氦原子基態(tài)能級的探討畢業(yè)論文正文

1、<p>　學號：</p><p>　畢業(yè)論文</p><p>　題 目：氦原子基態(tài)能級的探討</p><p>　作 者屆 別</p><p>　學 院專 業(yè)</p><p>　指導老師職 稱</p><p>　完成時間2011年5月</p>

2、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文主要研究氦原子的基態(tài)能級，通過應用雙參數(shù)變分法，選擇適當?shù)脑囂讲ê瘮?shù)，求出氦原子基態(tài)能級的能量，將其計算值與實驗值進行比較并分析了誤差，然后比較了用微擾法和變分法求出的氦原子基態(tài)能量，通過比較，發(fā)現(xiàn)雙參數(shù)變分法的優(yōu)勢是顯而易見的。</p><p>　　關鍵詞：變分法；氦原子；基態(tài)能量</p

3、><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In this paper, we mainly study the ground-state energy of the helium atom. By using the double parameters variational method, and selecting an appropriat

4、e test wave function, we calculate the helium atom ground-state energy and compare it with the experimental values. Then we compare the perturbation method result with the double parameters variational method result, and

5、 we find that the superiority of the double parameters variational method is obvious.</p><p>　　Keyword: The variational method；Helium atoms；Ground-state energy</p><p><b>　　目 錄</b>&l

6、t;/p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　目 錄III</b></p><p>　　第一章 緒 論1</p><p><b>　　1.1引言1</b></

7、p><p>　　1.2 選題的依據(jù)和意義1</p><p>　　1.2.1 選題的依據(jù)1</p><p>　　1.2.2 選題的意義1</p><p>　　1.3 本文的主要研究內容2</p><p>　　第二章 變分法介紹3</p><p>　　2.1變分法原理3</p&g

8、t;<p>　　2.2變分法求體系基態(tài)能量的步驟5</p><p>　　2.2.1 選取一個參量的嘗試波函數(shù)5</p><p>　　2.2.2 選取兩個參量的嘗試波函數(shù)5</p><p>　　第三章 氦原子基態(tài)能量的變分計算6</p><p>　　3.1嘗試波函數(shù)的選擇6</p><p>　　

9、3.2氦原子能量平均值的計算7</p><p>　　第四章 結果比較17</p><p>　　4.1氦原子基態(tài)能量的計算值與實驗值比較17</p><p>　　4.2一參變分法與二參變分法比較17</p><p>　　4.3變分法與微擾法比較18</p><p><b>　　參考文獻19<

10、/b></p><p><b>　　致 謝20</b></p><p>　　第一章 緒 論</p><p>　　1.1引言 </p><p>　　對氦原子基態(tài)能級的探討一般選用微擾法及變分法，本文重點討論變分法對氦原子基態(tài)能級的求解。變分法是解決氦原子和類氦離子基態(tài)問題的強有力工具，到目前為

11、止，國內外為追求高精度所選取的變分參數(shù)個數(shù)已由數(shù)百增至數(shù)千，在忽略核質量的情況下，它們的非相對論基態(tài)波函數(shù)和能量的不確定度分別達到10～10和10，這對于計算高精度的相對論修正和輻射修正具有非常重要的意義。在量子力學教科書中，一般介紹的近似求解法是微擾法和變分法，而變分法中選擇的嘗試波函數(shù)一般是一個參數(shù)型的，例如周世勛編《量子力學》、曾謹言著《量子力學教程》等介紹的便是用一個參數(shù)型的嘗試波函數(shù)變分法求氦原子體系基態(tài)能級。</p&g

12、t;<p>　　l.2 選題的依據(jù)和意義</p><p>　　1.2.1 選題的依據(jù)</p><p>　　在量子力學中，對于具體物理問題的薛定諤方程，可以精確求解的問題是很少的。在經常遇見的許多問題中，由于體系的哈密頓算符比較復雜，往往不能求得精確的解，而只能求近似解。微擾法和變分法都是用來求問題的近似解的方法。</p><p>　　用微擾法求氫原子和

13、類氫離子是比較適合的，但是遇到比氫原子稍微復雜一點的氦原子時，微擾法就不及變分法容易和求解精確。用一參變分法即選用含一個參數(shù)的嘗試波函數(shù)，這種波函數(shù)形式簡單，其物理意義清晰，物理模型簡單，適用于教育教學，但精確度比較低。選用含二參數(shù)的嘗試波函數(shù)，這樣的模型相對于更多參數(shù)的波函數(shù)要簡單，又比一參變分法求解精確度高很多，這樣既有利于理解怎樣用變分法求基態(tài)能級，可適用于教學,又能求得比一參法更為精確的數(shù)值，因而具有重要的物理意義。</p

14、><p>　　1.2.2 選題的意義</p><p>　　氦原子是比類氫離子這種單粒子體系復雜但是相對于其他粒子要簡單的粒子，研究氦原子這種簡單的多粒子體系，對于研究更復雜的多粒子體系具有重要的意義。變分法是解決氦原子和類氦原子的強有力工具，只要選擇合適的試探波函數(shù)，對于提高求解能級近似值有很大的幫助。</p><p>　　l.3 本文的主要研究內容</p>

15、<p>　　本文主要研究氦原子的基態(tài)能級，通過應用雙參數(shù)變分法，選擇適當?shù)脑囂讲ê瘮?shù)，求出氦原子基態(tài)能級的能量，并將計算值與試驗值進行比較，再與用微擾法求出的氦原子基態(tài)能量結果進行對比，通過對比體現(xiàn)出用變分法求氦原子基態(tài)能級的優(yōu)越性。</p><p>　　第二章 變分法介紹</p><p><b>　　2.1變分法原理 </b></p>

16、<p>　　已知量子力學中用微擾法求解問題的條件是體系的哈密頓算符可以分為和兩部分： </p><p><b>　　=+，</b></p><p>　　其中的本征值與本征函數(shù)是已知的，而很小。如果這些條件不能滿足，微擾法就不能應用。因而在遇到不是很小的情況下，就需要尋找另外的

17、求解方法，量子力學中求解問題的又一種簡單方便的方法——變分法的應用不受上述條件的限制。</p><p>　　設體系哈密頓算符的本征值由小到大的順序排列為：</p><p>　　,, ,，, (1)</p><p>　　與這些本征值對應的本征函數(shù)是：</p><p>　　,,,,,

18、 (2)</p><p>　　和是基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。為簡單起見，我們假定的本征值E是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一系。于是有</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　設是任意一個歸一化的波函數(shù)，將按展開：</p><p><b>　　(4)</b></p&g

19、t;<p>　　在Ψ所描寫的狀態(tài)中，體系能量的平均值是</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　將(4)式代入(5)式，得</p><p><b>　　應用(3)式有</b></p><p><b>　　(6)</b></p>

20、<p>　　由于是基態(tài)能量，所以(n=1,2, …)，在上式中用代替，則</p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　最后一步用了的歸一化條件。</p><p>　　(6)式和(7)式給出：</p><p><b>　　(8)</b></p><p

21、>　　這個不等式說明，用任意波函數(shù)算出的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當恰好是體系的基態(tài)波函數(shù)時，的平均值才等于能量。</p><p>　　上面討論中曾假定是歸一化的，如果不是歸一化的，那么(5)式應該寫為：</p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　(8)式應寫為

22、 </p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　根據(jù)波函數(shù)算出的平均值總是不小于，我們可以選取很多的并算出的平均值，這些平均值中最小的一個最接近于。</p

23、><p>　　2.2變分法求體系基態(tài)能量的步驟 </p><p>　　2.2.1 選取一個參量的嘗試波函數(shù)</p><p>　　選取含有一個參量的嘗試波函數(shù)代入(5)式和 (9)式，算出平均能量，然后由 </p><p><

24、b>　　(11)</b></p><p>　　求出的最小值。所得結果就是的近似值。</p><p>　　2.2.2 選取兩個參量的嘗試波函數(shù)</p><p>　　選取含有兩個參量、的嘗試波函數(shù)代入(5)式和 (9)式，算出平均能量，然后由</p><p>　　=0，=0 (12)</p>

25、;<p>　　求出的最小值，所得結果就是的近似值。</p><p>　　第三章 氦原子基態(tài)能量的變分計算</p><p>　　根據(jù)第二章變分法原理可知，氦原子的基態(tài)能量可由下式計算得到：</p><p><b>　　(13)</b></p><p>　　其中，為哈密頓算符, Ψ為歸一化的試探波函數(shù)。<

26、;/p><p>　　若波函數(shù)未歸一化，氦原子的基態(tài)能量可由下式計算得到：</p><p><b>　　(13.1)</b></p><p>　　氦原子有一個原子核和兩個電子，它們都處于運動狀態(tài)。由于原子核的質量相對于電子非常大,核的運動比電子的運動要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈密頓算符可寫為：</p><p>

27、;　　() (14)</p><p>　　其中，是電子質量，與分別代表第一、第二個電子到核的距離；為兩個電子之間的距離。</p><p>　　為方便計算，采用原子單位(其中能量單位為哈特利,即)，氦原子體系的非相對論哈密頓算符可寫為：</p><p>　　=()+ (14.1)</p><p>　　3.1嘗試波

28、函數(shù)的選擇</p><p>　　用變分法求近似解的關鍵在于選擇合適的嘗試波函數(shù)，嘗試波函數(shù)選得好，可以在很大程度上提高計算結果的精度。</p><p>　　對類氫離子,電子的基態(tài)波函數(shù)為(取原子單位,以下暫不考慮歸一化常數(shù)),它所表示的狀態(tài)有這樣一個特點:電子的最概然半徑為,電子在半徑為的球殼附近分布的概率較大。對于類氦離子,如果不考慮兩個電子相互排斥作用,則基態(tài)波函數(shù)為,二電子的最概然半

29、徑皆為,但若考慮兩電子的相互作用,利用單參數(shù)變分法求得基態(tài)近似波函數(shù)為：</p><p><b>　　(15)</b></p><p>　　(15)式中=.在這種模型下,由于排斥作用,兩個電子的最概然半徑增長到.我們認為這個模型仍然比較粗糙,二電子之間的關系考慮得不夠,現(xiàn)將試探波函數(shù)改進為如下形式：假如二電子可以區(qū)分即存在某種差別,我們設想由于二電子的徑向排斥作用,電

30、子1的最概然半徑為且處于形式為的波函數(shù)描述的狀態(tài),電子2的最概然半徑為且處于形式為的波函數(shù)描述的狀態(tài),則兩個電子的基態(tài)波函數(shù)可寫作：</p><p><b>　　(16)</b></p><p><b>　　,為變分參數(shù)。</b></p><p>　　顯然,上述說法不滿足全同粒子波函數(shù)交換對稱性的要求,事實上我們不能說清某

31、個電子處于哪個狀態(tài).由于基態(tài)為態(tài),波函數(shù)的自旋部分是反對稱的,空間部分要求是對稱的,因此,滿足交換對稱性要求的波函數(shù)為:</p><p><b>　　(17)</b></p><p>　　值得強調,如果,則式(17)退化為單參數(shù)的.它們究竟會不會相等不是由想象而是由變分原理——能量平均值取極小值條件來決定.在計算時，需注意以上波函數(shù)是未歸一化的。</p>

32、<p>　　3.2氦原子能量平均值的計算</p><p>　　利用(14.1)式和(16)式，我們先計算，然后計算。有：</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　= (18.1)</p><p><b>　　(18.2)</b></p>

33、<p>　　+ (18.3)</p><p>　　首先，求解(18)式中的(18.1)式，有</p><p>　　= (18.1-1)</p><p><b>　　(18.1-2)</b></p><p>　　先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有</p><

34、;p><b>　　= </b></p><p><b>　　{}</b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　= (18.1-1.1)</p><p>　　接著求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有&l

35、t;/p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　=

36、 (18.1-2.1)</p><p>　　然后，求解(18)式中的(18.2)式，有</p><p>　　= (18.2-1)</p><p><b>　　(18.2-2)</b></p><p>　　先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有</p><p><b>　　=&l

37、t;/b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　={}</b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　=

38、 (18.2-1.1)</p><p>　　接著求解(18.2)式中的(18.2-2)式，有</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b&

39、gt;　　=</b></p><p>　　= (18.2-2.1)</p><p>　　最后，求解(18)式中的(18.3)式，這里根據(jù)參考文獻，有</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b><

40、/p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　+</b></p>

41、;<p><b>　　+</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　+ </b></p>

42、<p><b>　　+ </b></p><p><b>　　+ </b></p><p>　　= (18.3-1)</p><p>　　計算完了，接著計算。有：</p><p><b>　　=</b></p><p>&l

43、t;b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　=

44、 (19)</p><p>　　由于波函數(shù)Ψ（，）是未歸一化的波函數(shù)，因此由(9)式、(18)式各個計算結果、(19)式計算結果可知：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　(20)</b></p>&l

45、t;p>　　將(20)式右邊分子分母同乘可得： </p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　- (21)</b></p><p>　　根據(jù)(12)式=0，=0，以及(21)式的結果，有：</p><p><b>　　(22)</b>

46、;</p><p><b>　　(23)</b></p><p>　　聯(lián)立(22)、(23)可解得有用的，有：</p><p>　　， (24)</p><p>　　將(24)式的結果代入(20)式可解得：</p><p><b>　

47、　(25)</b></p><p>　　上面所求采用的是原子單位制，因此在國際單位制中，最后求得的，亦即氦原子的基態(tài)能量為： </p><p>　　(26) </p><p><b>　　第四章 結果比較</b></p><p>　　4.1氦

48、原子基態(tài)能量的計算值與實驗值比較</p><p>　　由參考文獻可知用實驗方法得出氦原子基態(tài)能量為，而用變分法算出來的結果由(26)式可知為。其相對誤差為：</p><p><b>　　(27)</b></p><p>　　4.2一參變分法與二參變分法比較</p><p>　　由參考文獻可知用一參變分法計算能量，準確到第

49、一級近似的結果為，而用實驗方法得出氦原子基態(tài)能量為，可算出其相對誤差為：</p><p><b>　　(28)</b></p><p>　　從(27)式和(28)式可以看出，用二參變分法計算氦原子基態(tài)能量比用一參變分法計算氦原子基態(tài)能量又要精確很多。由此可知，求多粒子體系的基態(tài)能量時，變分法的參數(shù)的多少對求解結果的影響也是很大的。</p><p&g

50、t;　　4.3變分法與微擾法比較</p><p>　　由參考文獻可知用微擾法計算能量，準確到第一級近似的結果為，而用實驗方法得出氦原子基態(tài)能量為，可算出其相對誤差為： </p><p>　　(29)比較（27）式、(28)式和(29)式可以看出，用變分法計算氦原子基態(tài)能量比用微擾法計算氦原子基態(tài)能量要精確很多。由此可知，求多粒子體系的基態(tài)能量時，變分法有著微擾法無法比擬的優(yōu)越性。</

51、p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 周世勛.量子力學[M]. 北京：高等教育出版社,1979.</p><p>　　[2] 余鳳軍.氦原子及類氦原子基態(tài)的二參數(shù)變分法研究[J],大學物理,2008,27(5)</p><p>　　[3] 馬二俊.類氦原子體系基態(tài)能量變分法的數(shù)值研究[J],大

52、學物理,2003,23(6)</p><p>　　[4] 陳小波.應用雙參數(shù)法對氦原子基態(tài)能級的研究[J],太原師范學院學報, 2006,5(4)</p><p>　　[5] 楊漢嵩,李元杰.氦原子組態(tài)能級的變分法計算[J].黃河科技大學學報.2007,9(4)</p><p>　　[6]陳玉紅,李延龍. He原子基態(tài)能量與波函數(shù)的變分計算[J],甘肅工業(yè)大學學報,

53、2003,29(4)</p><p>　　[7] 胡先權,許杰,馬勇,殷霖.四參數(shù)法計算氦原子基態(tài)能級[J].云南大學學報（自然科學版）,2005,27(5A)</p><p>　　[8]李青仁.用變分法求解氦原子的基態(tài)能級[J].松遼學刊（自然科學版），1998，(4)</p><p>　　[9] 楊銅鎖.氦原子及類氦離子基態(tài)能級與波函數(shù)研究[J].陜西師范大學學

54、報（自然科學版）2002,30(2)</p><p>　　[10]孟現(xiàn)柱.氦原子及類氦原子基態(tài)能量的經驗公式[J].光譜實驗室,2004,21(5)</p><p>　　[11] 劉玉孝, 陳玉紅,張麗杰. He原子非相對論基態(tài)能量的變分計算_英文_[J],原子與分子物理學報,2005，22(2)</p><p>　　[12]C.Le Sech,G.Hadinger