學建模課程設(shè)計(血樣的分組檢驗)

1、<p><b>　　血樣的分組檢驗</b></p><p>　　摘要: 本文以醫(yī)學的調(diào)查統(tǒng)計為基礎(chǔ)，進行抽象，利用概率論知識組建模型，對何時分組和怎樣分組給出了詳盡的討論并對結(jié)果進行了符合實際情況的解釋，結(jié)合真實的數(shù)據(jù)對模型進行了驗證，最后對模型加以改進和推廣。</p><p><b>　　問題描述</b></p><

2、;p>　　要在人群中（數(shù)量很大，基本上是健康人）找出某種病毒的感染者，為減少檢驗次數(shù)（目的是降低費用），通常采用篩選的辦法。即假設(shè)人群總數(shù)為，將人群分成組，每組的人數(shù)為，將每組的份血樣混在一起進行化驗，若化驗結(jié)果呈陽性，則需要對改組的每個人重新進行化驗，以確定誰是病毒感染者；若化驗結(jié)果呈陰性，則表明該組全體成員均為陰性，不需要重新化驗。</p><p>　　已知陽性的先驗概率為，當固定時，如何分組可使得化驗

3、次數(shù)最小；</p><p>　　找出不應(yīng)分組的的取值范圍；</p><p>　　討論兩次分組的情況，即檢測為陽性的組再次分組檢驗的情況。</p><p><b>　　問題的分析</b></p><p>　　本問題所述的情況在醫(yī)學統(tǒng)計、病毒檢測等諸多醫(yī)學問題中是必須首要解決的問題。進行某種疾病的調(diào)查需要大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而統(tǒng)

4、計數(shù)據(jù)的取得主要靠實驗的方法，這就不可避免地要面臨如何分組的問題是效率最高（花銷最少），找出最優(yōu)分組方法是本文的主要目的。</p><p>　　由于人群總體數(shù)固定，在討論問題時，我們可以借助于平均每人檢驗次數(shù)這個量來衡量分組與不分組情況的好壞，這是概率模型的主要思路。對于該問題，若不分組，一個人一個人檢驗，共需檢驗次，平均每個人檢驗一次；采取分組的方法，直觀上可以感覺到會降低檢驗次數(shù)。分組時計算每個人的平均檢驗次

5、數(shù)，若該值小于1，即認為分組比不分組好。對于兩次分組的問題，也采用上述思路，只要兩次分組時平均每個人檢驗次數(shù)小于一次分組時平均每個人的檢驗次數(shù)，就可以認為兩次分組的方法優(yōu)于一次分組的方法。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　下面給出該模型的基本假設(shè)：</p><p>　　在實際操作中，多次分組的方法要比只分一次組

6、或不分組的方法操作起來繁瑣、耗時，且需要更多的人力把工作的重點放在分組的方案上，實際增加了開支。所以若在人數(shù)不太多，且兩種方法平均每人檢驗次數(shù)相近，宏觀上解釋就是當不分組或不繼續(xù)分組比分組或繼續(xù)分組的次數(shù)少或二者差距不大時，使用少分組的方法效率更高、費用更省。本題由于敘述了人數(shù)很大的條件，故哪種方法平均每人檢驗次數(shù)少，就采用那種方法；</p><p>　　可以理解先驗概率為對某個人檢驗一次，結(jié)果呈陽性的概率，并假

7、設(shè)先驗概率在一次檢驗中保持不變（即假設(shè)該概率只與疾病有關(guān)，而對同一種疾病該值為常量）；</p><p>　　每個人檢驗一次是陽性的概率相互獨立（即不考慮是否有遺傳性與病毒的傳染）；</p><p>　　為了簡化模型便于討論分析，假設(shè)每次分組時都能達到平均分配，而且在進行再次分組時采用的對呈陽性的組進行組內(nèi)分組的形式。這在實際中是普遍采用的一種方法，它比把呈陽性的組的人重新打亂再進行分組的效

8、率高出很多而且易被人接受。如果設(shè)分別表示第一、二次分組時分出的組數(shù)， 分別表示第一、二次分組每組的人數(shù)，則第一次分組總?cè)藬?shù)，第二次分組的總?cè)藬?shù)?？梢酝ㄟ^調(diào)整的值實現(xiàn)最優(yōu)分組方案。</p><p><b>　　模型的建立及求解</b></p><p>　　4.1 一次分組的情況</p><p>　　利用概率中的數(shù)學期望來計算平均每人的檢驗次數(shù)。&

9、lt;/p><p>　　在一次分組的情況下，如上所示變量假設(shè)，每組的人數(shù)為（由假設(shè)（4），）；陽性的先驗概率為；另設(shè)變量表示每人的平均檢驗次數(shù)；，即為每個人檢驗一次呈陰性的概率。因此，如果一組檢驗為陰性，則其中每個人均不是病毒的感染者，在由每個人是否是感染者是相互獨立的（假設(shè)（3）），可得出現(xiàn)此種情況的概率為，每個人平均檢驗次數(shù)為次（該組只檢驗了一次）；如果一組檢驗為陽性，該組中有病毒感染者，仍由假設(shè)（3），可知出現(xiàn)

10、此種情況的概率為，每個人的平均檢驗次數(shù)為次（該組每個人又被一一檢驗，故次數(shù)加一）。故可得的分布律為</p><p><b>　　由上表可得，</b></p><p>　　所以對于個人平均檢驗次數(shù)為次。所以由假設(shè)（1）可得，只要，即分組后平均每人檢驗次數(shù)小于不分組每個人檢驗的次數(shù)（1次），就進行分組檢驗。由，可得以下約束條件：（后稱第一次分組的約束條件）</p&g

11、t;<p>　　此時對于不同疾病，不同，調(diào)整滿足上式，即可認為分一次組比不分組好。</p><p>　　下面進行更深層次的討論：</p><p>　　由于本題的人數(shù)是離散變量，故無法直接采用數(shù)學分析的方法，所以先把離散變量連續(xù)化。采用與離散變量變化趨勢相同的連續(xù)性函數(shù)，即設(shè)</p><p><b>　　，</b></p>

12、;<p>　　因為，根據(jù)上述條件及假設(shè)，對求導得，</p><p>　　由此可以看出，當時，函數(shù)單調(diào)減少，而時，函數(shù)單調(diào)增加，在時取得最大值。做出函數(shù)的圖像，見下圖：</p><p>　　對于本題所討論的離散值，從上圖可知在時，取得滿足條件時的最大值，也就是只有在時，調(diào)整的值總能滿足上述約束條件。即此時分一次組才比不分組每人平均檢驗次數(shù)少。而對于大于此值的，不滿足約束條件，故

13、不分組比分一次組平均每人檢驗次數(shù)少。</p><p><b>　　對函數(shù)求導可得，</b></p><p>　　由函數(shù)取極值的必要條件得，</p><p>　　如果對于給定的（當然必須滿足約束條件）值，可以通過數(shù)值解法求得使最小的值。（可以證明此值為函數(shù)在本題所給范圍內(nèi)的最小值）由于本題變量（每組人數(shù)）均為離散變量，故取與最相近的兩個值(上取整

14、和下取整)，代入，比較兩個函數(shù)值，找出較小的一個。此時的值即為只分一次組總次數(shù)最少的值。下面給出對于不同的先驗概率，相應(yīng)的最小檢驗次數(shù)的每組人數(shù)：</p><p>　　4.2 兩次分組的情況</p><p>　　這時，在檢驗為陽性的組中繼續(xù)分組，按照假設(shè)的變量及另設(shè)表示兩次分組時每人平均檢驗的次數(shù)，如5.1.1設(shè)每人檢驗一次呈陰性的概率為。同5.1.1，若第一次分組時，一組的個人均為陰性的

15、概率為，此時每人平均檢驗了次；若為陽性，此時的概率為，再次分組：第二次分組時，一組全為陰性的概率為，此時每個人的平均檢驗次數(shù)為；若為陽性，此時的概率為，每個人的平均檢驗次數(shù)為。由上所述，可得的分布率為：</p><p><b>　　由此可得</b></p><p><b>　　經(jīng)過化簡得</b></p><p>　　由實際

16、情況知，此時的。為使兩次分組的情況優(yōu)于一次分組的情況，只須。經(jīng)過計算，可得。此時發(fā)現(xiàn)兩次分組的約束條件與一次分組的約束條件只是取值范圍的不同，下面進行進一步的討論：</p><p>　　A． 由于時，第二次分組的約束條件在第一次分組的約束條件滿足時總是能夠滿足（），（即使當?shù)谝淮畏纸M時取使最小時的值，我們?nèi)钥稍跐M足假設(shè)（4）的條件下，取，而此條件滿足二次分組的約束條件），故在大多數(shù)情況，能夠進行一次分組時進行第二

17、次分組，一定能使總次數(shù)減少。見下圖：</p><p>　　假設(shè)給定陽性先驗概率為，由圖可以看出在時，滿足一次分組的約束條件，任意取小于30的值均可減少每人平均檢驗次數(shù)（相對于不分組），只要令或更小的值但滿足條件，由于此時亦滿足兩次分組的約束條件，故分兩組可以比只分一組的平均每人檢驗次數(shù)少。</p><p>　　B．在一次分組時，取時可知，代入到里發(fā)現(xiàn)上述兩值相等（見圖一中兩白點），故在做分

18、析5.1.2.A時沒有考慮的情況，實際上，當時取，取先驗概率分別代入到分一次組和分兩次組的平均每人檢驗次數(shù)的期望中可得。由此可見，只要所給的值小于0.2929（而且滿足假設(shè)（4）），分兩次組就比分一次組要好。在此種情況下，還可以計算分兩次組時平均每人檢驗次數(shù)的最小值，方法同分一次組時的情況，只要進行求導便可，在此不贅述。所以不應(yīng)再分組的先驗概率的取值范圍是。</p><p>　　在時，經(jīng)實驗發(fā)現(xiàn)在值大于0.281

19、95時，有二次分組（此時第二次分組每組至多2人）的平均化驗次數(shù)大于一次分組的情況發(fā)生，所以當，且有時，不宜再分組; 當，且有時，不宜再分組。</p><p><b>　　結(jié)果分析及模型檢驗</b></p><p>　　綜上所述，當所給陽性的先驗概率時，不分組每個人一次一次的檢驗可以使總次數(shù)最少；當所給時，進行一次檢驗比分兩次組和不分組均可使總次數(shù)最少；當時，分兩次組總

20、次數(shù)比分一次組總次數(shù)要少。</p><p>　　當然這都是在假設(shè)的前提下做出的，現(xiàn)舉一例具體說明上述假設(shè)的合理性：設(shè)時，經(jīng)過上述計算可得，當時可使在一次分組的情況下平均每人檢驗次數(shù)最小，為滿足假設(shè)（4），可以?。ù藭r平均每人檢驗次數(shù)僅比時多次，故在檢驗100000人時總次數(shù)才多一次，故可忽略），然后取或更?。ㄈ纾?，此時均可以做到分兩次組比分一次組平均每人檢驗次數(shù)要小。當然此時還可以繼續(xù)求滿足條件的第二次分組平均每

21、人檢驗次數(shù)的最小值。</p><p>　　由于題給條件是人群數(shù)量很大，基本是健康人，所以可以認為先驗概率很小，所以5.1.2.B的情況在實際當中可以不予考慮（此時的概率在0.3左右，相當大）。</p><p><b>　　模型評價及推廣</b></p><p>　　在實際中利用本模型還是可以跟分組檢驗一定依據(jù)的。但在實際操作中，由于多次分組需要

22、多次混合血樣，在操作中會帶來很大的麻煩；而且，在混合當中可能會造成很大的誤差，特別是當多次混合血樣比一次混合或不分組的平均每人檢驗次數(shù)不是少很多的時候，進行一次分組或不分組效果可能會更好。</p><p>　　本模型可以說在所給定的假設(shè)內(nèi)解決了該問題。如果說對于假設(shè)的合理性做出判斷的話，如上所述，假設(shè)（1）在實際當中可能不會被作為分組與不分組的判斷標準；假設(shè)（2）與（3）是可以接受的，直觀上可以認為以陽性的先驗概

23、率至于不同疾病有關(guān)，而不會與檢驗次數(shù)有關(guān)，同時在沒有遺傳病的情況下，做出假設(shè)（3）也是合理的；假設(shè)（4）在人群數(shù)目較小時是很容易實現(xiàn)的，但當人群數(shù)目很大時，很難嚴格的達到平均分組的條件。例如對某幾個地區(qū)某病毒的感染情況進行調(diào)查統(tǒng)計時，往往利用分治法的思想把人群按單位或更小的行政區(qū)域進行分區(qū)調(diào)查，再將所有的數(shù)字匯總。這種分組的方法并不能保證平均分配人數(shù)。如果人群總數(shù)在幾十到幾千的范圍內(nèi)除了利用給出的兩種方法外，還可以利用二分法的思想將人群

24、重復(fù)的進行二分操作，這樣也可以很快地得到理想的結(jié)果。</p><p>　　影響此模型的因素還有先驗概率，先驗概率是一定人群中的患病概率，如果人群的情況有所變化可能會對模型給出的結(jié)論有所影響。比如普通人群中艾滋病病毒抗體的感染率是很低的，如果用這個概率作為先驗概率去進行對以男性同／雙性戀者為對象的估計中，往往會出現(xiàn)較大的偏差。</p><p><b>　　參考文獻</b&