畢業(yè)論文---在不等式教學中培養(yǎng)學生的探究思維能力

1、<p>　　本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　在不等式教學中培養(yǎng)學生的探究思維能力</p><p>　　姓 名： </p><p>　　指導教師： </p><p>　　院 系： 數(shù)學系 </p><p>　　專

2、 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 _</p><p>　　提交日期： 2010年5月5日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　中文摘要………………………………………………………………3</p><p>　　外文摘要………………………………………………………………4</p>

3、<p>　　引言…………………………………………………………………………………5</p><p>　　比較法………………………………………………………………5</p><p>　　幾何法………………………………………………………………6</p><p>　　配方法………………………………………………………………7</p><p>　

4、　二分法………………………………………………………………7</p><p>　　三角代換法………………………………………………………………7</p><p>　　反證法………………………………………………………………7</p><p>　　判別式法………………………………………………………………8</p><p>　　向量法………………………

5、………………………………………8</p><p>　　均值不等式法………………………………………………………………8</p><p>　　分析法………………………………………………………………9</p><p>　　綜合法………………………………………………………………9</p><p>　　利用對稱性……………………………………………………

6、…………10</p><p>　　利用歐拉恒等式………………………………………………………………10</p><p>　　復數(shù)法………………………………………………………………11</p><p>　　矩陣法………………………………………………………………11</p><p>　　柯西不等式………………………………………………………………11

7、</p><p>　　拉格朗日數(shù)乘法………………………………………………………………12</p><p>　　推廣形式………………………………………………………………13</p><p>　　結束語……………………………………………………………………………15</p><p>　　參考文獻………………………………………………………………………

8、…15</p><p>　　致謝…………………………………………………………………………………16</p><p>　　在不等式教學中培養(yǎng)學生的探究思維能力</p><p>　　摘要：探究思維能力是學生智力開發(fā)的核心，是由分析、綜合、比較、概括和運用等能力組成的整體，是一種主動積極的思維能力.數(shù)學問題中明顯或隱含存在大量的不等關系，不等式的證明蘊含著豐富的數(shù)學思想方

9、法. 不等式作為熱點內(nèi)容，有很多命題都可以引申、推廣和應用，為我們在不等式的教學中培養(yǎng)學生的探究思維能力提供了契機.本文嘗試從不等式的一題多解入手探索如何培養(yǎng)學生的探究思維能力. </p><p>　　關鍵詞：數(shù)學教育；不等式；探究思維</p><p>　　Explore Thinking Ability in Inequality Teaching</p><p>

10、;　　Abstract：Students explore the thinking ability is the core of intellectual development, by analysis, synthesis, comparison, generalization and the use of such capacity to the overall composition, is a proactive thinki

11、ng. Mathematics learning problems, explicitly or implicitly a large number of non-existence and other relations, Inequality rich in mathematical thinking. inequality as hot content, there are many propositions can be ext

12、ended, the promotion and application of our teaching in the ine</p><p>　　Key Words：Mathematics Education；Inequality；Explore thinking </p><p><b>　　引言</b></p><p>　　在數(shù)學教育中，

13、不僅要注意傳授具體的解題方法，更注意數(shù)學知識發(fā)生過程中的思想方法，培養(yǎng)學生的思維能力和探究精神.提高思維能力，能更好認識事物的本質及其內(nèi)在聯(lián)系，而探究思維能力是學生智力開發(fā)的核心，是由分析、綜合、比較、概括和運用等能力組成的整體，是一種主動積極的思維能力.教師只有在傳授知識的同時，重視對學生的探究思維能力的培養(yǎng)，才能達到知識、能力的統(tǒng)一.</p><p>　　數(shù)學中數(shù)量關系的不等比相等更加廣泛，數(shù)學問題中明顯或隱

14、含存在大量的不等關系，不等式的證明蘊含著豐富的數(shù)學思想方法.從各種數(shù)學雜志期刊上，不等式作為熱點內(nèi)容，有很多命題都可以引申、推廣和應用，這為我們在不等式的教學中培養(yǎng)學生的探究思維能力提供了契機.</p><p>　　在不等式的教學中可以一題多解為抓手培養(yǎng)學生的探究思維能力.</p><p>　　不等式的許多題目有多種解法，不少老師和學生是為了解題而解題，一個問題只要能解決就匆匆而過，很少去

15、分析和橫向探索，挖掘其中的價值，錯過了很多完善知識結構，提升思維能力的好機會.做一道題從不同角度想出幾種方法與做幾道相似題型的題目相比，效果自然要很多.下文將通過一個例題探討一題多解對培養(yǎng)探究思維的重要性.</p><p>　　在射擊訓練中，假設一個射擊運動員擊中靶的概率為，不中的概率為，那么，求兩次射擊全中或者全不中的概率.</p><p>　　解析：一次射中一次射不中的概率為，兩次射擊

16、全中或者全不中的概率為</p><p>　　,,,,而即，所以.</p><p>　　本題可以簡單表述為：，，求證.以下的十幾種解法都是數(shù)學解題中的常用方法.</p><p><b>　　比較法</b></p><p><b>　　① 作差比較法</b></p><p>　　

17、要證不等式，只需證即可.</p><p>　　其步驟為：作差變形(常用變形方法有：通分，因式分解，配方等)判別符號</p><p><b>　?、?作商比較法</b></p><p>　　若，欲證，只需證；欲證，只需證.</p><p>　　其步驟為：作商變形判斷結果與的大小關系.</p><p>

18、;<b>　　或</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　幾何法</b></p><p>　　根據(jù)解決問題的需要，常把數(shù)量關系的問題轉化為圖形的性質問題來討論，即把抽象的“數(shù)”結構與形象的“形”結構聯(lián)系起來，化抽象為直觀，通過對圖形的研究，常能發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，誘

19、發(fā)解題線索，使求解過程變得簡捷直觀．</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　如圖1，線段AB在直線上，任意取點p, 為P點到原點的距離，原不等式的證明可轉為求證原點到AB的最短距離不少于.</p><p>　　假設為三角形的面積，有</p><p><b>　　最短距離,得證. <

20、;/b></p><p><b>　　配方法</b></p><p>　　配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形——配成“完全平方”的技巧.在解決相關問題是，將目標看成某個目標的二次式，并將其配成一個完全平方與一個常量的代數(shù)和的形式，以達到發(fā)現(xiàn)和研究問題性質、化繁為簡之目的.</p><p><b>　　①；</b>&l

21、t;/p><p><b>　　②.</b></p><p><b>　　二分法</b></p><p>　　二分法可以看做特殊的配方方法，能讓一些不等式的證明變得簡捷.</p><p><b>　　這里，令，，</b></p><p><b>　　

22、有.</b></p><p><b>　　三角代換</b></p><p>　　換元法是數(shù)學中的基本方法，在數(shù)學中隨處可見，三角代換是換元法的一種，有其一定的規(guī)律性.常見的三角代換法有：</p><p><b>　　①若，可設</b></p><p><b>　　②，可設<

23、;/b></p><p><b>　?、廴?lt;/b></p><p><b>　　本題中，令，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=&l

24、t;/b></p><p><b>　　而，得.</b></p><p><b>　　反證法</b></p><p>　　反證法的模式為：否定結論→推出矛盾→肯定結論.反證法的實質是證明否命題會導致矛盾，從而肯定命題成立.</p><p><b>　　① 假設</b>&l

25、t;/p><p><b>　　有，矛盾</b></p><p><b>　　故假設不成立，</b></p><p><b>　?、?假設</b></p><p><b>　　，而，二者矛盾</b></p><p>　　故假設不成立，原不

26、等式同樣得證.</p><p><b>　　判別式法</b></p><p>　　判別式是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，其要領是合理地構造二次方程或二次函數(shù).</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　對于方程有解</b></p><

27、p><b>　　則</b></p><p><b>　　而，故.</b></p><p><b>　　向量法</b></p><p>　　運用向量知識解決代數(shù)問題，關鍵在于適當構造向量，然后利用數(shù)量積來求解.</p><p>　　如圖1，設到的距離為=， 為上任意點，，即

28、，得，故，即=.</p><p><b>　　均值不等式</b></p><p>　　均值不等式：,當且僅當時等號成立.</p><p><b>　　常用變形：① .</b></p><p><b>　?、?；</b></p><p>　　均值不等式在求

29、最值及參數(shù)的取值范圍等范圍有著廣泛的應用，對于給定的函數(shù)或者多項式在一定的條件下求最值，一般要通過各種變形或轉化，然后運用公式解決.</p><p><b>　　① </b></p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　　或</b></p><p>&l

30、t;b>　　，</b></p><p><b>　　兩式相加得，</b></p><p><b>　　分析法</b></p><p>　　分析法是從尋求結論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，其模式為：(是成立的).</p><p><b>　　，顯然成立

31、</b></p><p><b>　　綜合法</b></p><p>　　從已知或已證明的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質推導出欲證的不等式，其</p><p><b>　　模式為：(結論)</b></p><p><b>　　利用對稱性</b></p>

32、<p>　　對稱性是自然界的基本性質之一，利用這個性質可以簡化一些不等式的證明.如果題設條件及所證明的多項式都是對稱的，可以設未知量滿足不等關系.</p><p>　　由于與都是對稱的，不妨設</p><p><b>　　則，</b></p><p>　　只需求上式右邊的最大值</p><p><b>

33、;　　又因為即</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　注：</b></p><p><b>　　利用歐拉恒等式</b></p><p>　　瑞士數(shù)學家歐拉，發(fā)現(xiàn)了一個代數(shù)恒等式，用語言敘述為：如果兩個數(shù)的每一個都可以表示成兩

34、個數(shù)的平方的和，那么它們的乘積也一定可以表示成兩個數(shù)的平方的和.</p><p><b>　　公式形式為：</b></p><p><b>　　此題中，令,.則</b></p><p><b>　　復數(shù)法</b></p><p>　　數(shù)學中許多問題可以通過化歸與轉化成復數(shù)問題，

35、借助復數(shù)的不同表示形式、不同的運算法則或某些重要的關系進行解決，本例可以通過構造一些復數(shù)，利用復數(shù)中的模的特性解決.</p><p><b>　　令，.有</b></p><p><b>　　矩陣法</b></p><p>　　通過構造一些適當?shù)木仃?，借助矩陣的基本運算法則也可以巧妙的證明一些</p><

36、;p><b>　　不等式.</b></p><p><b>　　設，</b></p><p><b>　　利用柯西不等式</b></p><p><b>　　有,，,</b></p><p><b>　　一定有,</b><

37、/p><p>　　當且僅當時等號成立.</p><p>　　這里給出柯西不等式的一種證明方法.</p><p><b>　　令，.</b></p><p><b>　　對于,</b></p><p>　　，.代入上式即可得到柯西不等式.</p><p>&

38、lt;b>　　此題中令,,,，則</b></p><p><b>　　拉格朗日數(shù)乘法</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　解得</b></p>

39、<p>　　,則是函數(shù)的最小值點.</p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　也可以簡單的運用導數(shù)的形式證明.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　則是函數(shù)的最值點</b></p><p>

40、<b>　　而時，</b></p><p><b>　　時，</b></p><p>　　所以時函數(shù)的最小值點，即</p><p>　　從以上方法可以看出，不等式確實是培養(yǎng)學生探究思維能力的好材料.作為一種觀念，只要我們在教學中長期堅持，積極探討，一定能大大提高學生的學習效率和探究思維能力，從而對所學知識有新的認識和發(fā)現(xiàn)，

41、更為重要的是這種思維能力可以成為學生以后勇于探究，敢于創(chuàng)新的基礎.</p><p>　　在數(shù)學教學中，適當加強推廣形式的教學有著非常重要的意義.這里列舉三個推廣形式</p><p><b>　　推廣1</b></p><p><b>　　將推廣到的形式，.</b></p><p><b>

42、　　用歸納法證明</b></p><p>　　時不等式成立，假設時不等式成立，有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則只需證</b></p><p><b>

43、　?、?lt;/b></p><p><b>　　②</b></p><p><b>　?、?②得</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　所以時不等式亦成立，故原不等式始終成立.</p><p><b>　　

44、推廣2</b></p><p><b>　　設,為正數(shù)，則</b></p><p>　　利用柯西不等式即可證明.</p><p><b>　　推廣3</b></p><p><b>　　為正數(shù)，則.</b></p><p><b>

45、　　利用</b></p><p><b>　　，則</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　…… ……</p><p><b>

46、　　(n)</b></p><p>　　上述式子兩邊分別相加，得</p><p><b>　　左邊</b></p><p><b>　　右邊</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　上式兩邊同加上

47、，有</b></p><p>　　上式用數(shù)學歸納法即可證明.</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　所有的證明方法和推廣形式能讓學生產(chǎn)生一種奇異美，使得零散的知識點經(jīng)過分析，組合找出它們之間的邏輯關機，又經(jīng)過大腦加工，按照學生自身的認識結構同化納入自己的知識體系，變靜止的知識為運動的能力. 重視培養(yǎng)提高學生

48、的探究思維能力，才能為學生綜合性思維能力的發(fā)展打下很好的基礎，才能提高學生觀察問題、分析問題、解決問題的實際能力.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 趙春祥.證明不等式的常用技巧與策略[J] .中學數(shù)學教學參考，1995，（6）：42-43</p><p>　　[2] 王寬明.劉靜.一道不等式的證法探究及

49、推廣[J] .中學數(shù)學研究，2007（2）：33-35</p><p>　　[3] 徐玉明.數(shù)學教學中學生探究思維能力的培養(yǎng)[J] .數(shù)學教育與研究（教研版），2008（07）</p><p>　　[4] 丁金萍.中學數(shù)學探究思維能力的培養(yǎng)[J] .福建中學數(shù)學，2007（07）：18-20</p><p>　　[5] 葉慧萍.反思性教學設計[J] .數(shù)學教學研究，

50、2005（10）：20-21</p><p>　　[6] 張霞.從一個不等式的推廣談起[J].安慶師范學院學報(自然科學版)，1996（2）：91-92</p><p>　　[7] 董欲華.如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力[J].數(shù)學通報，2006（09）：20-23</p><p>　　[8] 方輝.對稱性與不等式的證明[J].黃山學院學報，1999（1）：10

51、2-104</p><p>　　[9] 王弟成.一道不等式證明過程回放[J].數(shù)學教學研究，2005（10）：21-22</p><p>　　[10] 李相普.不等式證明中的幾種新穎方法[EB/OL].</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本課題在選題及研究過程中得到xx老師的悉心指導.x老師多

52、次詢問論文進程，并為我指點迷津，幫助我開拓思路，精心點撥，熱忱鼓勵.x老師一絲不茍的作風，嚴謹求實的態(tài)度，踏踏實實的精神，不僅授我以文，而且教我做人，</p><p>　　對方x老師的感激之情是無法用言語表達的.</p><p>　　感謝我的同學xx四年來對我學習、生活的關心和幫助.</p><p>　　最后，向我的父親、母親致謝，感謝這么多年他們對我的鼓勵，理解與