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1、<p><b> 摘要</b></p><p><b> 摘要</b></p><p> 本文運(yùn)用泛函分析、算子理論和半群理論等現(xiàn)代分析方法,研究了種群細(xì)</p><p> 胞增生中具一般邊界(含積分邊界,局部和非局部邊界等)條件的L-R模型和</p><p> ?。遥铮簦澹睿猓澹?/p>
2、g模型的遷移方程,獲得了該方程解的構(gòu)造性理論和相應(yīng)的遷移算子</p><p> 的譜分析等一系列新結(jié)果。主要結(jié)果敘述如下:</p><p> 一、對(duì)種群細(xì)胞增生中具一般邊界條件的L—R模型的遷移方程,研究了其相</p><p> 應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生的Cn半群是不可約的,并且</p><p> ?。保畬?duì)厶空問中一類具積分邊界條件的L-R模型
3、的遷移方程,在邊界算子為</p><p> 緊正的條件下,證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果;</p><p> ?。玻畬?duì)L。(1≤P<∞)空間中一類具一般邊界條件的L-R模型遷移方程,在邊</p><p> 界算子為有界正的條件下,證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果;</p><p> ?。常畬?duì)厶空間中一類具一般邊界條件的L-R模型
4、遷移方程,在邊界算子為有</p><p> 界正的條件下,證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。</p><p> 二、對(duì)種群細(xì)胞增生中具一般邊界條件的Rot.enberg模型的遷移方程,研</p><p> 究了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生的C0半群是不可約的,并且</p><p> ?。保畬?duì)厶空間中一類具積分邊界條件的Rotenberg
5、模型的遷移方程,在邊界</p><p> 算子為緊正的條件下,證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果;</p><p> 2.對(duì)L。(1≤P<∞)空間中一類具一般邊界條件的Rotenberg模型的遷移方</p><p> 程,在邊界算子為有界正的條件下,證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果;</p><p> 3.對(duì)厶空間中一類具一般邊
6、界條件的Rotenberg模型的遷移方程,在邊界</p><p> 算子為有界正的條件下,證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。</p><p> 關(guān)鍵詞:種群細(xì)胞增生;遷移方程;Rotenberg模型;L—R模型;不可約C。半群;</p><p><b> 本征值;占優(yōu)本征值</b></p><p><
7、b> ?。粒猓螅簦颍幔悖?lt;/b></p><p><b> ?。粒拢樱裕遥粒茫?lt;/b></p><p> ?。桑?this paper’using functional analysis,operator theory,semigroup</p><p> ?。簦瑁澹铮颍?,and</p><p> ?。?/p>
8、ther modem</p><p> ?。幔睿幔欤簦椋悖幔?lt;/p><p> ?。恚澹簦瑁铮洌螅鳎?will study</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> transport equation of L-R's model</p><p> ?。幔睿?Rotenbe
9、rg's model arising in the growing cell populations</p><p><b> ?。鳎椋簦?lt;/b></p><p> general boundary</p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿螅ǎ椋睿悖欤酰洌椋睿?lt;/p><p><b> ?。椋睿簦澹纾颍幔?l
10、t;/b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b></p><p> condition,local</p><p><b> ?。幔睿?lt;/b></p><p><b> non-local</b></p><p><b&g
11、t; ?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b></p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿螅?,and</p><p><b> ?。鳎?obtain</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> ?。螅澹颍椋澹?of new results</p><p>&
12、lt;b> as</b></p><p> ?。簦瑁?constractive</p><p><b> ?。簦瑁澹铮颍?lt;/b></p><p><b> ?。铮?the</b></p><p> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?equations’solution</p>
13、<p><b> and</b></p><p> ?。簦瑁?spectral analysis of the corresponding</p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> ?。铮穑澹颍幔簦铮颍?and</p><p><b> ?。樱?
14、lt;/b></p><p> ?。铮?。The main results</p><p> m foUowing.-</p><p> ?。疲椋颍螅簦妫铮?the</p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> ?。澹瘢酰幔簦椋铮?of L-R’S model
15、arising in</p><p> growing cell populations</p><p> ?。鳎椋簦?general</p><p> ?。猓铮酰睿洌幔颍?conditions,we</p><p> ?。鳎椋欤?study that</p><p><b> ?。茫?lt;/b>&
16、lt;/p><p> ?。螅澹恚椋纾颍铮酰?generated by the</p><p> ?。悖铮颍颍澹螅穑铮睿洌椋睿?transport叩erator is</p><p> irreducible,moreover,we will discuss</p><p> ?。保妫铮?the transport equation of L-
17、R’s</p><p> ?。恚铮洌澹?with</p><p> ?。椋睿簦澹纾颍幔?boundary conditions in</p><p> ‘space,under the</p><p> conditions of the boundary operator being compact</p><p&g
18、t;<b> and</b></p><p><b> ?。穑铮螅椋簦椋觯?,</b></p><p> ?。簦瑁?existence of the transport operator's eigenvalue will be proved;</p><p><b> ?。玻妫铮?the</b>&
19、lt;/p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> equaffon of L-R's</p><p><b> ?。恚铮洌澹?lt;/b></p><p> with general boundary conditions in</p><p> ?。蹋?/p>
20、1s P《∞)space,under the</p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?of the</p><p> boundary operator</p><p><b> ?。猓澹椋睿?lt;/b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌澹?lt;/b></p><p>&
21、lt;b> ?。幔睿?lt;/b></p><p> positive,the existence of the transport operator’S eigenvalue will be proved;</p><p> ?。常妫铮?the transport equation of L-R's</p><p><b> ?。恚铮洌澹?/p>
22、</b></p><p> ?。鳎椋簦?general</p><p><b> boundary</b></p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?in</p><p> 如space,under</p><p> ?。簦瑁?condition of the boundary o
23、perator being bounded</p><p><b> ?。幔睿?lt;/b></p><p><b> ?。穑铮螅椋簦椋觯澹?lt;/b></p><p> ?。簦瑁?existence of the transport operator’S dominant eigenvalue will be proved.<
24、;/p><p> ?。樱澹悖铮睿?,for the</p><p><b> transport</b></p><p> ?。澹瘢酰幔簦椋铮?of Rotenberg’S model arising in growing cell</p><p> populations</p><p><
25、b> ?。鳎椋簦?lt;/b></p><p><b> general</b></p><p> ?。猓铮酰睿洌幔颍?condition,we</p><p><b> will</b></p><p> ?。螅簦酰洌?that</p><p><b&
26、gt; ?。茫?lt;/b></p><p><b> ?。螅澹恚椋纾颍铮酰?lt;/b></p><p> generated by the corresponding</p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> ?。铮穑澹颍幔簦铮?is irreducible,m
27、oreover,we</p><p><b> ?。鳎椋欤?lt;/b></p><p><b> discuss</b></p><p><b> ?。保妫铮?lt;/b></p><p><b> ?。簦瑁?lt;/b></p><p>&l
28、t;b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p><b> ?。澹瘢酰幔簦椋铮?lt;/b></p><p><b> ?。铮?lt;/b></p><p> ?。遥铮簦澹睿猓澹颍纾В?lt;/p><p><b> model</b></p><p
29、><b> ?。鳎椋簦?lt;/b></p><p><b> ?。椋睿簦澹纾颍幔?lt;/b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b></p><p> conditions</p><p> ?。椋钲蹋螅穑幔悖?,under</p><p>
30、<b> ?。簦瑁?lt;/b></p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?lt;/p><p><b> of the</b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b></p><p> ?。铮穑澹颍幔簦铮?being compact</p><p>
31、; ?。幔睿?positive,the existence of the</p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> operator’S eigenvalu毛will be proved;</p><p> ?。玻妫铮?the transport</p><p><b>
32、equation</b></p><p><b> ?。铮?lt;/b></p><p> ?。遥铮簦澹睿猓澹颍纭?lt;/p><p><b> model</b></p><p><b> ?。鳎椋簦?lt;/b></p><p><b>
33、 general</b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b></p><p><b> 玎</b></p><p><b> Abstract</b></p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?lt;/p><p><b
34、> ?。椋?lt;/b></p><p> ?。獭#ǎ保?P‘∞)space,under</p><p> ?。簦瑁?conditions</p><p> of the boundary operator</p><p> ?。猓澹椋睿?bounded and positive,the existence of the<
35、/p><p><b> ?。穑颍铮觯澹?;</b></p><p><b> transport</b></p><p> ?。铮穑澹颍幔簦铮颍В?eigenvalue will be</p><p><b> ?。常妫铮?lt;/b></p><p><
36、b> ?。簦瑁?lt;/b></p><p> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?equation</p><p><b> ?。铮?lt;/b></p><p> ?。遥铮簦澹睿猓澹颍纾В?model</p><p><b> ?。鳎椋簦?lt;/b></p><p><b>
37、; ?。纾幔睿澹颍幔?lt;/b></p><p><b> boundary</b></p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?in厶space,under the</p><p> ?。悖铮睿洌椋簦椋铮?of the</p><p><b> boundary</b></p>
38、;<p><b> ?。铮穑澹颍幔簦铮?lt;/b></p><p><b> being</b></p><p><b> ?。猓铮酰睿洌澹?lt;/b></p><p><b> ?。幔睿?lt;/b></p><p> ?。穑铮螅椋簦椋觯澹簦瑁?ex
39、istence</p><p><b> ?。铮?the</b></p><p><b> ?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b></p><p> operator’s dominant</p><p> ?。澹椋纾幔睿觯幔欤酰?lt;/p><p><b> will be
40、</b></p><p><b> ?。穑颍铮觯澹洌?lt;/b></p><p> ?。耍澹?words:growing cell populations,transport equation,Rotenberg's model,L-R's</p><p> ?。恚铮洌澹欤簦瑁?irreducible co semigroup,eig
41、envaluo,dominant eigenvalue</p><p><b> 111</b></p><p><b> 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明</b></p><p> 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工</p><p> 作及取得的研究成果。據(jù)我所知,除了文中特別加以標(biāo)
42、注和致謝的地</p><p> 方外,論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果,也不包含</p><p> 為獲得直昌太堂或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書雨使用過的材料。與</p><p> 我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確</p><p><b> 的說(shuō)明并表示謝意。</b></p
43、><p> 學(xué)位論文作者簽名(手寫):箱杰另簽字日期:叼年J≯月7日</p><p> 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書</p><p> 本學(xué)位論文作者完全了解直昌盔堂有關(guān)保留、使用學(xué)位論文</p><p> 的規(guī)定,有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁</p><p> 盤,允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)
44、直昌太堂可以將學(xué)位論文的全</p><p> 部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索,可以采用影印、縮印或掃描</p><p> 等復(fù)制手段保存、匯編本學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究</p><p> 所將本學(xué)位論文收錄到《oe國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)》,并通過網(wǎng)絡(luò)向</p><p> 社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。</p>&
45、lt;p> ?。ūC艿膶W(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書)</p><p> 學(xué)位論文作者簽名:鋪玄芳</p><p><b> 導(dǎo)師簽名:</b></p><p><b> 王l拽坼</b></p><p> 簽字日期:糾年J胡矽日</p><p> 簽字日期:矽
46、矽年瞼月>1-日</p><p><b> 第1章引言</b></p><p><b> 第1章引言</b></p><p> 遷移理論是研究物質(zhì)的粒子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的微觀效應(yīng)綜合所致的宏觀遷移現(xiàn)</p><p> 象規(guī)律的一種理論,它的精確數(shù)學(xué)表示是積分一微分型的遷移方程。它涉及到</p
47、><p> 物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)和社會(huì)科學(xué)等眾多學(xué)科。另一方面,各類遷移</p><p> 方程的結(jié)構(gòu)形式雷同,并在一定的條件下可以相互滲透和轉(zhuǎn)化.這說(shuō)明脫離特</p><p> 定的對(duì)象來(lái)研究這類方程的一般數(shù)學(xué)理論是十分重要的,僅就線性遷移方程而</p><p> 言,它所確定的遷移算子是一類無(wú)界、非自伴和豫解算子不緊的積一微分
48、算子</p><p> 【圳。因此,研究這類算子不僅在應(yīng)用上十分重要而且對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展也有著</p><p><b> 非常重要的意義。</b></p><p> 從七十年代起,國(guó)際上有許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)種群細(xì)胞增生的遷移方程進(jìn)-</p><p> 行了研究,種群細(xì)胞的出生和分裂過程是一個(gè)遷移方程,開始人們只研
49、究這類</p><p> 遷移方程的初值問題解的存在性和唯一性問題,進(jìn)而研究其解的漸近穩(wěn)定性等。</p><p> ?。保梗罚茨辏蹋澹猓铮鳎椋簦停遥酰猓椋睿铮魇状翁岢隽朔N群細(xì)胞增生的初值問題,它的數(shù)</p><p> 學(xué)表示是一類微分型的遷移方程。簡(jiǎn)稱為L—R模型嗍。</p><p> ?。保梗福?、1983年M.Rotenberg提出了
50、另一類種群細(xì)胞增生的遷移方程,它的數(shù)</p><p> 學(xué)表示是一類積一微分型的遷移方程,簡(jiǎn)稱為Rotenberg模型。并討論了該遷移</p><p> 方程的Fokker-Plank的近似,獲得了其可數(shù)解階l。</p><p> ?。保梗福丁ⅲ保梗福纺辏祝澹猓庋芯苛耍蹋夷P?,在連續(xù)函數(shù)空間分析了遷移算子以</p><p> 的譜孤町
51、。1987年Van</p><p><b> ?。洌澹?lt;/b></p><p> ?。停澹搴停冢鳎澹椋妫澹煅芯苛耍遥铮簦澹睿猓澹颍缒P?,利用本征函數(shù)</p><p> 展開的方法,分析了各種邊界條件下的譜的性質(zhì),獲得了其可析解“哪。1997年</p><p> Latrach和Mokhtar—Kharroubi研究了
52、具一般邊界條件的o.R模型,在厶空間</p><p> 中證明了相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正co半群,并給出其c0半群不可約的充分條件。</p><p> 接著,在工。(1墨Ptm)空間中對(duì)光滑(或部分光滑)的邊界條件,給出了d似口)</p><p> 至多由有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值構(gòu)成n11。1999年Latrach和Jeribi研究了</p><
53、;p> ?。獭#ǎ保?P<+∞)空間中Rotenberg模型的非線性邊界值問題,在假設(shè):</p><p><b> ,</b></p><p> 盯(∥,v)-0,r(∥,V,v:妒(.£l,v。))-k(/,,v,v’),(p,V,妒(p,y’))</p><p> 的條件下考慮解的存在性,并對(duì)方程邊界值問題的局部解和全局解的存在
54、性給</p><p><b> 第1章引言</b></p><p> 出了充分條件“4。2000年Boulanouar和Emamirad研究了LI空間中具積分邊界</p><p> 條件的Rotenberg模型的遷移方程,在最小成熟速度為0的條件下,證明了半群</p><p> 的非緊性,得到了解的漸近展開式,并
55、在邊界算子不可約的條件下或?qū)耍蜻M(jìn)行</p><p> 適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下得出了半群的不可約性,也證明了半群漸近收斂于階為1的投影算</p><p> 子”。2001年Boulanouar研究了工。(1墨P<∞)空間中具一般邊界條件的工廣.R模</p><p> 型,在最小周長(zhǎng)大于0的條件下,得出了:若邊界算子是緊的,則c0半群也是緊</p><
56、p> 的結(jié)論“”。2002年Boulanouar在厶空間中研究了具非局部邊界條件下的</p><p> Rotenberg模型的遷移方程,得到了其生成半群的正性及不可約性,并計(jì)算了它</p><p> 的本質(zhì)譜型,在一致拓?fù)湎芦@得了半群的漸近性o”。200z年B.bds和M.Mokhtar</p><p> ?。耍瑁幔睿铮酰猓樵冢蹋ǎ保?p《+m)
57、空間中研究了具非局部邊界條件的b_R模型,在最</p><p> 小周長(zhǎng)為0的假設(shè)下,獲得了半群的Dyson.Phillip展開式,得到了解的漸近展</p><p> 開式;在積分邊界條件下,給出了遷移算子的譜“”。2003年Latrach在厶空間</p><p> 中研究了Rotenberg模型的非線性邊界值闖題,把文獻(xiàn)[12]中盯(/Z,v)一0的條件&l
58、t;/p><p> 延拓到盯(肛,v,妒(/J,l,))一盯(Ⅳ,',№(肛,v),也考慮了解的存在性問題m1。2003年</p><p> Jefibi研究了厶空間中具積分邊界條件的Rotenberg模型,給出了streaming算子</p><p> 的譜分析,特別地,在邊界算子是嚴(yán)格正的條件下,證明了半群是不可約的“”。</p><p&g
59、t; 2005年,他繼續(xù)在工。(1sPcm)空間中研究了具一般邊界條件的Rotenberg模型,</p><p> 證明了若邊界算子是正的,則生成的半群是不可約的,最后,給出了遷移算予的</p><p> 譜結(jié)構(gòu),得到了解的漸近展開式“∞。2005年Latrach和Taoudi等人研究了厶空</p><p> 間的L—R模型的非線性邊界值問題解的存在性,他們
60、的方法是基于拓?fù)涞臈l件</p><p> 下利用厶空間特有的弱緊性。町。2006年Abdelkader Dehiei等人研究了</p><p> ?。?。(1‘P‘+∞)空問具一般邊界條件的Rotenberg模型,在光滑和部分光滑的邊</p><p> 界條件下,詳細(xì)地討論了streaming算子的譜;接著,在半平面{A∈c JReA>一Pq_}</p>
61、;<p> ?。ㄘ隇椋螅簦颍澹幔恚椋睿缢阌璧淖V界)上也討論了遷移算子的離散本征值是否存在的問</p><p> 題;最后給出了遷移算子的各種本質(zhì)譜…1。</p><p> 這些種群細(xì)胞增生的遷移方程與中子遷移方程等有許多差異,最大的差異在</p><p> 于其方程的邊界條件,中子等粒子在碰撞過程中不會(huì)再生,并且其方程的邊界算</p>
62、<p> 子在計(jì)算過程可以消化在方程的解中,但是種群細(xì)胞在分裂過程中卻會(huì)再生,它</p><p> 在計(jì)算過程中也不易被消去,這無(wú)疑給其數(shù)學(xué)研究帶來(lái)了很大的困難。因此,為</p><p> 了給出方程的解,本文就從證明半群的存在性與不可約性出發(fā),研究了半群的時(shí)</p><p> 間漸近性與其譜分析的聯(lián)系,得到了該方程解的構(gòu)造性理論和穩(wěn)定性等結(jié)果
63、。</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p><b> 第1章引言</b></p><p> 從前面的文獻(xiàn)中可看出對(duì)種群細(xì)胞增生中的譜分析研究工作較少,尤其是離</p><p> 散本征值和占優(yōu)本征值的研究工作。因此,本文主要是研究種群細(xì)胞增生中的遷</p><
64、;p> 移方程,證明其生成的cn半群是不可約性,給出了其遷移算子的譜分析,尤其是</p><p> 離散本征值和占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。</p><p> 本文的結(jié)構(gòu)為;第一章引言;第二章研究具一般邊界條件的L-R模型的遷移</p><p> 方程,證明了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正c0半群和該正c0半群的不可約性,分別在</p><p
65、> 厶空間中討論了一類具積分邊界條件的L-R模型和在L。(1t p《*)空間中討論了</p><p> 一類具一般邊界條件的L-R模型的遷移算子本征值的存在性,最后在厶空間中</p><p> 證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果;第三章研究具一般邊界條件的</p><p> Rotenberg模型的遷移方程,給出了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生c0半群和該
66、c0半群的</p><p> 不可約性,分別在厶空聞中討論了一類具積分邊界條件鼴Rotenberg模型和在</p><p><b> ?。?。(1t P</b></p><p><b> t</b></p><p> ?。恚┛臻g中討論了一類具一般邊界條件的Rotenberg模型的遷移算子本<
67、/p><p> 征值的存在性,最后在厶空間中證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的LR模型的遷移方程</p><p> ?。保梗罚茨辏桑辏猓铮鳎椋?/p>
68、z和Rubinow在文獻(xiàn)【5】中首次提出了種群細(xì)胞增生的初值問</p><p><b> 題:</b></p><p> 詹(嘲)-柳(嘶)一一詈(礎(chǔ))-p(訓(xùn)妒(咖),</p><p><b> (2.1)</b></p><p> ?。於剩ǎ矗?,0)叫k</p><p
69、><b> ?。幔妫?lt;/b></p><p> 其中f表示種群細(xì)胞從出生到分裂的周長(zhǎng)且z∈(‘,乞),0s‘<乞t 00;a表示種群</p><p> 細(xì)胞的年齡且4∈[0,f],妒(n,z,t)是由4,z,t構(gòu)成的種群細(xì)胞的密度;p(.,.)表示</p><p> 細(xì)胞的死亡率。之后,對(duì)此初值問題的有許多研究工作(部分見文獻(xiàn)【
70、11,14,16】)。</p><p> 最近,Latrach和Mokhtar.二Kharroubi在文獻(xiàn)【1l】中研究了一類具一般邊界</p><p> 條件的b-R模型的遷移方程,在厶空間中證明了初值問題(2.1)相應(yīng)的遷移算子</p><p> 產(chǎn)生正co半群,且給出其co半群不可約的充分條件-接著,在Lp(1皇p c。)空</p><
71、;p> 間對(duì)光滑(或部分光滑)的邊界條件,他們給出了∥(如)至多由有限代數(shù)重?cái)?shù)的</p><p> 離散本征值構(gòu)成。而ArefJedbi在2003年的文章[18】中研究了厶空間Rotenberg</p><p> 模型中一類帶積分邊界條件下遷移算子的譜和初值問題解的漸近展開。但是對(duì)</p><p> 該遷移算子本征值和占優(yōu)本征值的存在性等解的構(gòu)造性理論
72、未見研究。為此,</p><p> 本文對(duì)具一般邊界條件的Mt模型的遷移方程(2.1),在第一節(jié)先建立適當(dāng)?shù)目?lt;/p><p> 間和算子,給出必要的準(zhǔn)備知識(shí);在第二節(jié)證明了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正co半</p><p> 群和該正c0半群的不可約性;在第三節(jié)對(duì)厶空間中一類具積分邊界條件的L-R</p><p> 模型的遷移方程,證明了
73、該遷移算子本征值的存在性:在第四節(jié)對(duì)Lp(1‘pt*)</p><p> 空間中對(duì)一類具一般邊界條件的L-R模型的遷移方程,證明了該遷移算子本征值</p><p> 的存在性;最后,在第五節(jié)對(duì)L空間中一類具一般邊界條件的L-R模型的遷移</p><p> 方程,證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性,并給出了Cauchy問題(2.1)解的漸</p>
74、<p><b> 近表示。</b></p><p><b> 4</b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p><b> ?。玻笨臻g與算子</b></p><p> 為了F面證明的需要,在這一節(jié)將介紹空惻與相J匝的算f
75、o令</p><p> 砟:-L,(A;duav),</p><p> 其中A:I(o'z)×(‘,乞),o主‘<12tm,1‘ptm?引進(jìn)邊界空間群o,z:,Sobolov</p><p><b> 空間∥如下:</b></p><p> ?。唬啊埃铮?#215;【‘,f2];講);</p&
76、gt;<p> 砟:10({j】xR,乞];講);</p><p> ?。?。p∈乃,使宿警∈砟}-</p><p><b> 定義遷移算子^為:</b></p><p><b> ’</b></p><p> ?。孥蹋海模ǎ矗ぁ剩ィ?。一卻‘)c砟一巧,</p>
77、<p> ?。贝皇蘑橐缓耄ㄘ祝┒盛椋?lt;/p><p> 其中p(.,.)∈L,妒o,妒‘分別表示為妒。一妒(o,f);妒。-妒(,,f)。邊界算子日為:</p><p><b> ?。龋喝阂凰?;</b></p><p><b> 妒‘一卻‘.</b></p><p><b&g
78、t; ?。ǎ玻玻?lt;/b></p><p> 假設(shè):(日)日是有界正算子.</p><p> 對(duì)妒∈Xp,A∈c和妒∈D(4),考慮方程</p><p> ?。ǎ玻薄矗┒室欢?,</p><p> 則對(duì)RcA,一壁(絲一黜infp(.,.)),方程(2.3)可形式地解為:</p><p> 妒(口,
79、,)-妒(o,f)P《‘砷‘叫凈+J:ez∽p㈥如妒(s,1)ds,</p><p><b> 令口。l,則</b></p><p> 妒(f,f)_妒(0,f)eo‘“p“’肛+上P√‘“P‘f。’k伊(s,1)ds,</p><p> 便于本文的分析,為簡(jiǎn)化(2.4)、(2.5)式,引進(jìn)如下算子:</p><p&g
80、t;<b> ?。?lt;/b></p><p><b> ?。ǎ玻常?lt;/b></p><p><b> ?。ǎ玻矗?lt;/b></p><p><b> ?。ǎ玻担?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p>
81、<p><b> ?。敝唬喝?。群,</b></p><p><b> .</b></p><p> ?。保ㄖ?,)(v):。I(o,0。<(“小』肛.</p><p><b> 陋:群4墨,</b></p><p> 1,.(蜴,)(4,f).一,(0,z)
82、。{(椰‘∽№.</p><p> ?。穑海?p_.X:,</p><p> 1,一(以,)(j,f):_上el似p扣。肛,(叫)凼.</p><p><b> ?。桑悖蓿海兀小?lt;/b></p><p><b> ?。校?lt;/b></p><p> ?。保唬ǎ?,)(戤f
83、):lJ:ef‘“小。肛,(s,f)凼.</p><p> 利用HSldcr不等式,易知上面的算子都是有界的,且有如下不等式:</p><p> ?。桑欤幔欤欤螅逡弧ā埃矗?;</p><p> ?。保敝唬桑桑螅ǎ遥澹粒z)訓(xùn)。;</p><p> ?。保彬妫保薄ǎ穑ǎ遥澹粒z))。179;</p><p>
84、IIG0s(ReA+絲)~.</p><p> 在各自的正錐空間蓋+上,只、幺、只和G都為正算予。令</p><p> ”k+孫。制若IIHIlI竺<</p><p> 則當(dāng)ReA>九時(shí),由0只0se吶(““自得</p><p><b> ?。桑熳钊眨埃悖保?lt;/b></p><p> 從而
85、算子(,一只日)-1存在,所以(2.4)、(2.5)式分別為:</p><p><b> (2.6)</b></p><p><b> 即</b></p><p> 妒‘一(,一只H)。1只仍</p><p> 妒一Q。H(I一只日).1只伊+q弘</p><p>
86、 (甜一4)~-幺日(Jr一只日)4B.+G一薹蜴日(只日)”毋+G.</p><p><b> ?。ǎ玻罚?lt;/b></p><p> 附注2.1由前面可知半平面{A∈cIReA,九)£p(4 l。</p><p> 定理2.1若算子H滿足假設(shè)(H1),則在各自的正錐空問上,算子</p><p><b>
87、 6</b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L_R模型的遷移方程</p><p> ?。ǎ玻薄矗┮?、日(,一只H)。1只、只、幺、只和G關(guān)于A∈{A∈cIReA,九+£)</p><p> ?。ǎ郑螅荆埃┒际且恢掠薪缯?。</p><p> 證明由(2.6)式知《只何4t1,則Vs>o,VXE{AEClReA,如
88、+F},|c,o,</p><p> 使得11只日8≤ctl,即:(J-?只日).1墨i二1:,所以算子(J—f撙)一一致有界,又由</p><p> 于對(duì)任意的A∈恤∈cIReA,九+£),蜴、只、G和日是有界的,所以(盯一如)_1</p><p> 在x+上一致有界正的。同理可證算子日(J一只日)。1毋、只、Q^、,易和G在各</p><
89、;p> 自的正錐空間也是一致有界正的。</p><p> ?。玻舶肴旱牟豢杉s性</p><p> 在本節(jié)中研究z。空間中算子^生成c0半群及co半群的不可約性。</p><p> 因?yàn)楫?dāng)l舊4<1時(shí),由Hille-Yosida-Phillips定理知:算子如生成c0半群</p><p> ?。眨酰ǎ簦簟荩铮?,并滿足:<
90、;/p><p> 慨(1)11se一,t=-O</p><p> 而當(dāng)0日忙1時(shí),定義如下的邊界算予和無(wú)界算子,XCu>o,</p><p> ?。桑?。:x:一X:,</p><p> ?。於省?(肘:妒)(f,f).一Ⅳ。礦(4,f).</p><p><b> ?。ǎ玻福?lt;/b></p
91、><p><b> 浮。:X p—x</b></p><p><b> ?。穑?lt;/b></p><p> ?。币烈唬妗岸剩ń校海Вń校?lt;/p><p> ?。蹋海模ㄍ撸悖?,一乃,</p><p> 妒一瓦妒(4,班一一署(口,,)-【Ⅳ(叫)地“】妒(刈),&l
92、t;/p><p> ?。模┮唬痢薯模娴V-HM。伊‘}.</p><p> 附注2.2從上面的定義可證明對(duì)o.(砧t1,算子蔚。是%到自身的雙射,</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L_R模型的遷移方程</p><p><b> 且㈣虬
93、阿卜也?</b></p><p> 接下來(lái)的引理給出了算子瓦和4之間的關(guān)系。</p><p> 引理2.1對(duì)固定的o《“‘1,有面:lD(4)-D(瓦),且如一M~?;ッ妫海?。</p><p> 證明對(duì)妒∈D(4),妒一面:匆,有伊∈Xp,并且滿足</p><p> p-(“1妒)0一妒。,</p><
94、p> f妒‘一01妒)7一妒7.</p><p> 則礦一HM,,qJ‘,且妒∈D呱);反之,l司樣證明若q,eO(T.),有</p><p> 帆妒∈D(4),即面:lD(4)一D(瓦)。</p><p> 接下來(lái),對(duì)任意的妒∈D(以),有</p><p> M。瓦肘N。-1妒-“4瓦。一?。埃础疽谎裕铩┮弧靖兀?,f
95、)+1n“】“。劬1</p><p> 一一誓一弘(叫)妒一鉚.</p><p> 定理2.2令o.(球t1,則在以中算子互生成的co半群{圪O),t≈0)等價(jià)于算</p><p> 予4生成的c0半群{%(f),f芑o),也就是:</p><p> .u,(r)一面。圪(f)面:1.</p><p><
96、b> (2.9)</b></p><p> 并且還滿足鼽(f)0‘球。帳(f)¨(f之o)。</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 證明假設(shè)算子正在x,中生成的co半群化o),f≈o),令妒∈D(瓦),由引理</p><p> 瓦妒。姆r。1眈(f砌一妒卜姆一蔚=1
97、【面“虼(r)面:_一妒】?</p><p><b> 由引理2.1知:</b></p><p> 鉗I,l卅imt-xPm屹(r)面知一妒】。姆一h(f)妒一妒】.</p><p> 則算子彳,生成的c0半群{%(f),f乏0),并滿足%(f)-面。K(f)齏=l。反之</p><p><b> 也可
98、證。</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p> 定理2.3若ReA,九,則算子4生成c0半群{%(f),f苫0)?</p><p> 證明當(dāng)0日lltl時(shí),由前面的說(shuō)明知算子粕生成c0半群{%(f),t≈0)。<
99、/p><p> 當(dāng)0日0芑1時(shí),?。龋海Z日一,則ImLIf《1,由Hille-Yosida-Phillips定</p><p> 理知算子毛在一中生成的co半群{K(f),t苫0);根據(jù)定理2.2知:算子如生成c0</p><p> 半群{“(f),t≥o)。</p><p> 定義2.1n11令算子Q為0(A)上的正算子,若對(duì)一切的,
100、aO,f幸。在A上有</p><p> Of,O,nt,則Q就稱為嚴(yán)格正算子。</p><p> 定義2:2“”令杪(f),t之o)是L(A)上的正的co半群且彳為無(wú)窮小生成元,</p><p> 則yO)在‘(A)上被稱為不可約半群:即若VA’s∽’(s似)為算子彳的譜界),</p><p> 算子(A一彳)。1,幾乎處處為嚴(yán)格正算
101、子。.</p><p> 定理2A若算子日滿足假設(shè)(q),則一生成的co半群{%(f),f2 o)在巧</p><p><b> 中不可約。</b></p><p> 證明由定理2.1知Q。H(I—ew)。1B是正算子,根據(jù)(2.7)式,對(duì)任意的</p><p><b> f≥0,f≠0,有</b
102、></p><p> (盯一磊)4f王幺日(卜ew)4只,,o,</p><p><b> 。</b></p><p> 由定義2.芝知{%(f),t≥0)不可約。</p><p> 引理2.2m1假設(shè)算子4是z,上co半群的無(wú)限小生成元,若co半群是不可</p><p> 約的,
103、則下列命題成立:</p><p> (1)4中每個(gè)正的本征函數(shù)是嚴(yán)格正的;</p><p> ?。ǎ玻叮ǎ吹墓曹椝阕樱┲忻總€(gè)正的本征函數(shù)是嚴(yán)格正的。</p><p> ?。玻骋活惥叻e分邊界條件的L-R模型</p><p> 這節(jié)我們主要研究厶空間中具積分邊界條件的L-R模型的遷移方程,討論</p><p>
104、其相應(yīng)的遷移算子的譜。其中積分邊界算子H定義為:</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p><b> ?。龋汗ぁ?。?</b></p><p> 1妒一r七(u’)妒(u。)講j</p><p&g
105、t; 其中核七(f,f‘)是mue-Tamarldn類型的,且滿足r七(f,f’)dr一1.</p><p><b> ?。ǎ玻保埃?lt;/b></p><p><b> 現(xiàn)假設(shè)日滿足:</b></p><p><b> ?。ㄒ玻仁蔷o算子;</b></p><p> ?。ㄒ?/p>
106、)H是正算子(在Banach lattice).</p><p> 先引用Latrach在文獻(xiàn)【11】的有關(guān)結(jié)果。</p><p> 引理2.3n13若日滿足假設(shè)(吼),-當(dāng)ReA乏一絲時(shí),有只日為緊算子。</p><p> 證明因只se?!ā啊埃ⅲ桑?,有最日主月j‘‘(“4+&)s日.由假設(shè)(日:)知:日為</p><p>
107、緊算子,利用Doods-Fremlin定理知:只日也為緊算子。</p><p> 引理2.4Ⅲ1若H滿足假設(shè)(也),則奸往意A∈{A∈cIReA≥一身,當(dāng)lhnAI充</p><p> 分大時(shí),算子(,一只H)4存在。</p><p> 定理2.5m1若日(,一只H)4是嚴(yán)格正算子(見文獻(xiàn)[11】),則算子如生成的</p><p>
108、co半群機(jī)’o(f),t七o)是不可約的?</p><p> 定理2.6若日滿足假設(shè)(吃),當(dāng)RcA>一絲時(shí),則有,(只日)<l。</p><p><b> 證明</b></p><p> 由引理2.3知只日為緊算子,又由Krein-Rutman定理知:譜半徑</p><p> ‘(只日)是對(duì)應(yīng)于x“(X“為∥中
109、的正錐)中妒的本征值,則有:</p><p> ?。小#?,p-%(最日)妒,即</p><p> ?。妫玻耄ǎ?,l')tp(1,f)dl'e-f"‘1+90?!纾ㄖ辉隆┒剩?。</p><p> 由(2.10)式知:(名(只日)一e<p"“力№弘妒II一。。。</p><p> 即;。(只H)。e《‘1+’“’肛‘e‘I“1腳。所以
110、當(dāng)ReA>一壁,得‘(只曰)t1。</p><p> 引理2.5設(shè)I舊8t1,盧一ReA>一絲且妒∈z+,則存在∞,聲,使得對(duì)任意</p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的卜R模型的遷移方程</p><p> 的A>∞,有‘((盧,一以)4)c1?</p><p> 證明先證:當(dāng)(聲,一如)一妒-妒∈D(4)nx+時(shí),有I陟l主彘Ik
111、0這一結(jié)果?</p><p> 當(dāng)(,,一4沖-妒時(shí),有:</p><p> ?。ㄌJ州彬M叫)+苦(n,f)t妒(口,1),</p><p> ?。ㄌJ+曼(叫))妒(口,f)+詈(4,f)‘妒(4’f),</p><p> ?。☉簦z增.『:妒(訓(xùn)捌f+“詈(叫)俐s“妒(口,Z)出dt,</p><p> ?。ūR+
112、壁)I艫8+J?(妒(f,f)一妒(o’z))講墨U*II.</p><p> 當(dāng)1日0t1時(shí),利用(2.10)式和妒-(pt一南)。1妒得:</p><p> ’(盧+絲)悱n妒ll;0(盧卜山)~礦忙而1悱</p><p> 所以,當(dāng)口一+m時(shí),有</p><p> 陋一4)4忙擊一o.</p><p>&
113、lt;b> 因此本定理成立。</b></p><p> 定理2.7條件同引理2—5.并設(shè)(,一只日)4為正算子,則%(以)一a,即存</p><p> 在實(shí)數(shù)風(fēng)為算子以的本征值。</p><p> 證明由定理2.6知名(只日)t1,且(,一只日)一-∑(只日r,所以(,一只日)。</p><p> 為有晃算予,又由
114、于(J一只日)~,只,蜴,鞏和q都為X+上的正算子,所以</p><p> ?。ǎ?,一4)-1為x+上的正算子.由引理2.3知:若||日0‘1,j∞,蘆時(shí),VA,∞,</p><p> 有o((A,一^)4)c1。所以當(dāng)A,n,時(shí),(盯一4)-1也是z上的有界正算子。</p><p> 令ReA-p,由譜映像原理知:存在y(盧)為("一4).1的本征值,且相應(yīng)&
115、lt;/p><p> 的有本征函數(shù)‰@*O),使得</p><p> ?。颍ūR)妒。一一(盧,一,4X)~妒。.</p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L—R模型的遷移方程</p><p> 叫盧一南卜砒,令風(fēng)吵南,則島是如的本,征值o</p><p> ?。玻匆活惥咭话氵吔鐥l件的L-R.模型</p>
116、<p> 在前面的基礎(chǔ)上,這一節(jié)我們將研究‘(1量p<m)空間中具一般邊界條件的</p><p> ?。蹋夷P偷倪w移方程(即(2.2)式),并研究其遷移算子的譜結(jié)構(gòu)。</p><p> 定理2.8n11假設(shè)日滿足(馬),且H是緊算子,A是集合s中有較大實(shí)部的</p><p><b> 元素,則</b></p>
117、<p> ?。ǎ保幔ǎ?,)n{X∈C[ReX,Rci)由至多有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值構(gòu)成;</p><p> ?。ǎ玻┤簦鳌荩?,則盯(4)n{A∈cIRcA,.Rex+以至多有限;</p><p> (3)若w>o,則當(dāng)IInlAI充分大,對(duì)所有的A∈{A∈cIRc.;【,Rei+_,</p><p> ?。桑桑ù逡唬矗#保付家恢掠薪?</p
118、><p> 定理2.9若算子日滿足假設(shè)(q),則在0(1‘pt*)空間中對(duì)RcA,九+F</p><p> 時(shí),有仃,(4)≠g,即存在實(shí)數(shù)風(fēng)為算子以的本征值。</p><p> 證明令ReA-fl,由定理2.1知算子(盯一4)。1是一致有界正的,又由譜</p><p> 映像原理知:存在',(∥)為(盯一4)4的本征值,有相應(yīng)的本征函數(shù)
119、妒(妒-o),</p><p><b> 使得</b></p><p> ?。颍ūR)妒。一(p,一彳。)一妒。,</p><p> 因此卜高卜繃,令風(fēng)咿南,則風(fēng)是以的本征值,并且有</p><p> 九一高s∥一南。島“</p><p> 附注2.3根據(jù)附注2.1易知:當(dāng)RcA,凡,有A∈
120、P(如l;由于盧和y的任</p><p> 意性,當(dāng)RcA墨九,取定盧和r的值,使之滿足風(fēng)一蛐p{ReA恤∈盯(4,皓,也</p><p> 第2童.登登塑墮塑生生塑£!墮型墮墾整查墨</p><p><b> 就是算子山的譜界?</b></p><p> 引理2.6若算子日滿足假設(shè)(皿),則當(dāng)RcA,九時(shí)有&l
121、t;/p><p><b> 品p一4)4卜</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p><b> 證明由于</b></p><p><b> ’</b></p><p> ?。欤ǎ敛罚矗#保敢唬祢嫒眨?,
122、一只日)。1只+Gi‘I級(jí)丑(J一只日)-1BI+llc-ll?</p><p> ?!肼ǎ剩蛞幻鳎匆圆?lt;/p><p><b> ?。ǎ玻恚?lt;/b></p><p> 首先考慮對(duì)所有的妒∈墨,有心‰慨妒9-o。</p><p> 令(九)知:九-Il+吮,九∈{J;L∈clReA'凡},且以).酬是一列實(shí)數(shù),
123、使得當(dāng)</p><p> 一--,oo時(shí),kl一+∞,則對(duì)任意的妒∈x,,有</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> ?。?#168;批一。“p小棚“相)凼l’</p><p> 在(0'z)x(‘,f2)上,由Riemann-Lebegue定理知:</p><p><
124、b> 蚓lim</b></p><p> b柵z)1.熙護(hù)t叫卜腫%b岫1.0.州</p><p> 另外,由于算子鞏是有界的,由控制收斂定理知:對(duì)每個(gè)整數(shù)玎有</p><p><b> 熙恢妒0—0.</b></p><p> 由于蜴日(,一只H)’1的一致有界正的性質(zhì)和(2.12)式,知(
125、2?11)式成立。</p><p> 同上面的方法,可證對(duì)所有的伊∈乃,有,</p><p> 規(guī)Uc:U=0.4。e</p><p> 所以,當(dāng)ReA,.九時(shí),有10‰《(AJ一以)。10一o。</p><p><b> ?。ǎ玻保玻?lt;/b></p><p><b> ?。ǎ玻?/p>
126、13)</b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p> ?。玻嫡純?yōu)本征值的存在性</p><p> 本節(jié)我們主要研究如空間上的占優(yōu)本征值。為此,先引入一些結(jié)果。</p><p> 定義2.3嫻令4是Banach空間x上的閉稠定線性算子,且風(fēng)是彳的本征</p><p
127、> 值,則風(fēng)為占優(yōu)本征值,若滿足</p><p><b> 一</b></p><p><b> (1)風(fēng)是實(shí)數(shù);</b></p><p> ?。ǎ玻╋L(fēng)的代數(shù)重?cái)?shù)為1;</p><p> ?。ǎ常┤簦潦轻艿漠愑陲L(fēng)的本征值,則Re2<風(fēng);</p><p> (4)
128、風(fēng)是A的唯一具有非負(fù)本征函數(shù)的本征值。</p><p> 定義2.4對(duì)F∈工2(△),定義線性函數(shù)G∈如(△)如下:</p><p> ?。牵ǎ疲撸桑疲牵锵拢?,f)G(口,1)@at.</p><p> 為了本節(jié)證明的需要,我們給出文獻(xiàn)[22,A-Ill,3.6]中留數(shù)的定義。</p><p> 假設(shè)風(fēng)是盯(4。)的孤立點(diǎn),則
129、全純函數(shù)A—只@,4)能由洛朗展開,而洛</p><p> 朗級(jí)數(shù)為:對(duì)一些d,0,滿足∞t陋一風(fēng)Itd,有</p><p> 尺Q,如)一(材一4)‘1一∑吃(A一,60)n,</p><p> 其中以為有界線性算子,且為</p><p> 吃-三缸(z一風(fēng))小枷矗(z,勻)如,</p><p> 此時(shí)Cl
130、{z∈c卜a.I一目.</p><p><b> ?。睢剩?lt;/b></p><p><b> ?。ǎ玻保矗?lt;/b></p><p><b> ’</b></p><p> 而系數(shù)垃。是相應(yīng)于譜集{風(fēng))的譜投影,稱為R(-,4)在風(fēng)的留數(shù),且記為</p>&
131、lt;p> ?。?,從(2.14)式可知:</p><p> ~州}-(4一風(fēng)r’P且~+1)’■州)?‰。。},玎,m>O</p><p><b> ?。ǎ玻保担?lt;/b></p><p> 若存在整數(shù)七).0,使得b*0,而對(duì)所有的自然數(shù)作).七時(shí)6-.一0,則風(fēng)為</p><p> ?。遥ǎ祝┑钠唠A極點(diǎn)
132、。</p><p><b> ?。保?lt;/b></p><p> 第2章種群細(xì)胞增生中的L-R模型的遷移方程</p><p> 由(2?14)式可知屯,0,■I+1)。0,從而召</p><p> ?。叮?。曼現(xiàn)(A一風(fēng)廣(盯一彳”)~,</p><p><b> (2.16)<
133、;/b></p><p> 因?yàn)椋?6-,。丟疆R z,4)出,由定理2?1</p><p> R(z,4)是正的,從而算子P</p><p> 也是正的?,F(xiàn)來(lái)證明算子P.(P的共軛算子)也是正的。根據(jù)定義2.4知:對(duì)</p><p> 中∈如(A),EL2(A),有;</p><p> (即,妒)。舵
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