fourier變換的應用分析(畢業(yè)論文)終稿

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　以Fourier變換為代表的積分變換在許多工程領域有著廣泛應用，因此，總結(jié)和分析Fourier變換的主要應用案例，對于加深對積分變換理論和方法的理解有著重要的實際意義。本文首先從Fourier變換的基本理論出發(fā)，對其常用性質(zhì)和Fourier變換的幾種重要變種進行了總結(jié)。在此基礎上，對Fourier變換在一些實際應用中的思想方法以

2、及快速Fourier變換(FFT)的算法實現(xiàn)進行了分析，得出了Fourier變換的一些應用特點。</p><p>　　關鍵詞：Fourier變換，應用分析，仿真模擬</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The integral transformations, e.g., Fourier transform

3、ation, have the widespread application in many project domains. Therefore, summarizing and analyzing the Fourier transformation has the highly practical significance to deepen the understanding of the integral transforma

4、tion theory and method. Begining with the basic theory of Fourier transformation, we summarizes its characters and several kinds of variants. On the basis of these, we further analyze the methods of Fourier transformatio

5、n via s</p><p>　　Keywords :Fourier transform, Application analysis, Simulation</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1緒論1</b></p><p>　　1.1 Fourie

6、r變換概述1</p><p>　　1.2研究目的和意義2</p><p>　　2 Fourier變換基本理論3</p><p>　　2.1 Fourier級數(shù)的定義3</p><p>　　2.2 Fourier變換的定義3</p><p>　　2.3 Fourier變換的物理意義4</p>&

7、lt;p>　　2.4 Fourier變換的基本性質(zhì)5</p><p>　　3 Fourier變換幾種重要變種8</p><p>　　3.1有限長序列的Fourier分析8</p><p>　　3.2離散Fourier級數(shù)(DFS)9</p><p>　　3.3離散Fourier變換(DFT)10</p><

8、p>　　3.4分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的定義和性質(zhì)17</p><p>　　4 Fourier變換的應用案例研究20</p><p>　　4.1離散Fourier變換(DFT)的應用分析20</p><p>　　4.2分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的應用分析27</p><p>　　5快速Fourier變換的算

9、法以及實現(xiàn)35</p><p>　　5.1算法原理35</p><p>　　5.2按時間抽取的FFT算法與直接計算DFT運算量的比較39</p><p>　　5.3算法的C++實現(xiàn)41</p><p><b>　　6總結(jié)和展望44</b></p><p><b>　　參考文獻

10、45</b></p><p><b>　　致謝48</b></p><p><b>　　1緒論</b></p><p>　　1.1 Fourier變換概述</p><p>　　Fourier變換的基本思想首先由法國學者Fourier系統(tǒng)提出，所以，以其名字來命名以示紀念。1807年，F(xiàn)

11、ourier向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳導方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。Fourier級數(shù)(即三角級數(shù))、Fourier分析等理論均由此創(chuàng)始。</p><p>　　最初Fourier分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的[1]。自此之后，F(xiàn)ourier變換經(jīng)過了長時間的發(fā)展，衍生了很多不同的變種，在各個領域逐

12、漸得到更為廣泛的應用。在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結(jié)構(gòu)動力學等領域Fourier變換都有著廣泛的應用(例如在信號處理中，F(xiàn)ourier變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量)。特別是在分數(shù)階Fourier變換[2]被提出后，它的應用更是走上了一個新的臺階。</p><p>　　在現(xiàn)代數(shù)學的理論體系中，F(xiàn)ourier變換正在各個領域起著舉足輕重的作用。從哲

13、學上看，“分析主義”和“還原主義”[3]，就是要通過對事物內(nèi)部適當?shù)姆治鲞_到增進對其本質(zhì)理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子，而原子不過數(shù)百種而已，相對物質(zhì)世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認識事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。在數(shù)學領域也是這樣，盡管最初Fourier分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！叭我狻钡暮瘮?shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組

14、合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學上的原子論[4]想法又是非常的相似。</p><p>　　這就引起了人們對Fourier變換的廣泛關注和研究，現(xiàn)代數(shù)學理論發(fā)現(xiàn)Fourier變換具有非常好的性質(zhì)，例如：</p><p>　　(1)Fourier變換是線性操作數(shù)，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還可以是酉操作數(shù)；</p><p>　　(2)

15、Fourier變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；</p><p>　　(3)正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；</p><p>　　(4)著名的卷積定理[5]指出：Fourier變換可以化復雜的卷積運算

16、為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；</p><p>　　(5)離散形式的Fourier變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速Fourier變換算法(FFT))。</p><p>　　由于上述的良好性質(zhì)，并且Fourier變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們積分的線性組合。在不同的研究領域，F(xiàn)ourier變換還具有多種不同的變

17、體形式，如連續(xù)Fourier變換和離散Fourier變換等。也正因為此，F(xiàn)ourier變換不光在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、概率論、統(tǒng)計學等經(jīng)典學科中有著十分重要的應用，而且還在信號處理、密碼學、聲學、光學、海洋學、結(jié)構(gòu)動力學、經(jīng)濟學等新學科中有出色的表現(xiàn)。</p><p>　　1.2研究目的和意義</p><p>　　在許多科學分支的理論中，F(xiàn)ourier變換都扮演著重要的角色。就像其他的變

18、換一樣，它們可以被單純的看做數(shù)學泛函。同時，在很多領域，它們恰好和它們所起源的函數(shù)一樣有明確的物理意義。例如，一個波形——光的，電的，聲的——和它可以同樣地理解為實際上可想象的和可測量的實體：示波器可使我們看見點波形，而分光鏡或是頻譜分析儀使我們可以看見光的或是電的譜。我們對聲音的鑒別甚至更為直接，因為耳朵聽到的是譜。波形和譜互為Fourier變換，因此，F(xiàn)ourier變換是一個不尋常的物理關系。</p><p>

19、;　　另外，F(xiàn)ourier變換應用的領域之廣也是令人吃驚的。通常，在研究的一個學科分支中的熟悉概念，在另一個學科分支中就稍有不同。例如，相稱顯微鏡的原理使我們聯(lián)想到鑒頻調(diào)制電路，對兩者的解釋都可以采用變換形式用同樣的方法方便地進行。再比如，統(tǒng)計學中的問題可以使用在級聯(lián)放大器研究中熟悉的方法。這僅僅是出現(xiàn)在不同物理實體中Fourier變換理論的基本原理的一個實例[6]。</p><p>　　將已有的經(jīng)驗從一個物理領

20、域轉(zhuǎn)移到另一個物理領域甚至是多個不同領域是很有益的，但有必要重新解釋新的領域術語。Fourier變換涉及各種各樣豐富的應用，可見，F(xiàn)ourier變換理論是非常普及且萬能的數(shù)學工具。</p><p>　　本文著力于Fourier變換理論的基本原理分析，再通過各個領域其典型的應用實例來對其原理進行進一步深刻的理解，從而得出它們應用的一些普遍性和不同方面的緣由。在此基礎之上，我們用其包羅萬象的應用原理來有效地來啟發(fā)人們

21、認識和解決自然界中的問題。</p><p>　　本文的主要工作包括從理論到應用分析再到理論算法實現(xiàn)的三部分。在第一章緒論的指導之下，第二章從Fourier的基本理論開始展開討論，從最基本的定義和性質(zhì)出發(fā)，層層推進，為后面的應用分析打下堅實的基礎。第三章對Fourier變換的一些重要變換做進一步的理論介紹，強化理解，再做鋪墊。第四章對Fourier變換的各種變種形式的典型應用案例展開研究分析，了解和掌握了Fouri

22、er變換應用的基本方法，得出了一些有用的結(jié)論。第五章選取了應用比較廣泛的DFT的快速算法FFT作為代表，利用C++語言進行了算法的計算機仿真實現(xiàn)，為各種案例的仿真實現(xiàn)做了一個拋磚引玉。最后，本文對研究的結(jié)果做了全文的總結(jié)和提出了一些展望。</p><p>　　2 Fourier變換基本理論</p><p>　　本章主要介紹的是Fourier變換的基本理論，從Fourier級數(shù)和Fourie

23、r變換的定義出發(fā)，分析了其物理意義，提出了幾種常用的性質(zhì)并進行了證明，為下面的案例分析提供了理論基礎。</p><p>　　2.1 Fourier級數(shù)的定義[7]</p><p>　　在物理學中，我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波(正諧波)，它是形如的波，其中A是振幅，是角頻率，是初相位。其他的波如矩形波，鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來。這就是說，設是一個周期為的波，在一定的條件

24、下可以把它寫成：</p><p>　　其中=是階諧波，。我們稱上式右端的級數(shù)是由所確定的Fourier級數(shù)，它是一種三角函數(shù)。</p><p>　　2.2 Fourier變換的定義[7]</p><p>　　傳統(tǒng)的Fourier變換是一種純頻域分析，它可將一般函數(shù)表示為一簇標準函數(shù)的加權求和，而權函數(shù)亦即的Fourier變換。設是R上的實值或復值函數(shù)，則為一能量有限

25、的模擬信號。</p><p>　　那么我們就稱是的Fourier變換，并把它記成或者，即</p><p><b>　　==</b></p><p>　　反之，我們可以得出Fourier逆變換的公式：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　2.3 Four

26、ier變換的物理意義[7]</p><p>　　對任何非周期函數(shù)，作周期為T的函數(shù)如下：當時，=，然后將它延拓為整個實軸上周期為T的函數(shù)，延拓后的函數(shù)記為。顯然會有：</p><p>　　將展開為Fourier級數(shù)：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　其中 =，<

27、;/p><p>　　即 =</p><p>　　既然非周期函數(shù)可看做是周期函數(shù)當時的極限，那么上式中令，所得到的就可以看作是的展開式，即：</p><p>　　記，則，即，所以上式又可以寫為：</p><p>　　現(xiàn)在我們從形式上來考察上式。</p><p>　　在(即)的條件下，一方面，積

28、分</p><p>　　的下限和上限變成和，變成。同時，離散的頻率分布也就密布在整個軸上，變成連續(xù)的分布，因此上述積分在時成為</p><p><b>　　=</b></p><p>　　另一方面，展開式中和式內(nèi)的每一項都趨于零，而和式又是無限累加，因此可以把這一和式看成積分。這樣便獲得</p><p>　　其中

29、 </p><p>　　即的Fourier變換，并稱</p><p>　　是的Fourier逆變換，又稱</p><p>　　是的Fourier積分公式，把它和Fourier級數(shù)作比較，我們就會看出，一個非周期函數(shù)也可以分解為許多簡單諧波的迭加——積分，而Fourier變換=表示在中頻率為的諧波所占有的“成分”。</p>&l

30、t;p>　　2.4 Fourier變換的基本性質(zhì)[8]</p><p>　　Fourier變換有一些簡單的性質(zhì)，這些性質(zhì)在偏微分方程和概率論等課程中有很重要的應用。</p><p>　　性質(zhì)1 (線性性質(zhì)) 設，，，為兩個復常數(shù)，則</p><p>　　根據(jù)Fourier變換的定義，證明是很明顯的。</p><p>　　性質(zhì)2 (位移性

31、質(zhì)) 設，則</p><p>　　(1) ，(為實數(shù))</p><p>　　(2) ，(為實數(shù))</p><p>　　證明：(1)由Fourier變換的定義，</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p&g

32、t;<b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　(2) 由Fourier變換的定義，</p><p>　　注：在信號處理中，稱為連續(xù)信號，稱為是的頻譜。這樣，性質(zhì)2(1)就稱為時域上的位移性質(zhì)；性質(zhì)2(2)則稱為頻域上的位移性質(zhì)。</p><p>　　性質(zhì)3

33、(微分性質(zhì))</p><p>　　設在上存在，且在任何有限區(qū)間上除了有有限個第一類間斷點外連續(xù)。設，則；</p><p>　　設在上存在，且在任何有限區(qū)間上除了有有限個第一類間斷點外連續(xù)。設，則。</p><p>　　證明：(1) 由于()，故由分部積分法法得到</p><p><b>　　(2)由于</b></p

34、><p>　　故對上式兩邊同取Fourier變換，得到。</p><p>　　性質(zhì)4 (積分性質(zhì)) 設，。若，則</p><p>　　證明：由于在的連續(xù)點處由，且的間斷點是第一類的，不影響積分值，故</p><p><b>　　又因為</b></p><p><b>　　故可得到。</

35、b></p><p>　　性質(zhì)5 (卷積性質(zhì)) 設，則</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　(2) </b></p><p>　　證明：我們僅證明(1)，(2)的證明與(1)相類似。由卷積的Fourier變換的定義，</p><p>

36、;<b>　　(交換積分次序)</b></p><p><b>　　(由位移性質(zhì))</b></p><p>　　注：設，在上由定義。若廣義積分</p><p>　　收斂，則稱此積分為，在上的卷積，記為。</p><p>　　3 Fourier變換幾種重要變種</p><p>

37、　　本章選取了Fourier變換的兩種重要的變種——離散Fourier變換(DFT)和分數(shù)階Fourier變換(FRFT)作了重點的介紹。根據(jù)其應用的特點進行針對性的理論分析，主要是從定義和基本性質(zhì)兩方面進行重點分析。</p><p>　　3.1 有限長序列的Fourier分析</p><p>　　有時序列是有限長的，在這種特殊情況下可以推導出另一種Fourier表示，稱作離散Fourie

38、r變換(DFT)。離散Fourier變換除了作為有限長序列的一種Fourier變換表示式在理論上相當重要之外，且由于存在計算離散Fourier變換的有效快速算法——快速Fourier變換，因而在各種數(shù)字信號處理的算法中起核心作用。有限長序列的離散Fourier變換和周期序列的離散Fourier級數(shù)(DFS)本質(zhì)上是一樣的。為了更好的理解離散Fourier變換，需要討論離散Fourier級數(shù)。而為了討論離散Fourier級數(shù)與離散Four

39、ier變換，我們先回顧并討論關于Fourier變換的幾種可能形式。</p><p>　　連續(xù)時間、離散頻率——Fourier級數(shù)</p><p><b>　　(3-1)</b></p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　連續(xù)時間、連續(xù)頻率——Fourier變換</p&

40、gt;<p><b>　　(3-3)</b></p><p><b>　　(3-4)</b></p><p>　　離散時間、連續(xù)頻率——序列的Fourier變換</p><p><b>　　(3-5)</b></p><p><b>　　(3-6)<

41、;/b></p><p>　　離散時間、離散頻率——離散Fourier變換</p><p><b>　　(3-7)</b></p><p><b>　　(3-8)</b></p><p>　　3.2 離散Fourier級數(shù)(DFS)</p><p>　　為了便于更好地理

42、解DFT的概念，先討論周期序列及其離散Fourier級數(shù)(DFS)表示。</p><p>　　一個周期為N的周期序列，即，k為任意整數(shù)，N為周期。</p><p>　　周期序列不能進行Z變換，因為其在n=-到+都周而復始永不衰減，即Z平面上沒有收斂域。但是，正如連續(xù)時間周期信號可用Fourier級數(shù)表達，周期序列也可用離散的Fourier級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。<

43、/p><p>　　周期為N的正弦序列其基頻成分為：</p><p><b>　　K次諧波序列為：</b></p><p>　　但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)Fourier級數(shù)的不同之處，即</p><p><b>　　因此。</b></p><p>　　將周

44、期序列展成離散Fourier級數(shù)時，只需取k=0到(N-1)這N個獨立的諧波分量，所以一個周期序列的離散Fourier級數(shù)只需包含這N個復指數(shù)</p><p><b>　　(3-9)</b></p><p>　　利用正弦序列的周期性可求解系數(shù)。</p><p>　　將上式兩邊乘以，并對一個周期求和，得：</p><p>

45、<b>　　(3-10)</b></p><p><b>　　(3-11)</b></p><p>　　上式中[ ]部分顯然只有當k=r時才有值為1，其他任意k值時均為零，所以有</p><p><b>　　(3-12)</b></p><p>　　或者寫成 &

46、lt;/p><p>　　(1)可求N次諧波的系數(shù)</p><p>　　(2)也是一個由N個獨立諧波分量組成的Fourier級數(shù)</p><p>　　(3)為周期序列，周期為N</p><p>　　時域上周期序列的離散Fourier級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列。</p><p>　　是一個周期序列的離散Fourier級數(shù)(D

47、FS)變換對，這種對稱關系可表為：</p><p><b>　　(3-13)</b></p><p><b>　　(3-14)</b></p><p>　　習慣上記，則DFS變換對可寫為：</p><p><b>　　(3-15)</b></p><p>

48、;<b>　　(3-16)</b></p><p>　　DFS[·] ——離散Fourier級數(shù)變換</p><p>　　IDFS[·]——離散Fourier級數(shù)反變換。</p><p>　　DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，

49、所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。</p><p>　　3.3離散Fourier變換(DFT)</p><p>　　3.3.1離散Fourier變換(DFT)的定義</p><p>　　我們知道周期序列實際上只有有限個序列值有意義，因此它的許多特性可推廣到有限長序列上。</p><p&g

50、t;　　一個有限長序列x(n)，長為N</p><p>　　為了引用周期序列的概念，假定一個周期序列，它由長度為N的有限長序列x(n)延拓而成，它們的關系：</p><p><b>　　(3-17)</b></p><p>　　周期序列的主值區(qū)間與主值序列：</p><p>　　對于周期序列，定義其第一個周期，為的“主值

51、區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。</p><p>　　x(n)與的關系可描述為：</p><p>　　數(shù)學表示： (3-18)</p><p>　　為矩形序列，符號是余數(shù)運算表達式，表示n對N求余數(shù)。</p><p>　　3.3.2頻域上的主值區(qū)間與主值序列</p><p>

52、　　周期序列的離散Fourier級數(shù)也是一個周期序列，也可給它定義一個主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。</p><p>　　數(shù)學表示： (3-19)</p><p>　　再看周期序列的離散Fourier級數(shù)變換(DFS)公式：</p><p><b>　　(3-20)</b></p

53、><p><b>　　(3-21)</b></p><p>　　這兩個公式的求和都只限于主值區(qū)間()，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散Fourier變換定義。</p><p>　　長度為N的有限長序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個長度為N的有限長序列，它們的關系為：</p>

54、;<p><b>　　(3-22)</b></p><p><b>　　(3-23)</b></p><p>　　x(n)與X(k)是一個有限長序列離散Fourier變換對，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)，實際上x(n)與X(k)都是長度為N的序列(復序列)都有N個獨立值，因而具有等量的信

55、息。</p><p>　　3.3.3離散Fourier變換(DFT)的性質(zhì)[9]</p><p><b>　　1.線性性質(zhì)</b></p><p>　　如果和是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2，若</p><p>　　式中，a、b為任意常數(shù)，取，則的N點的DFT為</p><p>　　，

56、 (3-24)</p><p>　　式中，和分別為和的N點DFT。</p><p><b>　　2.循環(huán)移位性質(zhì)</b></p><p>　　(1)序列的循環(huán)移位</p><p>　　設為有限長序列，長度為N，則的循環(huán)移位定義為</p><p><b>　　(3-25)<

57、;/b></p><p>　　式(3-25)表明，將以N為周期進行周期延拓得到，再將左移m位得到的主值序列，則得到有限長序列的循環(huán)移位序列。及其循環(huán)移位過程如圖3-1所示。顯然仍是長度為N的有限長序列。由圖3-1可見，循環(huán)移位的實質(zhì)是將左移m位，而左移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進入主值區(qū)。</p><p>　　圖3-1 循環(huán)移位過程示意圖</p><p>　

58、　(2)時域循環(huán)移位定理</p><p>　　設是長度為N的有限長序列，為的循環(huán)移位，即</p><p>　　則 (3-26)</p><p>　　其中 </p><p><b>　　證明：</b></p><

59、;p><b>　　令，則有</b></p><p>　　由于上式中求和項以N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)，則得：</p><p>　　(3)頻域循環(huán)移位定理</p><p><b>　　如果，，，則</b></p><p><b>　　(3-

60、27)</b></p><p>　　式(3-27)的證明方法與時域循環(huán)定理相似，直接對進行IDFT即得證。</p><p>　　3.循環(huán)卷積定理[10]</p><p>　　有限長序列和長度分別為N1和N2，。和的N點DFT分別為</p><p><b>　　如果，則</b></p><p

61、><b>　　(3-28)</b></p><p><b>　　或者</b></p><p>　　一般稱式(3-28)所表示的運算為和的循環(huán)卷積。下面先證明式(3-28)，再說明其計算方法。</p><p>　　證明：直接對式(3-28)兩邊進行DFT</p><p><b>　　令

62、，則有</b></p><p>　　因為上式中以N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果不變。因此 </p><p>　　圖3-2 循環(huán)卷積過程示意圖</p><p>　　式(3-28)的循環(huán)卷積過程如圖3-2所示。循環(huán)卷積過程中，求和變量為m，n為參變量。首先將x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反轉(zhuǎn)形成x2((-m)

63、)N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱之為x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)。對x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列循環(huán)移位n，形成x2((n-m))NRN(m)，當n=0,1,…,N-1時，分別將x1(m)與x2((-m))NRN(m)相乘，并對m在0~N-1區(qū)間上求和，便得到x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積x(n)，如圖3-2(f)所示。</p><p>　　由于循環(huán)卷積過程中，要求對x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)和循環(huán)移位

64、，特別是兩個N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。顯然與一般的線性卷積不同，故稱為循環(huán)卷積，記為</p><p><b>　　由于 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　即循環(huán)卷積亦滿足交換律。</p><p>　　如果 <

65、/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　(3-29)</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　式中</b></p><p>　　相對于頻域循環(huán)卷積定理，稱式(3-28)為時域

66、循環(huán)卷積定理。</p><p>　　4.DFT的共軛對稱性[10]</p><p>　　(1)如果，由DFT的線性性質(zhì)可得</p><p><b>　　(3-30)</b></p><p>　　其中 的共軛對稱分量</p><p><b>　　的共軛反對稱分量</b

67、></p><p>　　(2)如果 </p><p><b>　　(3-31)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　綜上所述：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對稱分

68、量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j。</p><p>　　設x(n)是長度為N的實序列，且X(k)=DFT[x(n)]， 則</p><p>　　(1) X(k)共軛對稱，即</p><p>　　X(k)=X*(N-k)， (3-32)</p><

69、p>　　(2) 如果x(n)=x(N-n)，則X(k)實偶對稱，即</p><p>　　X(k)=X(N-k) (3-33)</p><p>　　(3) 如果x(n)= -x(N-n)，則X(k)純虛奇對稱，即</p><p>　　X(k)= -X(N-k)

70、 (3-34)</p><p>　　3.4 分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的定義和性質(zhì)</p><p>　　3.4.1 分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的定義[11]</p><p>　　相應于非負整數(shù)m=0,1,2,…，將Fourier變換對應的特征值寫成，同時，相應的標準化特征函數(shù)可以寫成</p><p><b>　

71、　(3-35)</b></p><p>　　也就是說，的Fourier變換恰好等于它自己與復數(shù)的乘積，標準化的含義是的等于1。式中表示第m個Hermite多項式，與m的遞推關系是</p><p>　　利用這些記號，V．Namias的分數(shù)階Fourier變換可以表示成Fourier變換標準化特征函數(shù)的無窮級數(shù)和形式</p><p>　　式中，m=0,1,2

72、,…，是冪次的分數(shù)階Fourier變換的特征值，組合系數(shù)是原始信號在Fourier變換的各個規(guī)范化特征函數(shù)上的正交投影。因為，分數(shù)階Fourier變換和Fourier變換具有完全相同的特征函數(shù)，而他們的特征值之間是冪次關系，所以，分數(shù)階Fourier變換是完全不同于Fourier變換的一種新的變換類，只有冪次取一些特殊的值比如1，5，9這樣的比4的整數(shù)倍多1的整數(shù)時，分數(shù)階Fourier變換才返回到經(jīng)典的Fourier變換。這就是V．N

73、amias的分數(shù)階Fourier變換的定義。</p><p>　　A．C．Mcbride和F．H．Kerr在1987年給出了V．Namias的分數(shù)階Fourier變換積分形式。具體的說，對信號空間中的任何信號，它的分數(shù)階Fourier變換可以寫成積分形式</p><p><b>　　(3-36)</b></p><p><b>　　其

74、積分核是</b></p><p>　　式中n是整數(shù)，α是分數(shù)階Fourier變換的冪次，可取任何實數(shù)。</p><p>　　A．W．Lohmann在1993年利用Fourier變換相當于在Wigner分布函數(shù)相空間中角度為π/2的旋轉(zhuǎn)這一性質(zhì)，說明分數(shù)階Fourier變換在Wigner分布函數(shù)相空間中相當于角度是απ/2的旋轉(zhuǎn)，這里α是分數(shù)階Fourier變換的階。具體地，根據(jù)

75、Wigner分布函數(shù)的定義[12]</p><p><b>　　可以直接驗證</b></p><p>　　這里F表示函數(shù)f(x)的Fourier變換。因此，A．W．Lohmann定義α階的分數(shù)階Fourier變換為</p><p>　　式中矩陣R(α)是時-頻相平面x-ω上角度為(απ/2)的旋轉(zhuǎn)矩陣</p><p>　

76、　實際上，分數(shù)階Fourier變換的這三種定義在數(shù)學上是等價的。當分數(shù)階Fourier變換的冪次α從0連續(xù)增長到達1時，分數(shù)階Fourier變換的結(jié)果相應地從原始信號的純時間(空間)形式開始逐漸變化成為它的純頻域(譜)形式，冪次α在0到1之間的任何時刻對應的分數(shù)階Fourier變換采取了介乎于時(空)域和頻域的之間的一個過渡域形式，形成一個既包含時(空)域信息同時也包含頻(譜)域信息的混合信號。因此，這樣定義的分數(shù)階Fourier變換確

77、實是一個時(空)-頻描述和分析工具。</p><p>　　3.4.2 分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的性質(zhì)[2]</p><p>　　時頻域通常用一個平面和兩個分別表示時間和頻率的正交軸來表示。如圖3-3(Φ=απ/2)，我們可以把Fourier變換算子F看作是時間信號沿著時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)π/2的變換。重復進行該變換，可以得到與以上一致的結(jié)論：FF(t)=x(-t)，即沿著時間軸t連

78、續(xù)進行兩次角度為π/2的旋轉(zhuǎn)，結(jié)果是與時間軸的負方向重合。對應于FRFT算子，可以看作是時間信號沿著時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)απ/2的變換。</p><p>　　圖3-3 FRFT的時-頻分布</p><p>　　根據(jù)FRFT的定義，容易看到FRFT具有以下性質(zhì)(用表示FRFT算子，其中Φ=απ/2，F(xiàn)為Fourier變換算子，I為恒等算子)：</p><p>　　(1)零

79、旋轉(zhuǎn)： (3-37)</p><p>　　(2)與Fourier變換的一致性： (3-38)</p><p>　　(3)旋轉(zhuǎn)可加性： (3-39)&l

80、t;/p><p>　　(4)2π旋轉(zhuǎn)： (3-40)</p><p>　　FRFT的積分核，對應式(3-37)~ (3-40)具有類似的表達形式。注意：該積分核對于Φ=απ/2在普遍意義下是連續(xù)的，尤其對于π的整數(shù)倍而言有，積分核的性質(zhì)：</p><p>　　可見FRFT是一

81、個線性變換，關于角Φ連續(xù)，并且在時頻平面上滿足基本的旋轉(zhuǎn)條件。</p><p>　　4 Fourier變換的應用案例研究</p><p>　　前兩章我們對Fourier變換的定義、性質(zhì)以及Fourier變換的一些重要變種作了比較深入的研究和探討，對Fourier變換的基礎理論有了比較直觀和全面的了解。在此基礎上，我們將在這一章對Fourier變換的一些應用案例進行探討與分析。</p&

82、gt;<p>　　4.1離散Fourier變換(DFT)的應用分析</p><p>　　DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語音信號處理、圖象處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。</p><p>　　然而，各種應用一般都以卷積和相關運算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎。&l

83、t;/p><p>　　4.1.1 用DFT計算線性卷積</p><p>　　本節(jié)介紹用DFT計算卷積和相關系數(shù)的基礎原理以及用DFT對連續(xù)信號和序列進行譜分析等最基本的應用。只要掌握了這兩種基本應用的原理，就為用DFT解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎。</p><p><b>　　如果</b></p><p><

84、b>　　且</b></p><p>　　則由時域循環(huán)卷積定理有</p><p>　　由此可見，循環(huán)卷積既可在時域直接計算，也可以按照圖4-1所示的計算框圖在頻域計算。由于DFT有快速算法FFT，當N很大時在頻域計算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。</p><p>　　在實際應用中，為了分析時域離散線性非時變系統(tǒng)或者對序列進行濾波

85、處理等，需要計算兩個序列的線性卷積。和計算循環(huán)卷積一樣，為了提高運算速度，也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。而DFT只能用來計算循環(huán)卷積，為此導出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積和線性卷積相等的條件。</p><p>　　圖4-1 用DFT計算循環(huán)卷積</p><p>　　假設h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M，它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：</p

86、><p><b>　　(4-1)</b></p><p><b>　　(4-2)</b></p><p><b>　　其中，，，所以</b></p><p>　　對照式(4-1)可以看出，上式中</p><p><b>　　即</b>&

87、lt;/p><p><b>　　(4-3)</b></p><p>　　式(4-3)說明，yc(n)等于y1(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。已知y1(n)長度為N+M-1，因此只有當循環(huán)卷積長度時，y1(n)以L為周期進行周期延拓才出現(xiàn)混疊，此時取主值序列顯然滿足yc(n)= y1(n)。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是。圖4-2中畫出了h(n)、x(n)

88、、和L分別取6、8、10時的波形。由于h(n)長度N=4，x(n)長度M=4，N+M-1=8， 所以只有時，的波形才與相同。</p><p>　　圖4-2 線性卷積和循環(huán)卷積</p><p>　　如果取L=N+M-1，則可用DFT(FFT)計算線性卷積，計算框圖如圖4-3所示，其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)來實現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。</p><p>

89、　　圖4-3 用DFT計算線性卷積框圖</p><p>　　實際上，經(jīng)常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如M>>N時。如選取L=N+M-1，以L為運算區(qū)間，用上述快速卷積法計算線性卷積，則要求對短序列補很多零點，長序列全部輸入后才能進行快速計算。因而要求存儲容量很大，運算時間長，很難實時處理。況且在某些場合，序列長度不定或者認為是無限長，如語音信號或者地震信號等。所以在要求實時處理時，直接套用上述

90、方法是不行的。解決這個問題的方法是將長序列分段處理計算。這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。這里只介紹重疊相加法。</p><p>　　設序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。將均勻分段，每段長度取M，則</p><p>　　式中 </p><p>　　于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為</p>

91、<p><b>　　(4-4)</b></p><p>　　式中 </p><p>　　式(4-4)說明，計算h(n)與x(n)的線性卷積時，可先進行分段線性卷積yk(n)=h(n)* xk(n)，然后再把分段卷積結(jié)果yk(n)疊加起來即可，如圖4-4所示。每一分段卷積yk(n)的長度為N+M-1，因此yk(n)與

92、yk+1(n)有N-1個點重疊，必須把重疊部分的yk(n)與yk+1(n)相加，才能得到完整的卷積序列y(n)。顯然可用快速卷積計算分段卷積，快速卷積的計算區(qū)間L=N+M-1。由圖4-4可見，當?shù)诙€分段卷積y1(n)計算完后，疊加重疊點便可得到輸出序列y(n)的前2M個值；同樣道理，分段卷積yi(n)計算完后，就可得到y(tǒng)(n)的第i段的M個序列值。從而使存儲容量小，且運算量和延時也大大減少。</p><p>　

93、　圖4-4 重疊相加法卷積示意圖</p><p>　　4.1.2 DFT在無創(chuàng)測溫中的應用</p><p>　　近年來，國內(nèi)外對超聲測溫已經(jīng)提出了幾種方法，如透射法、反射法、非線性聲參量法、B超圖像法等。透射法是利用超聲波在傳播過程中的非線性效應所產(chǎn)生的相位移動量隨溫度的變化關系進行無損測溫的。由于透射法是收發(fā)分體式的，使用不方便，且受到生物體體積大小、體位等制約，精度不高，臨床應用不方便

94、。反射法是通過分析超聲散射信號在時域、頻域或能量域的變化來提取生物組織的溫度信息。基于時移的超聲無損測溫法要求對回波脈沖進行精確測定，基于頻移的無損測溫技術隨溫度的變化不明顯。生物組織中由于衰減系數(shù)和聲速隨溫度變化而引起的散射聲功率的變化，基于散射聲功率法可以克服這些缺點，但空間分辨率較差。盧瑩等[13]對非線性聲參量無損測溫進行了研究，并通過實驗找到了豬肌肉組織和豬肝組織的溫度和非線性聲參量的關系。侯珍秀等[14]提出利用超聲圖像的灰

95、度變化來測定豬肉組織的溫度，并通過實驗的方法總結(jié)出了溫度變化與超聲圖像灰度變化的非線性關系。</p><p>　　文獻[15]采用二維離散Fourier變換直流分量法進行無創(chuàng)測溫。該算法能較好地將反應溫度的信息和噪聲信息區(qū)分開來。實驗中得到了較好的結(jié)果，為超聲治療提供了有效的溫度監(jiān)控信息。</p><p>　　圖像經(jīng)數(shù)字化處理后，可以用二維的離散信號。對于二維離散信號，其離散Fourier

96、變換定義為</p><p><b>　　(4-5)</b></p><p>　　式中，稱為空間頻率。</p><p><b>　　反變換定義為</b></p><p><b>　　(4-6)</b></p><p><b>　　式中，。<

97、/b></p><p>　　設f(m,n)是一個能量有限的模擬信號，則其Fourier變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學意義來看，F(xiàn)ourier變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，F(xiàn)ourier變換是將圖像從空間域變換到頻率域。換而言之，F(xiàn)ourier變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為頻率分布函數(shù)。Fourier變換可以得出信號在各個頻率點上的強度。圖像處理時，一般選取圖像塊為N

98、×N的方陣，即M=N時取，這時二維Fourier變換為：</p><p><b>　　(4-7)</b></p><p><b>　　反變換為</b></p><p><b>　　(4-8)</b></p><p>　　可以看出，當u,v=0時，=1， 即F(0,0)

99、表示信號f(m，n)在變換系數(shù)中的直流分量，當u和v不等于0時，F(xiàn)(u,v)表示在不同頻率上的能量大小。在超聲無創(chuàng)測溫中，作為固定頻率的超聲診斷儀，當被掃描組織類型一定時，超聲波的衰減將隨組織溫度的升高而減小，超聲圖像所對應的Fourier變換直流分量值將增加，基于以上原理可以將Fourier變換作為超聲無創(chuàng)測溫的一種方法。溫度變化時，直接相關的是超聲圖像的灰度變化，但像素的灰度除了體現(xiàn)溫度(能量)的變化外，還包括了其它一些信息，這些信

100、息不能體現(xiàn)溫度的變化關系，反而會影響溫度的標定。而在Fourier變換中，可以將反應溫度的信息(u=v=0時)和其它細節(jié)方面的信息(u和v不為0時)區(qū)分開來，這有利于對溫度的標定。</p><p>　　在圖4-5所示裝置上采用新鮮離體豬肌肉組織進行實驗。測量范圍為37℃-75℃。利用圖像采集系統(tǒng)記錄了不同溫度時的超聲圖像和對應的溫度值。在實驗中，以超聲焦域處為中心截取了64×64的圖像作為數(shù)據(jù)處理對象。

101、在不同的組織，不同的情況下所采集到的超聲圖像是有差別的，為了消除該差別，在處理實驗數(shù)據(jù)時，采用差圖像進行了灰度統(tǒng)計和二維離散Fourier變換，差圖像是指某溫度所對應的圖像和37℃所對應圖像的差值。</p><p>　　圖4-5 實驗環(huán)境示意圖</p><p>　　為了體現(xiàn)文獻[15]所提方法的有效性，文獻[15]將灰度統(tǒng)計法和二維離散Fourier變換直流分量法的結(jié)果進行比較。超聲圖像中

102、的灰度是隨溫度的變化而變化的，它也能反映溫度變化的一些規(guī)律，可以通過統(tǒng)計差圖像的灰度平均值來測定溫度。文獻[15]實驗結(jié)果是在Matlab6.5下編程得到的，在Matlab6.5環(huán)境下編程得到圖像的特征數(shù)據(jù)，如差圖像的灰度平均值，差圖像的離散Fourier變換直流分量值，為減小誤差，本研究均采用離散Fourier變換直流分量值的平方根值(見圖4-6)。</p><p>　　圖4-6兩組實驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果(*表示實驗

103、數(shù)據(jù)，直線為線性擬合結(jié)果)</p><p>　　圖4-7顯示了分別采用離散Fourier變換直流分量法和灰度平均值法，對4次實驗數(shù)據(jù)進行綜合分析的結(jié)果。在圖4-7中，除了進一步驗證了單組實驗數(shù)據(jù)分析的結(jié)論外，還可以發(fā)現(xiàn)，當采用灰度平均值作為測量手段時，溫度在40℃-65℃之間，4次實驗數(shù)據(jù)尚能較好的擬合，但溫度大于65℃時，4次實驗的結(jié)果發(fā)散現(xiàn)象比較嚴重，無法利用灰度平均值法進行測溫。當采用差圖像的離散Fouri

104、er變換直流分量法作為測量手段時，文獻[15]的測量范圍內(nèi)均能較好地擬合，可以作為測溫的手段。</p><p>　　差圖像的離散Fourier變換的直流分量法和差圖像的灰度平均值法均可以作為高強度超聲聚焦刀(HIFU)無創(chuàng)測溫的手段，但采用離散Fourier變換直流分量法進行無創(chuàng)測溫的能力要比采用灰度平均值法強。采用離散Fourier變換直流分量法的優(yōu)勢如下：</p><p>　　(1)隨

105、著溫度的升高，其超聲差圖像的離散Fourier變換直流分量值呈近似線性遞增，線性擬合的相對誤差比較小。</p><p>　　(2)離散Fourier變換直流分量法對溫度的分辨能力比灰度平均值法要強。</p><p>　　(3)采用灰度平均值法在溫度大于65℃時，每次實驗的結(jié)果呈發(fā)散狀態(tài)，無法找到灰度變化和溫度變化之間的關系。在實驗測量的溫度范圍內(nèi)，采用離散Fourier變換直流分量法均能用

106、直線比較好地擬合。</p><p>　　圖4-7綜合實驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果(*、◇ 、+、○分別表示4次不同的實驗數(shù)據(jù)，直線為線性擬合結(jié)果)</p><p>　　4.2分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的應用分析</p><p>　　分數(shù)階Fourier變換的數(shù)學概念最早由Condon[16]提出,Bargmann[17]進一步發(fā)展了這些概念。Namis[18]則注意到

107、分數(shù)Fourier變換作為處理物理問題的數(shù)學工具的重要意義。他對FRFT的定義、性質(zhì)和變換的本征函數(shù)進行了系統(tǒng)的討論，而且成功地用其處理了諸多的量子力學的問題。90年代初Lohmann[19]提出分數(shù)Fourier變換的光學實現(xiàn)方法則將其引入了光學信息處理領域。目前，在電子信號處理和相干光學中，分數(shù)Fourier變換已得到了相當?shù)闹匾暫蛻肹20]。</p><p>　　4.2.1信號處理中的應用</p&g

108、t;<p>　　分數(shù)階Fourier變換是對經(jīng)典Fourier變換的推廣。最早由Namias以數(shù)學形式提出，并很快在光學領域得到了廣泛應用。而其在信號處理領域的潛力直到20世紀90年代中期才逐漸得到發(fā)掘。盡管分數(shù)階Fourier變換的定義式直觀上看僅是chirp基分解，而實質(zhì)上分數(shù)階Fourier變換更具有時頻旋轉(zhuǎn)的特性，它是一種統(tǒng)一的時頻變換，隨著變換階數(shù)從0連續(xù)增長到1而展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有特征。此處從

109、信號處理的角度對分數(shù)階Fourier變換的研究進展作全面的總結(jié)和系統(tǒng)的歸納，力圖將分數(shù)階Fourier變換從定義到應用的全程都清晰地刻畫出來。</p><p><b>　　信號檢測和參數(shù)估計</b></p><p>　　由于分數(shù)階Fourier變換可以理解為chirp基分解，因此分數(shù)階Fourier變換特別適合于處理chirp類信號。利用線性調(diào)頻(LFM)信號在不同階

110、數(shù)的分數(shù)階Fourier域呈現(xiàn)出不同的能量聚集性的特性，通過在分數(shù)階Fourier域作峰值二維搜索就可以實現(xiàn)對LFM信號的檢測和參數(shù)估計?；谶@一思想，文獻[21]提出了一種多分量LFM信號的檢測和參數(shù)估計算法，考慮到搜索的優(yōu)化問題和多分量信號問的相互影響，可以采用擬Newton法和引入峰值遮隔的級聯(lián)處理方式來提高算法效率和處理多分量，誤差分析和仿真結(jié)果都表明了該估計是漸進無偏和漸進有效的。</p><p>&l

111、t;b>　　相位恢復及信號重構(gòu)</b></p><p>　　如果已知某信號兩次不同階數(shù)的分數(shù)階Fourier變換模，那么就可以重構(gòu)出該信號，而只會相差一個常數(shù)相位項(原因在于只相差一個常數(shù)相位項的兩個函數(shù)的同一階數(shù)分數(shù)階Fourier變換將具有相同的模)。目前主要存在迭代和非迭代兩種類型。非迭代法利用分數(shù)階Fourier變換與時頻分布的關系，通過求相位的瞬時變化率來恢復相位信息、重構(gòu)信號。利用分

112、數(shù)階Fourier變換與模糊函數(shù)的關系，F(xiàn)α(ω)的瞬時相位變化率離散形式可以寫成：</p><p><b>　　(4-9)</b></p><p>　　其中，*n表示離散卷積算子，，這就需要σ足夠小。當恢復出相位信息后就能夠重構(gòu)信號</p><p><b>　　(4-10)</b></p><p>

113、;　　M需滿足，。迭代法主要有Gerchberg-Saxton算法，該算法通過多次迭代來得到或者：首先給賦予初始相位來構(gòu)造，然后做2σ階分數(shù)階Fourier變換得到，再將代入得到，通過-2σ階Fourier變換，可以得到，這樣不斷迭代下去，就得到了，當滿足下式時，則迭代終止，得到估計值。</p><p><b>　　(4-11)</b></p><p>　　其中me為

114、預先確定的最大誤差。對估計值或者作相應的分數(shù)階Fourier反變換就可以重構(gòu)原時域信號[22]。該迭代法與前述的非迭代法不同的是，它恰恰適用于σ較大的情況，尤其是兩次分數(shù)階Fourier變換“正交”時(即σ=0.5)，重構(gòu)誤差最小。</p><p><b>　　濾波</b></p><p>　　將傳統(tǒng)頻域的乘性濾波器推廣到分數(shù)階Fourier域，就得到了分數(shù)階Four

115、ier域乘性濾波器：</p><p><b>　　(4-12)</b></p><p>　　其中Hα(ω)為α階分數(shù)階Fourier域傳遞函數(shù)。通過設計不同的Hα(ω)可以得到不同類型的濾波器，文獻[23]所提出的掃頻濾波器就是分數(shù)階Fourier域帶通濾波器的時域表現(xiàn)形式[24]。乘性濾波具有較好效果的前提條件是信號與噪聲變換到某階分數(shù)階Fourier域后能夠完全或

116、大部分分離開。如果一次變換不能達到目的，可以考慮級聯(lián)多次不同階數(shù)分數(shù)階Fourier域乘性濾波來實現(xiàn)。由分數(shù)階Fourier變換與時頻分布的關系，我們可以知道乘性濾波需要信號與噪聲時頻分布無耦合或小部分耦合，如果信號與噪聲的時頻分布不滿足上述條件，那么乘性濾波的方法將得到好的效果。</p><p>　　文獻[25]給出了最小均方誤差準則下的分數(shù)階Fourier域最優(yōu)濾波算法，該算法具有更好的普適性。假定已知：(1