問題&l

77、t;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 對方程及初值條件關(guān)于施行Fourier變換，得</p><p><b>　　它的通解是</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用初值條件得，。于是</p

78、><p><b>　　。</b></p><p><b>　　差表知</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中常數(shù)。利用Fourier變換的對稱性質(zhì)得</p><p><b>　　.</b></p&

79、gt;<p>　　再利用Fourier逆變換的卷積性質(zhì)，有</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　5 結(jié)論</b></p><p>　　本文重點介紹了雙曲型偏微分方程的求解，讓我們初步了解分離變量法的求解思路及其過程的一些基本情況。正如所想，在諸如機械或電子振動等物理現(xiàn)象建模過

80、程中，會自然產(chǎn)生常微分方程。如果一個現(xiàn)象涉及多個自變量函數(shù)時，就會導出偏微分方程。事實上，偏微分方程是描述諸如膜、桿、板等力學、均勻物體中的熱流、位勢理論、電池學、彈性力學等問題的基礎(chǔ)。這些方程的理論非常廣泛，涉及應(yīng)用數(shù)學的許多領(lǐng)域。本文研究雙曲型偏微分方程及其應(yīng)用。為求解這類方程，我們可以用分離變量法（已在3.1節(jié)予以介紹），這個強有力的方法可以使我們將新的多變量問題化為我們所熟悉的常微分方程。它的成功源自于函數(shù)可以用某些特殊函數(shù)展開

81、成級數(shù)這個事實。就是在這一點上，我們關(guān)于傅立葉級數(shù)的知識可以派上用場。該方法自然導出用傅立葉展開表示的解，傅立葉展開對這個方法的實現(xiàn)起著極其重要的作用。另外，還提到了達朗貝爾方法以及積分變換方法，這兩種方法也用它自己的特點來求解出定解問題。我們運用分離變量方法解決雙曲型偏微分方程的這類問題，并運用到實際的解釋如上文所述的應(yīng)用中，去解決一些實際的問題。 </p><p><b>

82、　　參考文獻</b></p><p>　　[1]林壽.文明之路—數(shù)學史演講錄[M].北京：科學出版社，2010.</p><p>　　[2]朱家生.數(shù)學史[M]. 北京：高等教育出版社，2001.</p><p>　　[3]李文林.數(shù)學史概論[M]. 北京：高等教育出版社，2000. </p><p>　　[4]郭思旭[譯].O.

83、A.奧列尼克[著].偏微分方程講義[M]. 北京：高等教育出版社，2008.1.</p><p>　　[5]王明新.數(shù)學物理方程[M].北京.清華大學出版社，2005.8.</p><p>　　[6]國外數(shù)學名著系列.偏微分方程與數(shù)值方法[M].北京：科學出版社，2006.</p><p>　　[7]王明新.偏微分方程基本理論[M].北京：科學出版社，2009.&l

84、t;/p><p>　　[8]黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計算方法[M].北京：科學出版社，2006.1.</p><p>　　[9]姜禮尚，孔德興，陳志浩.應(yīng)用偏微分方程講義[M]. 北京：高等教育出版社2008.1.</p><p>　　[10]葛顯良[譯].[英]Harold Levine.偏微分方程[M]. 北京：高等教育出版社，2007.8.</p>

85、<p>　　[11]陳啟宏，張凡，郭凱旋[譯].[英]Dennis G.Zill, Michael R.Cullen.微分方程與邊界值問題[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.10.</p><p>　　[12]陳祖墀，宣本金[譯].[英]Nakhle H.Asmar,密蘇里大學.偏微分方程教程[M].第2版. 北京：機械工業(yè)出版社，2006.10.</p><p>　　[13

86、]David Gilbarg,Neil S.Trudinger. Elliptic partial Differential Equations of second order[M] .Springer-Verlag,1977.</p><p>　　[14]吳小慶.數(shù)學物理方程及其應(yīng)用[M].北京：科學出版社，2008.</p><p>　　[15]譚永基，程晉，蔡志杰[譯].[英]Joh