最優(yōu)化課程設計--共軛梯度法算法分析與實現(xiàn)

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文檔簡介

1、　　最優(yōu)化方法課程設計　　（設計程序）　　題目共軛梯度法算法分析與實現(xiàn) 　　班級 / 學號 14140101/2011041401011 　　學生姓名

2、黃中武 　　指導教師王吉波王微微 　　課程設計任務書　　課程名稱最優(yōu)化方法課程設計 　　院（系）理學院專業(yè) 信息與計算科學

3、 　　課程設計題目共軛梯度法算法分析與實現(xiàn) 　　課程設計時間: 2014 年 6月 16日至 2014 年 6月 27日　　課程設計的要求及內(nèi)容：　　[要求]　　學習態(tài)度要

4、認真，要積極參與課程設計，鍛煉獨立思考能力；　　嚴格遵守上機時間安排；　　按照MATLAB編程訓練的任務要求來編寫程序；　　根據(jù)任務書來完成課程設計論文；　　報告書寫格式要求按照沈陽航空航天大學“課程設計報告撰寫規(guī)范”；　　報告上

5、交時間：課程設計結(jié)束時上交報告；　　嚴禁抄襲行為，一旦發(fā)現(xiàn)，課程設計成績?yōu)椴患案瘛?lt;/p>　　運用共軛梯度法求解無約束最優(yōu)化問題　　要求：1）了解求解無約束最優(yōu)化問題的共軛梯度法；　　2）繪出程序流程圖；　　3）編寫求解無約束最優(yōu)化問題的

6、共軛梯度法MATLAB程序；　　4）利用編寫文件求解某無約束最優(yōu)化問題；　　5）給出程序注釋。　　指導教師年月日　　負責教師

7、年月日　　學生簽字年月日　　沈陽航空航天大學　　課程設計成績評定單　　課程名稱最優(yōu)化理論與算法課程設計

8、 　　院（系）理學院專業(yè) 信息與計算科學 　　課程設計題目共軛梯度法算法分析與實現(xiàn) 　　學號 2011041401011 姓名黃中武 &l

9、t;b>　　指導教師評語：　　課程設計成績 　　指導教師簽字 　　年月日　　目

10、錄　　一、正文1　　二、總結(jié)2　　參考文獻3　　附錄4<p&

11、gt;　　一、正文　　一無約束最優(yōu)化問題的共軛梯度法　　共軛梯度法最初是由Hesteness和Stiefel于1952年為求解線形方程組而提出的。后來，人們把這種方法用于求解無約束最優(yōu)化問題，使之成為一種重要的最優(yōu)化方法。　　下面，重點介紹Fletcher-Reeves共軛

12、梯度法，簡稱FR法。　　共軛梯度法的基本思想是把共軛性與最速下降法相結(jié)合，利用已知點處的梯度構(gòu)造一組共軛方向，并沿這組方向進行搜索，求出目標函數(shù)的極小點。根據(jù)共軛梯度方向的基本性質(zhì)，這種方法具有二次終止性。首先討論對于二次函數(shù)的共軛梯度法，然后再把這種方法推廣到極小化一般函數(shù)的情形。考慮問題　　其中A是對稱正定矩陣，c是常數(shù)。&l

13、t;p>　　具體求解方法如下：　　首先，任意給定一個初始點，計算出目變函數(shù)在這點的梯度，若=0，則停止計算，否則，令　　沿方向搜索，得到點，計算在處的梯度，若，則利用和構(gòu)造第二個搜索方向，再沿搜索。　　一般地，若已知點和搜索方向，則從出發(fā)，沿進行搜索，得到</p&

14、gt;　　其中步長滿足　　此時可求出的顯式表達。令　　求得極小點，令　　根據(jù)二次函數(shù)的梯度表達式，即　?。?0.3.16）</p&

15、gt;　　由（10.3.16）式得到　?。?0.3.17）　　計算在處的梯度，若，則停止計算；否則，用和構(gòu)造下一個搜索方向，并使和關于共軛。按此設想，令 　?。?0.3.18）<p&g

16、t;　　上式兩端左乘，并令　　由此得到　　（10.3.19）　　再從出發(fā)，沿方向搜索　　綜上分析，在第一個搜索方向取負梯度的前提下，重復使用公式（10.3.1

17、4），（10.3.17），（10.3.18）和（10.3.19），就能伴隨計算點的增加，構(gòu)造出一組搜索方向。　　二程序流程圖　　N　　Y 　　圖一共軛梯度

18、法程序流程圖　　三共軛梯度法的MATLAB程序　　function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)　　maxk=5000;　　rho=0.6;sigma=0.4;　　k=0;epsilon=1e-7;&l

19、t;/p>　　n=length(x0);　　while (k<maxk)　　g=feval(gfun,x0);　　itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));　　itern=itern+1;<p

20、>　　if(itern==1)　　d=-g;　　else　　beta=(g'*g)/(g0'*g0);　　d=-g+beta*d0;

21、　　gd=g'*d;　　if(gd>=0)　　d=-g;　　end　　end</b

22、>　　if (norm(g)<epsilon)　　break;　　end　　m=0;

23、　mk=0;　　while (m<20)　　if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)　　mk=m;

24、break;　　end　　m=m+1;　　end　　x0=x0+rho^mk*d;　　val=f

25、eval(fun,x0);　　g0=g;　　d0=d;　　k=k+1;　　end

26、;　　x=x0;　　val=feval(fun,x);　　function f=fun(x)　　f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;　　function g=gfun(x)<

27、p>　　g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]'　　四利用所編程序求解實際問題　　例 　　該問題有精確解　　利用所編程序求解此問

28、題，在命令窗口輸入：　　運行結(jié)果為：　　五程序注釋　　function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)　　%用FR共軛梯度法求解無約束問題：min f(x)</p&

29、gt;　　%輸入：x0時初始點，fun，gfun分別是目標函數(shù)和梯度　　%輸出：x，val分別是近似最優(yōu)點和最優(yōu)值，k是迭代次數(shù)。　　maxk=5000;%最大迭代次數(shù)　　rho=0.6;sigma=0.4;　　k=0;epsilon=1e-7;&l

30、t;/p>　　n=length(x0);　　while (k<maxk)　　g=feval(gfun,x0);%計算梯度　　itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));　　itern=itern+1;%計算搜索方向</

31、p>　　if(itern==1)　　d=-g;　　else　　beta=(g'*g)/(g0'*g0);　　d=-g+beta*d0;

32、;　　gd=g'*d;　　if(gd>=0)　　d=-g;　　end

33、;　　end　　if (norm(g)<epsilon)%檢驗終止條件　　break;　　end　　m=0;

34、　　mk=0;　　while (m<20)　　if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)　　mk=m;&

35、lt;p>　　break;　　end　　m=m+1;　　end　　x0=x0+rho^mk*d;

36、;　　val=feval(fun,x0);　　g0=g;　　d0=d;　　k=k+1;　　end&

37、lt;/p>　　x=x0;　　val=feval(fun,x);　　function f=fun(x)　　f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;%需要求解的函數(shù)　　functio

38、n g=gfun(x)　　g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]'%梯度　　二、總結(jié)　　不知不覺，一個學期就這樣過去了，隨著期末尾聲的到來，《最優(yōu)化》這門課也已經(jīng)結(jié)課了，接著而來的是為期兩個星期

39、的課程設計。　　作為信息與計算科學系的一員，我們在課堂上接觸最多的就是理論部分，剛好課程設計可以給我們驗證理論，聯(lián)系實際的機會，所以，這次課程設計，我一直都在認真完成。在拿到自己的課程設計題目的時候，我對它進行了一定時間的審題，題目中要求我用共軛梯度法求解無約束優(yōu)化問題，所以我拿到課本，仔細地看了共軛梯度法的原理與例題求解，以便幫助我更好的理解共軛梯度法的應用。<

40、p>　　我記得，再一次研究生面試中，有的老師問過考生：你在你的大學生涯中學到了什么？如果讓我回答，我會說：我學到了一種發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的方法，這種方法是在我的學習中慢慢形成的一種潛移默化的思想，關于學到的內(nèi)容，我們不會一直保留太清晰的記憶，也不會在以后的生活中用到太多，就像買菜不會用到微積分，不會求導，但是，數(shù)學方法和思想給我們思考問題所帶來的方法論卻是大有裨益。　　這次課程設計，我發(fā)現(xiàn)

41、我的很多不足，比如在MATLAB上的應用上，我還不熟練，這與我在平時的練習中沒有加以重視有關，而且在《最優(yōu)化》的很多知識點上，自己還沒有很好地掌握。　　最后，我要感謝我們的任課教師王吉波老師，感謝他在給我們上課中的帶來的幽默感和知識的傳授。在此，祝愿老師身體健康，工作順利。　　完稿日期: 2014 年 6月 21日<p

42、>　　參考文獻　　[1] 陳寶林.《最優(yōu)化理論與算法》[M].北京,清華大學出版社,2013.　　[2] 劉衛(wèi)國.《MATLAB程序設計教程》[M].北京,中國水利水電出版社,2010.　　[3] 馬昌鳳.《最優(yōu)化方法及其MATLAB程序設計》[M].北京,科學出版社,

43、2010.　　附錄　　源程序:　　function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)　　maxk=5000;　　rho=0.6;s

44、igma=0.4;　　k=0;epsilon=1e-7;　　n=length(x0);　　while (k<maxk)　　g=feval(gfun,x0);　　itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));<

45、;/p>　　itern=itern+1;　　if(itern==1)　　d=-g;　　else　　beta=(g'*g)/(g0'*g0);</p

46、>　　d=-g+beta*d0;　　gd=g'*d;　　if(gd>=0)　　d=-g;　　end

47、　　end　　if (norm(g)<epsilon)　　break;　　end<b

48、>　　m=0;　　mk=0;　　while (m<20)　　if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)<b&g

49、t;　　mk=m;　　break;　　end　　m=m+1;　　end<

50、;p>　　x0=x0+rho^mk*d;　　val=feval(fun,x0);　　g0=g;　　d0=d;　　k=k+1;&l

51、t;p>　　end　　x=x0;　　val=feval(fun,x);　　function f=fun(x)　　f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;</p

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