貴州師范學(xué)院2015屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文

1、<p>　　學(xué)科分類號(hào) 110 </p><p>　　本 科 畢 業(yè) 論 文</p><p>　　題 目 不等式證明的若干方法 </p><p>　　姓 名 學(xué) 號(hào) </p><p>　　院 （系） 數(shù)學(xué)與計(jì)

2、算機(jī)科學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2011級(jí) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職 稱 副教授 </p><p><b>　　二○一 五年五月</b></p><p><b>　　目 錄&l

3、t;/b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p>　　Abstract2</p><p>　　1 常用的不等式證明方法3</p><p>　　1.1 作差比較法3</p><p>　　1.2 作商比較法4</p><p>　　

4、1.3 分析法5</p><p>　　2 假設(shè)法證明不等式5</p><p>　　2.1 反證法5</p><p>　　2.2 數(shù)學(xué)歸納法6</p><p>　　3 構(gòu)造法證明不等式7</p><p>　　3.1 代換法7</p><p>　　3.2 構(gòu)造復(fù)數(shù)8<

5、;/p><p>　　4 利用微分中值定理證明不等式9</p><p>　　4.1 利用拉格朗日中值定理9</p><p>　　4.2 利用柯西中值定理證明不等式10</p><p>　　4.3 利用泰勒展開式證明不等式11</p><p>　　5 利用積分定理證明不等式12</p><

6、;p>　　5.1 利用定積分定義證明不等式12</p><p>　　5.2 利用定積分性質(zhì)證明不等式13</p><p>　　6 一題多解14</p><p><b>　　結(jié)語17</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p><p>

7、;<b>　　致 謝19</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中一個(gè)根本的問題，它浸透于數(shù)學(xué)研究的各個(gè)方面，因而不等式證明在數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的作用和地位。在本文中，我主要從不同方面總結(jié)了一些證明不等式的方法。尤其是在初等數(shù)學(xué)中不等式證明，經(jīng)常會(huì)使用到比較法，假設(shè)法，反證法等等。在高

8、等數(shù)學(xué)中還會(huì)用到中值定理、積分定理等等。于是，一個(gè)更完美的不等式的證明，有助于我們進(jìn)一步的探索研究。經(jīng)過去掌握這些證明方法，可能會(huì)幫助我們?nèi)ソ鉀Q一些數(shù)學(xué)題目。</p><p>　　關(guān)鍵詞:比較法；中值定理；積分定理</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Inequality is the mathematic

9、al learning process is a fundamental issue, it soaked in all aspects of mathematical research, which proves inequality has a crucial role and position in mathematics. In this article, I mainly summarizes some different a

10、spects to prove inequality. Especially proving inequalities in elementary mathematics, is often used to compare methods, assumptions law, reductio ad absurdum, and so on. Higher Mathematics will be used in the mean value

11、 theorem, integral theorem and s</p><p>　　Keywords: Comparative Law; value theorem; integral theorem</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，不等式的證明也證明了它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)非

12、常重要的內(nèi)容，然而，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中又有一個(gè)很好的體現(xiàn)。到17世紀(jì)之后，它已經(jīng)逐漸發(fā)展為不等式理論，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)重要要組成部分。在不等式證明之前，要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往需要對(duì)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,來采取適當(dāng)?shù)?，熟悉各種證據(jù)推理方法，并要掌握相應(yīng)的環(huán)節(jié)，技術(shù)和語言特點(diǎn)，揭示問題的本質(zhì)特點(diǎn)，使得難解的問題變動(dòng)為可解性問題。</p><p>　　黃冬梅在《關(guān)于不等式證明的若干方法的探究》中提到過，利用

13、“對(duì)稱和均分”的觀點(diǎn)。根據(jù)微積分的知識(shí)，通過一些例子來探討不等式證明在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用。東洪平在《利用二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明一些不等式》中涉及到，根據(jù)利用二階導(dǎo)數(shù)方法來證明函數(shù)的單調(diào)性，通常用一個(gè)函數(shù)來求導(dǎo)確定，因此，某些函數(shù)的單調(diào)性不能確定的時(shí)候，對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)來確定其單調(diào)函數(shù).趙忠彥在《用數(shù)學(xué)歸納法證明一類不等式的技巧》中提到，對(duì)于一邊是常數(shù)的數(shù)列不等式，不妨借助于數(shù)學(xué)歸納法，直接證明概括往往有一定的困難，如果使用不等式的

14、傳遞性、可加性，通過增強(qiáng)命題，比例常數(shù)和其他技能，就可以成功完成了歸納過渡。</p><p>　　1 常用的不等式證明方法 </p><p>　　比較法是不等式數(shù)學(xué)證明中最基本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。</p><p>　　1.1 作差比較法</p><p>　　作差比較法：要證不等式，只要證即可。比較法包括以下幾個(gè)步驟：作

15、差、變形、判斷的符號(hào)（正或負(fù)）、得出結(jié)論。</p><p>　　例1 實(shí)數(shù)為正數(shù)，求證。</p><p>　　分析：兩個(gè)多項(xiàng)式大小的比較通常是用作差比較法。</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　小結(jié):作差：要比較兩個(gè)數(shù)（或式子）作差的大小;</p><p>　　變形

16、：對(duì)差值進(jìn)行因式分解或幾個(gè)數(shù)（或式子）的完全平方和；</p><p>　　判別：結(jié)合變形和題設(shè)前提下判斷差的符號(hào)。</p><p>　　1.2 作商比較法</p><p>　　商比較：在一般情況下，當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，借助或，來表示它的大小，一般步驟為：作商——變形——判別（大于1或小于1)。</p><p><b>　　例2 設(shè)，求證

17、：。</b></p><p>　　分析:關(guān)于一些含有冪指數(shù)類型的題通常都用作商比較法。</p><p>　　證明： ，</p><p><b>　　又指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>&

18、lt;b>　　;</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　，，；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　，，；</b></p><p&g

19、t;<b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注：作商法通常適用于含“冪”、“指數(shù)”比較類型的式子。</p><p>　　1.3 分析法 </p><p>　　分析法是從結(jié)論開始，一步步的向上推導(dǎo)，探索下去，然而證明已知的題目中設(shè)條件，在證明的過

20、程中，推導(dǎo)的每一步都要可逆。</p><p>　　例3 已知：為互不相等的實(shí)數(shù)，求證：.</p><p><b>　　證明：要證成立，</b></p><p><b>　　即證明</b></p><p><b>　　需要證</b></p><p><

21、;b>　　即</b></p><p><b>　　因?yàn)?所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此逆推，即可證明。</p><p>　　2 假設(shè)法證明不等式</p><p><b>　　2.1 反證法<

22、/b></p><p>　　反證法是證明與命題相對(duì)立的結(jié)論，可以先來假設(shè)一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，應(yīng)用到以往所學(xué)的知識(shí)來證明假設(shè)是錯(cuò)誤的。</p><p>　　理論依據(jù)：命題“”與命題“非”一真、一假。</p><p>　　例4 已知，求證:至少有一個(gè)小于等于。</p><p>　　分析：“小于等于”的反面是“大于”，可以考慮用反證法。</

23、p><p><b>　　證明：假設(shè)都大于，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p>　　根據(jù)平均值不等式，有</p><p><b>　　同理</b></p><p><b>　　，</b><

24、;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　顯然矛盾，所以結(jié)論成立。</p><p>　　注：反證法適合用于證明一些“存在性的問題、唯一性的問題”，“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等類型的數(shù)學(xué)問題。</p><p>　　2.2 數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有

25、關(guān)的命題，即按下列步驟進(jìn)行：</p><p>　　證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；</p><p>　　一個(gè)命題，證明了命題的假設(shè)命題進(jìn)行證明，</p><p>　　建立當(dāng)時(shí)，命題也成立。綜上所述，建立了所有的自然數(shù)都成立。</p><p><b>　　例5 。</b></p><p>　　證明：當(dāng)

26、時(shí)，左，右，一個(gè)命題成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　那么當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　左邊 </b

27、></p><p>　　上式表明當(dāng)時(shí)，命題也成立。</p><p>　　由知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立。</p><p>　　注意：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，步驟嚴(yán)謹(jǐn)，務(wù)必嚴(yán)格按步驟進(jìn)行。</p><p>　?。?）歸納推理是難點(diǎn)，要仔細(xì)看準(zhǔn)再變形。</p><p>　　3 構(gòu)造法證明不等式</p>

28、<p>　　構(gòu)造法是利用已知條件為前提，把條件進(jìn)行變換和替代或模型結(jié)構(gòu)的條件下，復(fù)雜等，來實(shí)現(xiàn)不等式的證明過程的簡(jiǎn)單化。</p><p><b>　　3.1 代換法</b></p><p>　　提取一個(gè)式子作為一個(gè)整體，一個(gè)變量來代替它，使問題得以簡(jiǎn)單化，稱為代換法。還原轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，關(guān)鍵在于構(gòu)建元素和組元，理論原由是基于等效替代，這樣的非標(biāo)準(zhǔn)化的問題，復(fù)

29、雜的問題。</p><p>　　例7 計(jì)算下面的算式</p><p><b>　　解: 令,，</b></p><p><b>　　則原式</b></p><p>　　注意：在解題過程中，往往要根據(jù)解題的需要，通常把較大的數(shù)字或者復(fù)式的式子用字母來代替，這樣才會(huì)使式子中的復(fù)雜的關(guān)系更加簡(jiǎn)單明了，簡(jiǎn)

30、化或計(jì)算過程也會(huì)簡(jiǎn)便些。</p><p><b>　　3.2 構(gòu)造復(fù)數(shù)</b></p><p>　　對(duì)某些含有二次根式且變數(shù)字母具有對(duì)稱或輪換對(duì)稱的不等式，可以構(gòu)造復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：證明[1]。</p><p>　　例8：若為非負(fù)實(shí)數(shù)，證明：</p><p><b>　　。</b></

31、p><p>　　證明：構(gòu)造復(fù)數(shù)，，，</p><p><b>　　則左邊</b></p><p>　　從這個(gè)例子可以看出，證明的不等式中出現(xiàn)“平方和算術(shù)根”構(gòu)造復(fù)數(shù)，解決問題的方法是獨(dú)特的，思路也清晰明了。只有在出現(xiàn)平方和或算術(shù)根的情況下，才考慮用構(gòu)造復(fù)數(shù)。</p><p>　　4 利用微分中值定理證明不等式</p&

32、gt;<p>　　利用微分中值定理證明不等式的步驟：</p><p><b>　　構(gòu)造輔助函數(shù)；</b></p><p>　　構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間；</p><p>　　利用，對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。</p><p>　　4.1 利用拉格朗日中值定理</p><p>　　拉格朗日中

33、值定理[2] 如果在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。</p><p>　　例9 求證：當(dāng)時(shí)， 。</p><p>　　分析：最初要來構(gòu)造一個(gè)輔助的函數(shù)，繼續(xù)利用拉格朗日中值定理就可以解出此題。</p><p>　　證明：設(shè)輔助函數(shù)，在上滿足</p><p><b>　　中值定理，則</b></p>

34、;<p><b>　　，；</b></p><p><b>　　因?yàn)?, .</b></p><p><b>　　由上式可得 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b&g

35、t;</p><p><b>　　， ，.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　.

36、</b></p><p>　　注：很多證明題都不能直接利用定理來進(jìn)行解決問題，再利用拉格朗日中指定理問題時(shí)，怎樣去構(gòu)造輔助函數(shù)，這才是證明問題的關(guān)鍵。</p><p>　　4.2 利用柯西中值定理證明不等式</p><p>　　柯西中值定理[3] 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 </p&

37、gt;<p>　　. (4.2)</p><p>　　例10 如果，試證：。</p><p><b>　　證明：令，，</b></p><p>　　在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　且在內(nèi)每一點(diǎn)都不為零。</p><p>　　那么

38、由柯西中值定理可得：</p><p>　　， 見式(4.2)</p><p><b>　　則有 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由于在閉區(qū)間上，有</b></p><p><

39、;b>　　，</b></p><p>　　所以 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　4.3 利用泰勒展開式證明不等式</p><p>　　泰勒定理 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開</p><p>　　區(qū)間上存在，則對(duì)任何，至少存在一點(diǎn)，這

40、樣</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　（在與之間）稱為余項(xiàng)，</p><p>　　上式稱為階泰勒公式。</p><p><b>　　令，則公式變?yōu)?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><

41、p><b>　　其中 </b></p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）。</b></p><p>　　例11 當(dāng)時(shí)，證明。</p><p><b>　　證明：取，，</b></p><p><b>　　則</b></p><p

42、><b>　　，</b></p><p>　　代人泰勒公式，其中，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　故當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　5

43、利用積分定理證明不等式</p><p>　　5.1 利用定積分定義證明不等式</p><p>　　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，</p><p><b>　　在區(qū)間內(nèi)插入分點(diǎn)：</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　記</b>

44、;</p><p><b>　　，；</b></p><p>　　在小區(qū)間上任取一點(diǎn)作和；</p><p>　　如果當(dāng)時(shí)，以上的極限存在，且極限值與區(qū)間的分法和的取值無關(guān)，積分函數(shù)的極限在區(qū)間上的表示，記為，</p><p><b>　　即</b></p><p>　　.

45、 (5.1)</p><p><b>　　例12 計(jì)算.</b></p><p><b>　　解：取分點(diǎn)為，則</b></p><p>　　在第個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)</p><p>　　于是 </p><p>　　5.2 利用定積分性

46、質(zhì)證明不等式</p><p>　　積分不等式性 若函數(shù)和在上的兩個(gè)可積函數(shù)，且，則有</p><p>　　。 (5.2)</p><p><b>　　例13 試證.</b></p><p>　　證明：由定積分的不等式性，只需要證許可，</p><p><b&

47、gt;　　當(dāng)時(shí)，因</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 </p><p><b>　　，<

48、;/b></p><p>　　且 ， ，</p><p>　　在是增函數(shù) ，所以 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b>&l

49、t;/p><p><b>　　因而時(shí)，結(jié)論成立。</b></p><p>　　利用定積分的性質(zhì)來證明不等式當(dāng)中,要學(xué)會(huì)利用微分和積分的互逆,行使積分本身的單一性,把步驟放在不等式雙方結(jié)構(gòu)的積分方式中.使用定積分不等式的證明,常會(huì)用到定積分的性質(zhì),有時(shí)還要結(jié)合積分中值定理。</p><p><b>　　6 一題多解</b>&l

50、t;/p><p><b>　　證明:若，求證：.</b></p><p>　　思路點(diǎn)撥:因?yàn)椋宰C明不等式兩邊的值大于零，本題主要用作差法，作商法和分析法證明。</p><p><b>　　證法一：作差法</b></p><p><b>　　證明：</b></p>

51、<p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　因?yàn)?，所以 .</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　得證。</b></p&g

52、t;<p><b>　　證法二：作商法</b></p><p><b>　　因?yàn)?，所以?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以得證。</b></p><p><b>　　證法三：分析法&l

53、t;/b></p><p><b>　　要證</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　只需證</b></p><p><b>　　只需證 </b></p><p><b>　　只需

54、證</b></p><p><b>　　只需證，因?yàn)槌闪?</b></p><p><b>　　所以得證。</b></p><p><b>　　例：已知求證：.</b></p><p><b>　　證法一：分析法</b></p>

55、<p>　　證明:(1)當(dāng)時(shí)，顯然成立。</p><p>　　(2)當(dāng)時(shí)，欲證原不等式成立。</p><p><b>　　只需證 </b></p><p><b>　　即證 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>&l

56、t;b>　　即證</b></p><p><b>　　即證 </b></p><p>　　因?yàn)椋陨鲜胶愠闪ⅰ?lt;/p><p>　　綜合(1)(2)可知：原不等式成立。</p><p><b>　　證法二：比較法</b></p><p><b>

57、　　證明:因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　證法三：代換法</b></p><p>&l

58、t;b>　　證明：設(shè)，</b></p><p><b>　　則可設(shè)，，，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　結(jié)語</b></p><p>　　在這里我只是總結(jié)一些簡(jiǎn)單幾種比較常見的方法，這些方法只能解決一些常見的一部

59、分不等式問題，要求要大家開拓思維，善于分析解決問題，培養(yǎng)良好的思維能力，但對(duì)于不等式的證明要仔細(xì)觀察，找到最合適最方便的方法并學(xué)習(xí)總結(jié)。</p><p>　　于是，本文對(duì)不等式的一些證明方法進(jìn)行了體系的總結(jié)，并精選一些典型的例題來證明，以便大家對(duì)其證明有更好的了解，同時(shí)密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，不等式在實(shí)際中解決一些簡(jiǎn)單問題的應(yīng)用，為了進(jìn)一步證明不等式的重要性。不等式的證明方法多種多樣，往往取決于題型，沒有一定的途徑。如果能

60、夠熟練掌握不等式的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)基本不等式的特點(diǎn)，認(rèn)真地審題進(jìn)行思考探索也不難找到證題的途徑。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]董堆華.構(gòu)造復(fù)數(shù)解題的常見方法與技巧[J].濮陽教育報(bào),2003,16(1):106-107.</p><p>　　[2]黨艷霞.淺談微分中值定理及其應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào).自

61、然科學(xué)版,2010,10(1):28-30.</p><p>　　[3]金貴榮.關(guān)于弱微分中值定理[J].甘肅高師學(xué)報(bào),2001,6(5):34-56.</p><p>　　[4]徐俊峰.新形勢(shì)下高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一點(diǎn)思考[J].考試周刊,2009,31(1):64-67.</p><p>　　[5]黃冬梅.關(guān)于不等式證明的若干方法的探究[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),200

62、9,</p><p>　　24(1):249-250.</p><p>　　[6]左靜賢.一道須要二階求導(dǎo)的不等式證明題[R].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究:教研版,2008.</p><p>　　[7]趙忠彥.用數(shù)學(xué)歸納法證明一類不等式的技巧[J].數(shù)學(xué)通訊,2003,14(1):14-16.</p><p>　　[8]李麗穎.不等式證明的常用方法[D]

63、.吉林.吉林師范大學(xué),2008.</p><p>　　[9]俞求是.人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書不等式選講簡(jiǎn)介[R].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.高中版,2007,2(2):1-8.</p><p>　　[10]張博.積分不等式的證明[D].西安.陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,2008.</p><p>　　[11]張瑞.積分不等式的推廣[J].科學(xué)技術(shù)與工程.2011,11(2):2

64、99-300.</p><p>　　[12]吳良森.數(shù)學(xué)分析習(xí)題[M].北京:科技出版社.1998,50-98.</p><p>　　[13]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].上海:高等教育出版社.2003,26-65.</p><p>　　[14]羅猛.不等式證明的八種方法[J].跨世紀(jì).2008,16(7):198-199.</p><p&

65、gt;<b>　　致 謝</b></p><p>　　本人的畢業(yè)論文著實(shí)于我的論文指導(dǎo)老師李老師的密切關(guān)懷和精心指導(dǎo)下落實(shí)的。他嚴(yán)峻的科學(xué)態(tài)度，緊密的治學(xué)精神，不斷進(jìn)取的工作作風(fēng)，深深地浸染和啟發(fā)著我。從課題的揀選到本文的最后落成，李老師老是賜予我經(jīng)心的指點(diǎn)和不懈的支持。我衷心地感謝李老師和崇高的敬意。</p><p>　　在這里，我想感謝每一位大學(xué)可愛的同學(xué)和朋友