數(shù)字信號除處理課程設(shè)計-dft在信號頻譜分析中的應(yīng)用

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文檔簡介

1、　　課程設(shè)計　　課程名稱數(shù)字信號處理 　　系別：計算機科學(xué)系 　　專業(yè)班級：

2、通信一班 　　題目： DFT在信號頻譜分析中的應(yīng)用 　　目錄　　1、設(shè)計題目·······

3、83;···································3</p

4、>　　2、設(shè)計目的·································

5、;··········3　　3、設(shè)計原理·····················

6、83;·····················3　　4、實現(xiàn)方法··········&

7、#183;································3

8、　5、設(shè)計內(nèi)容及結(jié)果···································

9、··6　　6、改進建議·····························

10、3;············12　　7、思考題及解答···················

11、;···················15　　8、設(shè)計體會············&#

12、183;·····························15　　9、參考文獻··

13、;····································

14、83;···16　　Ⅰ.設(shè)計題目　　DFT在信號頻譜分析中的應(yīng)用　?、?設(shè)計目的　　掌握離散傅里葉變換的有關(guān)性質(zhì)，利用Matlab實現(xiàn)DFT變換。了解DFT應(yīng)用，用D

15、FT對序列進行頻譜分析，了解DFT算法存在的問題及改進方法。學(xué)習(xí)并掌握FFT的應(yīng)用。　?、?設(shè)計原理　　所謂信號的頻譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算，使其應(yīng)用受到限制，而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算，成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。<

16、;/p>　　工程實際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)信號Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。數(shù)字計算機難于處理，因而我們采用DFT來對連續(xù)時間信號的傅里葉變換進行逼近，進而分析連續(xù)時間信號的頻譜。　?、?實現(xiàn)方法　　離散傅里葉變換是有限長序列的傅里葉變換，它相當(dāng)于把信號的傅里葉變換進行等頻率

17、間隔采樣，并且有限長序列的離散傅里葉變換和周期序列的離散傅里葉級數(shù)本質(zhì)是一樣的。　　快速傅里葉變換（FFT）并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而發(fā)展起來的：（1）把長度為N的序列的DFT逐次分解成長度較短的序列的DFT來計算。（2）利用WN(nk)的周期性和對稱性，在DFT運算中適當(dāng)?shù)姆诸?，以提高運算速度。（對稱性，;周期性，r為任意整數(shù)） </

18、p>　　離散傅里葉變換的推導(dǎo)：　　離散傅里葉級數(shù)定義為（1-1）　　將上式兩端乘以并對n在0~N-1求和可得 　　因為 　　所以這樣用k代替m得（1-2）令

19、　　則（1-2）成為DFS （1-3）　?。?-1）成為IDFS （1-4）　　式（1-3）、（1-4）式構(gòu)成周期序列傅里葉級數(shù)變換關(guān)系。其中都是周期為N的周期序列，DFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。　　習(xí)慣上，對于長為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間

20、稱為主值區(qū)，把稱為的主值序列，同樣也稱為的主值序列。　　由于，對于周期序列僅有N個獨立樣值，對于任何一個周期進行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究與是等價的，因此在主值區(qū)計算DFS和DFT是相等的，所以DFT計算公式形式與DFS基本相同。其關(guān)系為　　所以離散傅里葉正變換　　0kN-1<

21、;/b>　　離散傅里葉變換（DFT）定義：設(shè)有限長序列x (n) 長為N（0nN-1），其離散傅里葉變換是一個長為N的頻率有限長序列（0kN-1），其正變換為　　0kN-1 （）　　離散傅里葉變換的實質(zhì)是：把有限長序列當(dāng)做周期序列的主值序列進行DFS變換，x(n)、X(k)的長度均為N，都是N個獨立值，

22、因此二者具有的信息量是相等的。已知x(n)可以唯一確定X(k),已知X(k)可以唯一確定x(n)。　　雖然離散傅里葉變換是兩個有限長序列之間的變化，但它們是利用DFS關(guān)系推導(dǎo)出來的，因而隱含著周期性。　　構(gòu)造離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)程序如下：　　function[Xk]=dft(xn,N)</p&g

23、t;　　n=[0:1:N-1];　　k=n;　　WN=exp(-j*2*pi/N);　　nk=n'*k;　　WNnk=WN.^nk;<p

24、>　　Xk=xn*WNnk　　快速傅里葉變換（FFT）并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為了減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法　　共軛對稱性：　　設(shè)有限長序列的長度為N，以N為周期的周期延拓列為 　　周期序列的共軛對稱

25、分量和共軛反對稱分量分別為　　(1-5)　　(1-6)　　同樣可以證明，它們滿足（1-7）（1-8） 　　則有限長序列的圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量分別定義為：

26、;　　（1-9）　?。?-10）　　由于滿足故　?。?-11）　　顯然，長度為N的有限長序列可以

27、分解為圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量之和，和的長度皆為N。利用有限長序列與周期序列的共軛對稱分量和反對稱分量的關(guān)系式（1-9）和式（1-10），以及式（1-11）可以推導(dǎo)出DFT的一系列的對稱性質(zhì)　　DFT 式中表示的共軛復(fù)序列。　　證明：DFT 又因為所以DFT　　復(fù)序列實部的DFT等于DFT的圓周

28、共軛對稱部分，即　　DFT　　證明：　　DFTDFT={DFT+DFT}=　　利用DFT的對稱性可求得的DFT:　　設(shè) 則</b&

29、gt;　　DFT　　因為 　　所以　　DFTDFT=　　Ⅴ

30、.設(shè)計內(nèi)容及結(jié)果　　用MATLAB語言編寫計算序列x(n)的N點DFT的m函數(shù)文件dft.m。并與MATLAB中的內(nèi)部函數(shù)文件fft.m作比較。　　解： x (n) 的N點DFT的m函數(shù)文件dft.m　　function[Xk]=dft(xn,N)

31、　n=[0:1:N-1];　　k=n;　　WN=exp(-j*2*pi/N);　　nk=n'*k;　　WNnk=WN.^nk;　　Xk=xn*WN

32、nk　　Matlab中的內(nèi)部函數(shù)文件fft.m文件　　function [varargout] = fft(varargin)　　if nargout == 0　　builtin('fft', varargin{:});<p&

33、gt;　　else　　[varargout{1:nargout}] = builtin('fft', varargin{:});　　end　　運算量估計：<

34、;p>　　對于N=點序列進行時間抽選奇偶分解FFT計算，需分M級，每級計算N/2個蝶。每一級需N/2次復(fù)乘、N次復(fù)加，因此總共需要進行：　　復(fù)乘：復(fù)加：　　直接計算N點的DFT，需要次復(fù)乘、N(N-1)次復(fù)加。N值越大，時間抽選奇偶分解FFT算法越優(yōu)越。例如當(dāng)N=2048點時，時間抽選奇偶分解FFT算法比直接計算DFT速度快300多倍

35、　　可以用一下Matlab程序比較DFT和FFT的運算時間　　N=2048;　　M=11;　　x=[1:M,zeros(1,N-M)];　　t=cputi

36、me;　　y1=fft(x,N);　　Time_fft=cputime-t　　t1=cputime;　　y2=dft(x,N);　　Time_dft=cputime-t1　　t2=cput

37、ime;　　運行結(jié)果：　　Time_fft =　　0.0469　　Time_dft =　　15.2031</p

38、>　　由此可見FFT算法比直接計算DFT速度快得多　　2. 對離散確定信號作如下譜分析：　　截取使成為有限長序列N()，(長度N自己選)寫程序計算出的N點DFT ,畫出時域序列圖xn～n和相應(yīng)的幅頻圖。　　解：<

39、;p>　　1）求x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應(yīng)的X(ejw)、X(k)。　　MATLAB程序如下：　　N=10;　　n=0:1:N-1;　　xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);&

40、lt;p>　　Xk=dft(xn,N);　　subplot(3,1,1)　　stem(n,xn,'.k');　　title('時域序列圖xn');　　xlabel('n');

41、　axis([0,10,-2.5,2.5]);　　w=2*pi*(0:1:2047)/2048;　　Xw=xn*exp(-j*n'*w);　　subplot(3,1,2);　　plot(w/pi,abs(Xw));　　ti

42、tle('幅頻特性曲線X(ejw)');　　xlabel('w');　　axis([0,1,0,10]);　　subplot(3,1,3)　　k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;　　ste

43、m(w1/pi,abs(Xk),'.k');　　title('頻域序列圖Xk');　　xlabel('頻率（單位：pi）');　　axis([0,1,0,10]);　　x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(

44、k)如圖1-1所示。　　圖1-1 x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)　　由圖可見，由于截斷函數(shù)的頻譜混疊作用，X(k)不能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量。　　2）將x(n)補零至100點，求N=100點的X(ejw)、X(k)。<

45、p>　　MATLAB主要程序如下：　　N=10;　　n=0:N-1;　　xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);　　N1=100;</b&g

46、t;　　n1=0:N1-1;　　x1=[xn(1:10) zeros(1,90)];　　subplot(3,1,1)　　stem(n1,x1,'.k');　　title('時域序列圖x1');<

47、;/p>　　xlabel('n');　　axis([0,100,-2.5,2.5]);　　w=2*pi*(0:2047)/2048;　　X1=x1*exp(-j*n1'*w);　　subplot(3,1,2);</

48、p>　　plot(w/pi,abs(X1));　　title('幅頻特性曲線X(ejw)');　　xlabel('w');　　axis([0,1,0,10]);　　subplot(3,1,3)

49、　　Xk=dft(x1,N1);　　k1=0:1:49;　　w1=2*pi/100*k1;　　stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');　　title('頻域序列圖Xk');

50、　　xlabel('頻率（單位：pi）');　　axis([0,1,0,10]);　　x(n)補零至100點對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。　　圖1-2 x(n)補零至100點對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)<p&g

51、t;　　x(n)補零至100點對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。由圖可見，x(n)補零至100點，只是改變X(k)的密度，截斷函數(shù)的頻譜混疊作用沒有改變，這時的物理分辨率使X(k)仍不能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量。這說明，補零僅僅是提高了計算分辨率，得到的是高密度頻譜，而得不到高分辨率譜。　　3）求x(n)的前100點數(shù)據(jù)，求N=100點的X(e

52、jw)、X(k)。　　MATLAB主要程序如下：　　N=100;　　n=0:1:N-1;　　xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);　　Xk=dft(xn,N);&l

53、t;/p>　　subplot(3,1,1)　　stem(n,xn,'.k');　　title('時域序列圖xn');　　xlabel('n');　　axis([0,100,-2.5,2.5]);&

54、lt;/p>　　w=2*pi*(0:1:2047)/2048;　　Xw=xn*exp(-j*n'*w);　　subplot(3,1,2);　　plot(w/pi,abs(Xw));　　title('幅頻特性曲線X(ejw)

55、9;);　　xlabel('w');　　axis([0,1,0,50]);　　subplot(3,1,3);　　k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;　　stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50

56、)),'.k');　　title('頻域序列圖Xk');　　xlabel('頻率（單位：pi）');　　axis([0,1,0,50]);　　100點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-3所示</p&

57、gt;　　圖1-3 100點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)　　由圖可見，截斷函數(shù)的加寬且為周期序列的整數(shù)倍，改變了頻譜混疊作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量。這說明通過增加數(shù)據(jù)的記錄長度Tp來提高物理分辨率可以得到分辨率譜。　　Ⅵ.改進

58、及建議　　由圖1-1、圖1-2、圖1-3可以看出。當(dāng)取0<=n<=9時，從相應(yīng)的圖中幾乎無法看出有關(guān)信號頻譜的信號；將x(n)補90個零點后作N=100點的DFT，從相應(yīng)的X（k）圖中可以看出，這時的譜線相當(dāng)密，故稱為高密度譜線圖，但是從中很難看出信號的頻譜部分；對x(n)加長取樣數(shù)據(jù)，得到長度為N=100的序列，此時相應(yīng)的X(k)圖中可以清晰地看到信號的頻譜成分

59、，這稱為高分辨頻譜。　　為了得到更高的分辨率，增加N點的取值進行改進　　取x(n)的前128點數(shù)據(jù)，求N=128點的X(ejw)、X(k)。　　MATLAB主要程序如下：　　N=128;　　n

60、=0:1:N-1;　　xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);　　Xk=dft(xn,N);　　subplot(3,1,1)　　stem(n,xn,'.k');　　title('時

61、域序列圖xn');　　xlabel('n');　　axis([0,100,-2.5,2.5]);　　w=2*pi*(0:1:2047)/2048;　　Xw=xn*exp(-j*n'*w);　　sub

62、plot(3,1,2);　　plot(w/pi,abs(Xw));　　title('幅頻特性曲線X(ejw)');　　xlabel('w');　　axis([0,1,0,70]);　　subplot

63、(3,1,3);　　k1=0:1:63;w1=2*pi/128*k1;　　stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:64)),'.k');　　title('頻域序列圖Xk');　　xlabel('頻率（單位：pi）');&

64、lt;/p>　　axis([0,1,0,70]);　　128點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示　　圖1-4 128點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k) 　　128點x(n)的數(shù)據(jù)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示。<

65、;/p>　　由圖可見，截斷函數(shù)雖然進一步加寬，但不是周期序列的整數(shù)倍，所以盡管X(k)能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量，但還呈現(xiàn)頻譜泄露。　　分辨率提高了，但仍出現(xiàn)了頻譜泄露現(xiàn)象，故要求N取值為周期序列的整數(shù)倍。　　取x(n)的前150點數(shù)據(jù)，求N=150點的X(ejw)、X(k)。

66、;　　N=150;　　n=0:1:N-1;　　xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);　　Xk=dft(xn,N);　　subplot(3,1,1)<p&g

67、t;　　stem(n,xn,'.k');　　title('時域序列圖xn');　　xlabel('n');　　axis([0,100,-2.5,2.5]);　　w=2*pi*(0:1:2047)/2048;

68、;　　Xw=xn*exp(-j*n'*w);　　subplot(3,1,2);　　plot(w/pi,abs(Xw));　　title('幅頻特性曲線X(ejw)');　　xlabel('w');</p&

69、gt;　　axis([0,1,0,80]);　　subplot(3,1,3);　　k1=0:1:74;w1=2*pi/150*k1;　　stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:75)),'.k');　　title('頻域序

70、列圖Xk');　　xlabel('頻率（單位：pi）');　　axis([0,1,0,80]);　　15點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-5所示　　圖1-5 150點x(n)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k) &l

71、t;/p>　　150點x(n)的數(shù)據(jù)對應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示。　　由圖可見，截斷函數(shù)進一步加寬，X(k)也正確清晰分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量，達到了很好的效果。　?、?思考題及解答　　(1)對比

72、設(shè)計內(nèi)容2中(1)(2) (3)的圖，說明補零DFT的作用。　　由圖（1-1）、（1-2）、（1-3）可知DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。如下圖　　由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大

73、的頻率分量由于被“遮擋”二無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補若干個零值，介意改變原序列的長度。這樣加長的序列作DFT時，由于點數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來柵欄的間隙即間隔頻率，可以使得原來的不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。但要注意，由于柵欄效應(yīng)，使得被分析的頻譜變得較為稀疏，為此，在采樣樣本序列x(n)后補零，在數(shù)據(jù)長度不變的情況下，可以改變頻譜的頻率取樣密度，得到高密度頻譜。<

74、p>　　(2)解釋設(shè)計內(nèi)容3中圖和圖有什么區(qū)別？補零DFT能否提高信號的頻譜分辨率，說明提高頻譜密度、頻譜分辨率的措施各是什么？　　圖（1-2）在圖（1-1）的基礎(chǔ)上提高了頻譜密度和計算分辨率，但是頻譜的包絡(luò)沒有發(fā)生變化所以圖和圖沒有區(qū)別。　　補零作用不能提高信號的頻譜分辨率，因在x(n)后面補零并沒有增加新的信息量，改善的僅是柵欄效應(yīng)，所以補零是

75、不能提高頻率分辨率的，即得不到高分辨率譜。這說明，補零僅僅是提高了計算分辨率，得到的是高密度頻譜，而要得到高分辨率譜，則要通過增加數(shù)據(jù)的記錄長度來提高物理分辨率。　?、?設(shè)計體會及心得　　計算機是進行數(shù)字信號處理的主要工具，計算機只能處理有限長序列，這就決定了有限長序列處理在數(shù)字信號處理中的重要地位。離散傅里葉變換建

76、立了有限長序列與其近似頻譜之間的聯(lián)系，在理論上具有重要意義。離散傅里葉變換DFT在數(shù)字通信、語音處理、圖像處理、譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達、光學(xué)影像、地震等各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，但是這都是以卷積和相關(guān)運算，對連續(xù)信號和序列進行譜分析為基礎(chǔ)的。　　通過該課程設(shè)計，我們受益匪淺，對DFT在進行頻譜的分析上有了根深刻的理解和掌握。DFT實現(xiàn)了頻域采樣，同時DFT存在快速算法FFT，所以在實際應(yīng)用中，

77、可以利用計算機，用DFT來逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，進而分析連續(xù)時間信號頻譜。同時知道了補零點的作用，其僅僅是提高了計算分辨率，得到的是高密度頻譜，并不能得到高分辨率譜，要提高頻率分辨率，則要通過增加數(shù)據(jù)記錄長度來提高物理分辨率。　　在編程實現(xiàn)中，遇到了一些問題，為此我們翻閱一些了參考書，并通過討論一一解決。期間我們不僅學(xué)到了許多課本上的知識，還有課本以外的內(nèi)容，學(xué)到了許多課本上所沒提到的東

78、西，這些東西都讓我們耳目一新，開闊了視野，拓寬了知識面。從以前僅僅掌握離散傅里葉變換的概念，到現(xiàn)在漸漸領(lǐng)悟到離散傅里葉變換的一些實際應(yīng)用，更明白它在實際設(shè)計中的作用，從理論到實踐的逐步過渡，增了動手能力。知道了到團隊精神的重要性，大家互相討論，分工合作，享受了合作的樂趣。　　Ⅸ.參考文獻　　[1]余成波，陶紅艷.數(shù)字

眾賞文庫> 全部分類> 畢業(yè)設(shè)計

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