概率論課程設(shè)計--刀具的切削時間與厚度的一元線性回歸分析

1、<p><b>　　課程設(shè)計任務(wù)書</b></p><p>　學(xué) 院專 業(yè)信息與計算科學(xué)</p><p>　學(xué)生姓名班級學(xué)號</p><p>　課程設(shè)計題目刀具的切削時間與厚度的一元線性回歸分析</p><p>　實踐教學(xué)要求與任務(wù):通過該課程設(shè)計，使學(xué)生進(jìn)一步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法；初步

2、掌握Excel統(tǒng)計工作表在隨機(jī)模擬中是應(yīng)用，MATLAB統(tǒng)計軟件包作常見的統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計分析；具備初步的運(yùn)用計算機(jī)完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂中學(xué)習(xí)到理論得到應(yīng)用。1．?dāng)?shù)據(jù)整理：收集數(shù)據(jù)，錄入數(shù)據(jù)，畫出相應(yīng)圖形（如分布圖、直方圖、盒狀圖等）。2．一元、多元線性回歸模型：回歸系數(shù)的估計與檢驗，數(shù)據(jù)散點與回歸直線的圖示，殘差圖。運(yùn)用MATLAB統(tǒng)計軟件，對給定的數(shù)據(jù)擬合回歸方程。3．區(qū)間估計與假設(shè)檢驗： MATLAB繪制出直方圖，做數(shù)據(jù)分布的

3、推測；參數(shù)估計，假設(shè)檢驗，繪制概率密度圖，能對結(jié)果進(jìn)行簡單分析。4.常用分布的5種功能：概率密度函數(shù)、分布函數(shù)、分位數(shù)、隨機(jī)數(shù)的生成、均值和方差的應(yīng)用。工作計劃與進(jìn)度安排:周一1~4節(jié)：選題，設(shè)計解決問題方法周一5~8節(jié)：調(diào)試程序周三1~4節(jié)：完成論文，答辯</p><p>　指導(dǎo)教師：2013 年6月14 日專業(yè)負(fù)責(zé)人：201 年 月 日學(xué)院教學(xué)副院長：201 年 月 日</p>

4、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計和假設(shè)檢驗問題在其中占有很重要的地位。對于正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗問題已有完備的結(jié)論；對于非正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗問題，在大樣本的情況下，可利用中心極限定理轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體來解決。但實際問題中常常碰到非正態(tài)總體，而且是小樣本的情況，因此對它的區(qū)間估計和假

5、設(shè)檢驗是一個值得研究的問題</p><p>　　本文利用概率綸與數(shù)理統(tǒng)計中的所學(xué)的回歸分析知識，對用切削機(jī)房進(jìn)行金屬品加工時為了適當(dāng)?shù)卣{(diào)整機(jī)床，測量刀具的磨損速度與測量刀具的厚度間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，利用這些數(shù)據(jù)做出刀具厚度關(guān)于時間的線性回歸方程，并MATLAB 與EXCEL軟件對驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得出線性回歸系數(shù)與擬合系數(shù)等數(shù)據(jù)，并用F檢驗法檢驗了方法的可行性，同時用分布參數(shù)置信區(qū)間和假設(shè)檢驗問題 ，得出了刀

6、具厚度關(guān)于時間的線性關(guān)系顯著，并進(jìn)行了深入研究，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗的解決方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：統(tǒng)計量法；置信區(qū)間；假設(shè)檢驗；線性關(guān)系；回歸分析</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　一．設(shè)計目的1</b></p><p>

7、<b>　　二．設(shè)計問題1</b></p><p><b>　　三.設(shè)計原理1</b></p><p>　　3.1模型回歸系數(shù)的最小二乘估計2</p><p>　　3.2.回歸方程顯著性檢驗4</p><p>　　3.3.回歸系數(shù)的置信區(qū)間5</p><p>　　3

8、.4.利用模型預(yù)測5</p><p><b>　　四．方法實現(xiàn)5</b></p><p><b>　　五．設(shè)計總結(jié)11</b></p><p><b>　　致 謝12</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)13</b></p>

9、<p>　　刀具的切削時間與厚度的一元線性回歸分析</p><p><b>　　一．設(shè)計目的</b></p><p>　　了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗方法及應(yīng)用一元回歸方程進(jìn)行預(yù)測的方法；學(xué)會應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行一元回歸實驗的分析方法。同時更好的了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計在實際問題上的應(yīng)用，并將所學(xué)的知識結(jié)合Excel對

10、數(shù)據(jù)的處理解決實際問題。本設(shè)計是利用一元線性回歸理論對用切削機(jī)房進(jìn)行金屬品加工時為了適當(dāng)?shù)卣{(diào)整機(jī)床，測量刀具的磨損速度與測量刀具的厚度間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并用Excel分析工具庫中的回歸分析軟件進(jìn)行解算。</p><p><b>　　二．設(shè)計問題</b></p><p>　　用切削機(jī)床加工時，為實時地調(diào)整機(jī)床，需測定道具的磨損速度，每隔一小時測量刀具的厚度得到以下數(shù)

11、據(jù)，建立刀具厚度對于切削時間的回歸模型，對模型和回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗，并預(yù)測7.5h和 15h后的刀具厚度，用兩種方法計算預(yù)測區(qū)間，解釋計算結(jié)果。</p><p><b>　　表1.</b></p><p>　　記刀具厚度（因變量）為y，時間（自變量）為x。</p><p><b>　　三.設(shè)計原理</b></p>

12、<p>　　在實際問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性的（即直線型），而是非線性的（即曲線型）。設(shè)其中有兩個變量與，我們可以用一個確定函數(shù)關(guān)系式：，大致的描述與之間的相關(guān)關(guān)系，函數(shù)稱為關(guān)于的回歸函數(shù)，方程，成為關(guān)于的回歸方程。</p><p>　　一元線性回歸處理的是兩個變量與之間的線性關(guān)系，可以設(shè)想的值由兩部分構(gòu)成：一部分由自變量的線性影響所致，表示的線性函數(shù) ；另一部分則由眾多其他因

13、素，包括隨機(jī)因素的影響所致，這一部分可以視為隨機(jī)誤差項，記為?？傻靡辉€性回歸模型</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　式中，自變量是可以控制的隨機(jī)變量，成為回歸變量；固定的未知參數(shù)與成為回歸系數(shù)；稱為響應(yīng)變量或因變量。由于是隨機(jī)誤差，根據(jù)中心極限定理，通常假定，是未知參數(shù)。</p><p>　　確定與之間的關(guān)系前，

14、可根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，選擇適當(dāng)?shù)那€回歸方程，而這些方程往往可以化為線性方程或者就是線性方程，因此我們可以用線性方程：，大致描述變量與之間的關(guān)系。 </p><p>　　3.1模型回歸系數(shù)的最小二乘估計</p><p>　　為了估計回歸系數(shù)，假定試驗得到兩個變量 與 的 個數(shù)據(jù)對我們將這對觀測值代入式（1），得</p><p>　　這里互獨立的

15、隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，即。</p><p>　　由數(shù)據(jù)可以獲得，的估計，，稱為關(guān)于經(jīng)驗回歸函數(shù)，簡稱回歸方程，其圖形稱為回歸直線。給定后，稱為回歸值（在不同場合也稱其為擬合值、預(yù)測值）。</p><p>　　回歸系數(shù)估計的方法有多種，其中使用最廣泛的是最小二乘法，即要求選取的與 的值使得述隨機(jī)誤差ε 的平方和達(dá)到最小，即求使得函數(shù)</p><p><b&g

16、t;　　取得最小值的，。</b></p><p>　　由于是，的二元函數(shù)，利用微積分中的函數(shù)存在極值的必要條件，分別對求，的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，構(gòu)成二元一次方程組</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這組方程組稱為正規(guī)方程組

17、，經(jīng)過整理，可得：</p><p>　　解方程組得到總體參數(shù)，估計量：</p><p>　?。ㄒ韵掠谩啊北硎尽啊埃?lt;/p><p>　　這里， 均為已有的觀測數(shù)據(jù)。</p><p><b>　　由此得到回歸方程。</b></p><p>　　帶入觀測，得到值稱為回歸預(yù)測值，方程的直線稱為回歸直線。

18、 3.2.回歸方程顯著性檢驗</p><p>　　建立一元線性回歸方程當(dāng)且僅當(dāng)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時才是有意義的，因此必須對變量之間的線性相關(guān)的顯著性進(jìn)行檢驗，即對建立的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗。</p><p>　　我們首先引入幾個概念：</p><p>　　，稱為總偏差平方和，它表示觀測值總的分散程度； ，稱為回歸平方和，它是由回歸變量的變化引起的

19、，放映了回歸變量對變量線性關(guān)系的密切程度； ，稱為殘差（剩余）平方和，是由觀測誤差等其他因素起誤差，它的值越小說明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好。</p><p>　　可以證明下列關(guān)系成立</p><p><b>　　即=+ 成立。</b></p><p>　　我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記。(0<=R<=1),稱R為復(fù)

20、相關(guān)系數(shù)，用R的大小來評價模型的有效性，R越大，則反映回歸變量與相應(yīng)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系越密切。</p><p>　　引入F統(tǒng)計量，定義，可知，對于給定的顯著水平 (一般這里取0.05或0.01)，查表可得臨界值。</p><p>　　如果>,則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系顯著；如果<=，則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實際應(yīng)用中也可以通過F對應(yīng)的概率P

21、<來說明y與x之間的線性相關(guān)性顯著。</p><p>　　3.3.回歸系數(shù)的置信區(qū)間</p><p>　　回歸方程（1）的回歸系統(tǒng),是一個點估計值，給定置信水平后，可得到他們對應(yīng)的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果某個回歸系數(shù)的置信區(qū)間包含0點，則說明該回歸變量的影響不顯著，需要進(jìn)一步地修改回歸方程，盡量是每個回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不包含0點。</p><p>

22、;　　3.4.利用模型預(yù)測</p><p>　　在對所建立的回歸模型進(jìn)行相關(guān)程度檢驗與分析之后，如果預(yù)測變量與相關(guān)變量x的每一個給定值，帶入回歸模型，就可以求得一個相對應(yīng)的回歸預(yù)測值,稱為模型的點估計值。</p><p><b>　　四．方法實現(xiàn)</b></p><p>　　1. 在MATLAB軟件中輸入數(shù)據(jù)，輸出散點圖,繼續(xù)輸入可得出結(jié)果與殘

23、差圖：</p><p>　　y=[30.6 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5]; </p><p><b>　　x=0:10; </b></p><p>　　plot(x,y,'+');</p><p>　　圖 1. 散點圖（橫軸：X 縱

24、軸Y）</p><p>　　從直觀上看，y與x大致呈線性關(guān)系，建立一元線性回歸模型。</p><p><b>　　再輸入：</b></p><p><b>　　n=11; </b></p><p>　　X=[ones(n,1),x']; </p><p>　　[b,

25、bint,r,rint,s]=regress(y',X); </p><p>　　b,bint,s,rcoplot(r,rint) </p><p>　　F0=finv(0.95,1,n-2)</p><p><b>　　輸出如下結(jié)果：</b></p><p><b>　　b =</b>&l

26、t;/p><p><b>　　29.5455</b></p><p><b>　　-0.3291</b></p><p><b>　　bint =</b></p><p>　　28.9769 30.1140</p><p>　　-0.4252 -0.

27、2330</p><p><b>　　s =</b></p><p>　　0.8696 60.0018 0.0000 0.1985</p><p><b>　　F0 =</b></p><p>　　5.1174 </p><p>　　生成的殘差及其置信區(qū)

28、間圖</p><p><b>　　圖2.</b></p><p>　　圖中第一個點殘差的置信區(qū)間不包含零點，為異常點，予以剔除， 剔除異常點后重新計算并畫圖。 </p><p><b>　　再輸入：</b></p><p>　　x=x(1,2:11); </p>

29、<p>　　y=y(1,2:11); </p><p><b>　　n=10; </b></p><p>　　X=[ones(n,1),x']; </p><p>　　[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); </p><p>　　b,bint,s,rcoplot(r,

30、rint) </p><p>　　F0=finv(0.95,1,n-2)</p><p><b>　　輸出如下結(jié)果：</b></p><p><b>　　b =</b></p><p><b>　　29.0533</b></p><p><b>

31、;　　-0.2588</b></p><p><b>　　bint =</b></p><p>　　28.8334 29.2732</p><p>　　-0.2942 -0.2233</p><p><b>　　s =</b></p><p>　　0.97

32、26 283.5599 0.0000 0.0195</p><p><b>　　F0 =</b></p><p><b>　　5.3177</b></p><p>　　生成如下圖像：殘差及其置信區(qū)間圖</p><p><b>　　圖3.</b></p>

33、<p>　　圖中第一個點殘差的置信區(qū)間不包含零點，為異常點，予以剔除，剔除異常點后重新計算并畫圖。 </p><p><b>　　再輸入：</b></p><p>　　x=x(1,2:10); </p><p>　　y=y(1,2:10); </p><p><b>　　n=9; </b&g

34、t;</p><p>　　X=[ones(n,1),x']; </p><p>　　[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); </p><p>　　b,bint,s,rcoplot(r,rint) </p><p>　　F0=finv(0.95,1,n-2)</p><p>&l

35、t;b>　　輸出如下結(jié)果：</b></p><p><b>　　b =</b></p><p><b>　　28.8667</b></p><p><b>　　-0.2333</b></p><p><b>　　bint =</b><

36、;/p><p>　　28.7796 28.9537</p><p>　　-0.2467 -0.2200</p><p><b>　　s =</b></p><p>　　1.0e+003 *</p><p>　　0.0010 1.7150 0.0000 0.0000</p

37、><p><b>　　F0 =</b></p><p><b>　　5.5914</b></p><p>　　生成如下圖像：殘差及其置信區(qū)間圖</p><p><b>　　圖4.</b></p><p>　　此時由圖可知已無異常點，所以用這9組數(shù)據(jù)進(jìn)行估計結(jié)

38、果會比較準(zhǔn)確。</p><p>　　2.從上面運(yùn)行的結(jié)果可制成下表：</p><p>　　表2. 回歸系數(shù)與其估計值和置信區(qū)</p><p>　　表 1 MATLAB回歸分析結(jié)果表</p><p>　?。≧是相關(guān)系數(shù)，F(xiàn)是統(tǒng)計量值，p是與統(tǒng)計量F對應(yīng)的概率，p<0.034<0.05拒絕原假設(shè)，說明回歸模型假設(shè)成立。）

39、 </p><p>　　由剔除異常點后數(shù)據(jù)得到的一元回歸方程為：</p><p>　　3.線性回歸的方差分析表：</p><p><b>　　表3.</b></p><p>　　有題可知m=1,n=9,值為1.7150，=0.09469697，所以>，認(rèn)為Y與之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著。&

40、lt;/p><p>　　4.由MATLAB可得= 1.0e+003 * 0.0010接近于1，所以顯著性明顯。 </p><p>　　5.當(dāng)X=7.5時，； 當(dāng)X=7.5時，。 </p>&l

41、t;p><b>　　五．設(shè)計總結(jié)</b></p><p>　　通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的這道實際問題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識以及MATLAB的使用，而且使我對這些知識在實際中的應(yīng)用產(chǎn)生了比較濃厚的興趣。由于使用了MATLAB軟件，讓我更加熟練的操作該軟件在進(jìn)行一些數(shù)據(jù)上的處理，對以后的學(xué)習(xí)和工作有很大的幫助?？傊@次課程設(shè)計我收獲很多。</p&g

42、t;<p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本論文是**老師指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵著我。在此，我向張老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。</p><p>　　同時我也要謝謝我的同學(xué)，是你們在課程設(shè)計中給我提供了一個濃厚的學(xué)習(xí)氛圍，你們的建議同樣使我受益頗深。</p>

43、<p>　　寫論文過程中，我參閱了相關(guān)文獻(xiàn)，在此特別感謝。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].第四版.北京：高等教育出版社,2003.4:140-196</p><p>　　[2]朱燕堂、趙選民、徐偉.應(yīng)用概率統(tǒng)計方法 [M].第2版.西北工業(yè)大學(xué)出版社,20