自動控制課程設(shè)計報告---二階水箱液位控制系統(tǒng)設(shè)計

1、<p>　　二階水箱液位控制系統(tǒng)設(shè)計</p><p><b>　　二階水箱介紹</b></p><p>　　A3000現(xiàn)場系統(tǒng)包括三水箱，一個鍋爐，一個強(qiáng)制換熱器，兩個水泵，兩個流量計，一個電動調(diào)節(jié)閥。其他還包括加熱管，大水箱。圖見1-1。</p><p>　　在本次課程設(shè)計中，首先選取A3000裝置中的3#水箱和4#水箱串聯(lián)組成的液

2、位控制系統(tǒng)，選取控制變量為變頻泵的頻率，被控變量為4#水箱的液位。針對上述系統(tǒng)首先建立被控對象模型，然后使用控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)箱搭建電路，模擬水箱液位控制系統(tǒng)的被控對象，最后針對搭建的模擬對象設(shè)計控制系統(tǒng)，滿足控制要求。</p><p>　　圖1-2 控制流程圖</p><p><b>　　控制系統(tǒng)設(shè)計任務(wù)</b></p><p>　　通過測量實(shí)際

3、裝置的尺寸，采集DCS系統(tǒng)的數(shù)據(jù)建立二階水箱液位對象模型。（先建立機(jī)理模型，并在某工作點(diǎn)進(jìn)行線性化，求傳遞函數(shù)）</p><p>　　根據(jù)建立二階水箱液位對象模型，在計算機(jī)自動控制實(shí)驗(yàn)箱上利用電阻、電容、放大器的元件模擬二階水箱液位對象。</p><p>　　通過NI USB-6008數(shù)據(jù)采集卡采集模擬對象的數(shù)據(jù)，測試被控對象的開環(huán)特性，驗(yàn)證模擬對象的正確性。</p><

4、;p>　　采用純比例控制，分析閉環(huán)控制系統(tǒng)隨比例系數(shù)變化控制性能指標(biāo)（超調(diào)量，上升時間，調(diào)節(jié)時間，穩(wěn)態(tài)誤差等）的變化。</p><p>　　采用PI控制器，利用根軌跡法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用Matlab中 SISOTOOLS設(shè)計控制系統(tǒng)性能指標(biāo)，并將控制器應(yīng)用于實(shí)際模擬仿真系統(tǒng)，觀測實(shí)際系統(tǒng)能否達(dá)到設(shè)計的性能指標(biāo)。</p><p>　　采用PID控制，分析不同參數(shù)下，控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)效

5、果。</p><p>　　通過串聯(lián)超前滯后環(huán)節(jié)校正系統(tǒng)，使用Matlab中 SISOTOOLS設(shè)計控制系統(tǒng)性能指標(biāo)，并將校正環(huán)節(jié)應(yīng)用于實(shí)際模擬仿真系統(tǒng)，觀測實(shí)際系統(tǒng)能否達(dá)到設(shè)計的性能指標(biāo)。</p><p>　　通過控制實(shí)驗(yàn)說明采樣周期、開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的影響 </p><p>　　為被控對象設(shè)計最小拍無差控制器，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析 （選做）</p&g

6、t;<p>　　為被控對象增加純滯后環(huán)節(jié)，使用PID控制算法進(jìn)行控制，分析控制效果 （選做）</p><p><b>　　建模方法</b></p><p>　?。ㄒ唬┰囼?yàn)建模：實(shí)驗(yàn)曲線：</p><p>　　1、中水箱（一階環(huán)節(jié)）</p><p><b>　?、偕闲?lt;/b></p

7、><p>　　起始值（1189,30.06），穩(wěn)定值43.27</p><p>　　由于穩(wěn)態(tài)值的0.632倍對應(yīng)得時間為T</p><p>　　即：30.06+（43.27-30.06）*0.632=38.41對應(yīng)時間t為1312</p><p>　　故：T=1312-1189=123</p><p><b>　

8、　故傳遞函數(shù)為 </b></p><p><b>　?、谙滦?lt;/b></p><p>　　起始值（2120,43.27），穩(wěn)定值30.06</p><p>　　由于穩(wěn)態(tài)值的0.632倍對應(yīng)得時間為T</p><p>　　即：43.27-（43.27-30.06）*0.632=34.92 對應(yīng)時間t為2235&

9、lt;/p><p>　　故：T=2235-2120=115</p><p><b>　　故傳遞函數(shù)為 </b></p><p>　　2、下水箱（二階環(huán)節(jié)）</p><p>　　起始值（1189,35.30），穩(wěn)定值50.77</p><p>　　穩(wěn)態(tài)值的0.4倍對應(yīng)得時間為t1，</p>

10、<p>　　即35.3+（50.77-35.30）*0.4=41.488 對應(yīng)時間t為1331，故t1=1331-1189=142</p><p>　　穩(wěn)態(tài)值的0.8倍對應(yīng)得時間為t2，</p><p>　　即35.3+（50.77-35.30）*0.8=47.676 對應(yīng)時間t為1497，故t2=1497-1189=308</p><p><b&

11、gt;　　解得：</b></p><p><b>　　故傳遞函數(shù)為：</b></p><p><b>　?。ǘC(jī)理建模：</b></p><p>　　建立該系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型</p><p>　　控制作用為u1，控制調(diào)節(jié)閥的開度，從而影響第一個水箱的液位H1和第二個水箱的液位H2。水

12、箱面積：A1為900，A2為700，u2為48，u3為51.</p><p>　　取被控變量為第二個水箱的液位H2，建立二階水箱的傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　當(dāng)水箱液位穩(wěn)定時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值如下：</p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　根據(jù)物料平衡</b>

13、;</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　將（1）帶入（2）可得：</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　?。?）線性模型仿真</b></p><p>　　對關(guān)系方程進(jìn)行增量化，并在工作點(diǎn)處進(jìn)行線

14、性化</p><p>　　a.先求出穩(wěn)態(tài)時關(guān)系式</p><p><b>　　考慮到：</b></p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　(5)</b></

15、p><p>　　將（3）和（5）帶入（7）得出：</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　b.將（4）帶入（3），進(jìn)而對微分方程中的各變量用相應(yīng)的增量代替，有：</p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　即：

16、 （8）</p><p>　　c. 為了將上述微分方程（8）進(jìn)行線性化，將 在 處展開成Taylor級數(shù)，只取到線性項：</p><p>　　= （9）</p><p>　　，將 在 處展開成Taylor級數(shù)，只取到線性項：</p><p><b>　?。?0）&

17、lt;/b></p><p>　　將（9）和（10）帶入到（8），則：</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　d.最后得到線性化的微分方程</p><p>　　由（6）和（11）得：</p><p><b>　　（12）</b></p&

18、gt;<p>　　則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：</p><p><b>　　(13)</b></p><p><b>　　帶入數(shù)據(jù)則有：</b></p><p><b>　?。?4）</b></p><p>　　e.將上狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)：</p>&l

19、t;p><b>　　(15)</b></p><p><b>　　(16)</b></p><p><b>　　(17)</b></p><p><b>　　(18)</b></p><p><b>　　(19)</b><

20、/p><p>　　根據(jù)公式 及（16）、（17）、（19）則有：</p><p><b>　　(20)</b></p><p>　　即： (21)</p><p><b>　　仿真電路圖設(shè)計</b></p><p>　　

21、以理論模型為設(shè)計依據(jù)，并將傳遞函數(shù)的時間常數(shù)縮小10倍得出仿真?zhèn)鬟f函數(shù)：</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>　　二階系統(tǒng)仿真電路圖可設(shè)計如下：</p><p>　　根據(jù)式（22）則有：</p><p><b>　　(23)</b></p><p>

22、　　取C1=C2=22uF，則根據(jù)式（23）及試驗(yàn)箱限制可取R1=300 kΩ (200 kΩ+100 kΩ)，</p><p>　　R2=492 kΩ（510 kΩ），R3=200 kΩ，R4=522kΩ（510 kΩ），R5=450kΩ（200 kΩ+兩個510 kΩ并聯(lián)），R6=200 kΩ</p><p>　　模擬仿真對象開環(huán)特性曲線：</p><p>　　

23、如左圖可以看出模擬系統(tǒng)的開環(huán)特性曲線與系統(tǒng)理論的開環(huán)特性曲線有較好的吻合度，出現(xiàn)誤差的原因在于搭建電路過程中，試驗(yàn)箱中電阻、電容等元器件與標(biāo)注值有誤差，從而影響電路實(shí)際的放大倍數(shù)及時間常數(shù)，另外，由于連接電路的電線電阻及接觸點(diǎn)電阻的影響，也會使得電路模型與理論模型有一定的偏差，在允許的試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)，這些誤差可以忽略，即可以認(rèn)為試驗(yàn)?zāi)M仿真對象與實(shí)際仿真對象開環(huán)曲線基本吻合。</p><p>　　四、比例、積分、

24、微分控制</p><p>　　1、純比例控制下的仿真曲線分析</p><p>　　⑴不同比例系數(shù)下系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線如下：</p><p>　?、貹p=0.2 ②Kp=0.5</p><p>　?、跭p=1

25、 ④Kp=2</p><p>　?、軰p=5 ⑥Kp=10</p><p>　　⑦Kp=50 ⑧Kp=200</p><p>　　⑨Kp=1000 ⑩Kp=10000&

26、lt;/p><p>　　不同kp下的實(shí)際響應(yīng)曲線：</p><p>　　不同kp下的理論響應(yīng)曲線：</p><p>　?。?）比例調(diào)節(jié)的動態(tài)性能指標(biāo)：</p><p><b>　　P實(shí)際</b></p><p><b>　　P理論</b></p><p>

27、　　由分析可知，比例控制為基于偏差的控制，系統(tǒng)響應(yīng)速度快。系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)與Kp大小有關(guān)，隨著比例系數(shù)Kp的增大，比例作用增強(qiáng)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，上升時間、調(diào)節(jié)時間、峰值時間減小，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸減小；但超調(diào)量增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，當(dāng)Kp過大時，系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定。</p><p>　　2、PI控制下的仿真曲線分析</p><p>　　⑴閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線(Kp=2)</p>&

28、lt;p><b>　?、賂i=0.2</b></p><p>　?、赥i=1 ③Ti=2</p><p><b>　　④Ti=5</b></p><p>　?、軹i=8 ⑥Ti

29、=10</p><p>　?、逿i=20 ⑧Ti=50</p><p>　?、酺i=200 ⑩ Ti=10000</p><p>　　不同積分時間下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線：</p><p><b>　　

30、（2）參數(shù)分析：</b></p><p>　　單位階躍輸入下實(shí)際PI控制(kp=2)</p><p>　　單位階躍輸入下理論P(yáng)I控制(kp=2)</p><p>　　由分析可知，比例積分控制為無偏差控制，無穩(wěn)態(tài)誤差。在Kp不變的前提下，系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)與Ti大小有關(guān)，隨著積分系數(shù)Ti的增大，積分作用減弱，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間減小，超調(diào)量減小

31、，系統(tǒng)穩(wěn)定性提高，當(dāng)Ti過小時，積分作用很強(qiáng)，系統(tǒng)相應(yīng)速度慢，系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定。</p><p><b>　　(3)根軌跡分析：</b></p><p><b>　?、賂i=0.2</b></p><p><b>　　②Ti=1</b></p><p><b>　?、?/p>

32、Ti=2</b></p><p><b>　?、躎i=5</b></p><p><b>　?、軹i=8</b></p><p><b>　?、轙i=10</b></p><p><b>　?、逿i=20</b></p><

33、p><b>　?、郥i=50</b></p><p><b>　?、酺i=200</b></p><p>　　PI控制器相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加了一個位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，同時也增加了一個位于s域左半平面的開環(huán)零點(diǎn)。位于原點(diǎn)的極點(diǎn)可以提高系統(tǒng)的型別，以消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而增加的負(fù)實(shí)零點(diǎn)則用來減小系統(tǒng)的阻尼程度，緩和PI控制

34、器極點(diǎn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)過程產(chǎn)生的不利影響。</p><p>　　由根軌跡圖形可以看出當(dāng)Ti取值較小時，系統(tǒng)存在s域右半平面的極點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，隨著積分常數(shù)的增加，系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)向左半平面靠攏，系統(tǒng)穩(wěn)定</p><p>　　3、PID控制下的仿真曲線分析（kp=2,Ti=10）</p><p>　　(1)閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線：</p><p&g

35、t;　?、賂d=0.1 ②Td=0.5</p><p>　　③Td=2 ④Td=5</p><p>　?、軹d=10 ⑥Td=20</p><p><b&g

36、t;　?、逿d=100</b></p><p>　　不同微分時間時系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線：</p><p><b>　　(2)、參數(shù)分析</b></p><p>　　單位階躍輸入下實(shí)際PID控制(kp=2，Ti=10)</p><p>　　單位階躍輸入下理論P(yáng)ID控制(kp=2,Ti=10)</p>

37、<p>　　保持Kp和Ti不變，改變Td，當(dāng)Td較小時，理論P(yáng)ID控制的各項參數(shù)與實(shí)際PID控制誤差較小，在誤差允許的范圍內(nèi)理論與實(shí)際曲線相吻合；當(dāng)Td較大時，微分作用過強(qiáng)，引起震蕩，偏差較大，另外由于飽和非線性的影響，實(shí)際曲線與理論曲線有較大差別。</p><p>　　PID控制是P、I、D控制的綜合，綜合了三者的優(yōu)點(diǎn)：快速響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)誤差較小，動態(tài)性能較好，其中D控制是影響系統(tǒng)的動態(tài)系能，隨著Td的增

38、大，微分作用增強(qiáng)，超調(diào)量較小，但調(diào)節(jié)時間增加，可以取適當(dāng)?shù)腡d值來綜合兩者的要求，既能保證動態(tài)系能，又有較好的調(diào)節(jié)時間。</p><p><b>　　五、串聯(lián)校正</b></p><p>　　1、系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)實(shí)際、理論曲線： </p><p>　　原傳遞函數(shù)閉環(huán)曲線參數(shù)(實(shí)際)</p><p>　　原傳遞函數(shù)閉環(huán)曲線

39、參數(shù)(理論)</p><p>　　校正前系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差都比較大，考慮到是階躍響應(yīng)，設(shè)計 ，則有k 9，取k=9，待校正的開環(huán)傳遞函數(shù)為 </p><p>　　2、待校正傳遞函數(shù)閉環(huán)階躍響應(yīng)實(shí)際、理論曲線 </p><p><b>　　幅頻特性曲線如下：</b></p><p>　　待校正參數(shù)（實(shí)際）放

40、大倍數(shù)k=9</p><p>　　待校正參數(shù)（理論）放大倍數(shù)k=9</p><p><b>　　3、設(shè)定要求值</b></p><p><b>　　要求控制參數(shù)計算：</b></p><p>　　→ ζ=0.404</p><p>　　→ ωn=1.089(rad/s)&

41、lt;/p><p>　　→ ωc’’=0.928(rad/s)</p><p>　　令ωm=ωc根據(jù)幅頻特性曲線可得：</p><p>　　-L’(ωc’’)=L(ωm)=10lga=18</p><p><b>　　則a=63.1</b></p><p>　　T= =0.1156</p&g

42、t;<p>　　因此超前網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為</p><p>　　（說明：為了補(bǔ)償無源超前網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的增益衰減，放大器的增益需要提高4倍，否則不能保證穩(wěn)態(tài)誤差要求）</p><p>　　則：校正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：</p><p>　　校正后階躍響應(yīng)理論曲線：</p><p><b>　　校正后參數(shù)（理論）</b>&

43、lt;/p><p><b>　　校正后（實(shí)際）</b></p><p>　　六、采樣周期、開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的影響</p><p>　　1、采樣周期對系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的影響（kp=5）</p><p>　　從圖中可以看出，仿真周期越小，舍入誤差越大。同一種算法下，仿真周期越小，截斷誤差越小。當(dāng)采樣周期較大時，

44、系統(tǒng)超調(diào)量增大，會出現(xiàn)震蕩，穩(wěn)定性變差。</p><p>　　一般來講，仿真周期越大，計算速度越快，但仿真穩(wěn)定性越差。在確定的積分算法下，保證計算精度和穩(wěn)定的條件下，盡量選用大的仿真周期，能減少積分次數(shù)</p><p>　　2、開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的影響（Ts=0.2）</p><p>　　Kp增大，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸減小，但超調(diào)量增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，當(dāng)Kp過

45、大時，系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定。</p><p>　　七、最小拍無差控制器</p><p>　　g=tf([1.414],[107.1477 20.723 1]); %被控對象傳遞函數(shù)g的MATLAB描述</p><p><b>　　t=0.1 </b></p><p>　　a=c2d(g,t,'zoh')

46、; %用零階保持器離散化，求脈沖傳遞函數(shù)a</p><p>　　b=zpk([],[1],1,t); %計算 /[1 - ]</p><p>　　D=b/a; %計算D（z）</p><p>　　m=d2c(D); %拉氏變換&

47、lt;/p><p>　　1、simulink仿真</p><p><b>　　2、實(shí)際系統(tǒng)仿真</b></p><p>　　3、加飽和非線性環(huán)節(jié)的simulink仿真</p><p>　　分析：通過simulink進(jìn)行仿真，得到理論圖形，由圖可以看出，理論上經(jīng)過一拍即可以穩(wěn)定</p><p>　　純滯

48、后環(huán)節(jié)PID控制</p><p>　　純延時環(huán)節(jié)Simulink仿真原理圖</p><p>　　參數(shù)設(shè)置kp=1，Ti=10，Td=5</p><p>　　分析：增加延時后，系統(tǒng)的超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時間變長，穩(wěn)定性變差</p><p>　　基于狀態(tài)空間法單級倒立擺的控制系統(tǒng)設(shè)計</p><p><b>　　單級

49、倒立擺介紹</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合等特性，是控制理論的典型研究對象。如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等均涉及到倒置問題對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均有著深遠(yuǎn)意義。</p><p>　　單級倒立擺系統(tǒng)的原理圖，如圖1所示。假設(shè)已知擺的長度為2l，質(zhì)量為m，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為M

50、的小車上。小車由一臺直流電動機(jī)拖動，在水平方向?qū)π≤囀┘涌刂屏，相對參考系差生的位移s。若不給小車實(shí)施控制力，則倒置擺會向左或向右傾倒，因此，它是個不穩(wěn)定的系統(tǒng)?？刂频哪康氖峭ㄟ^控制力u的變化，使小車在水平方向上運(yùn)動，達(dá)到設(shè)定的位置，并將倒置擺保持在垂直位置上。</p><p>　　已知單級倒立擺的各項數(shù)據(jù)如下所示：</p><p>　　圖1 單級倒立擺模型</p><

51、;p><b>　　控制系統(tǒng)設(shè)計任務(wù)</b></p><p>　　查閱文獻(xiàn)，建立單級倒立擺的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型。取狀態(tài)變量。測試系統(tǒng)的開環(huán)特性。</p><p>　　用Matlab分析系統(tǒng)能控性，能觀性及穩(wěn)定性。</p><p>　　通過狀態(tài)反饋配置改變閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)自行決定。采用極點(diǎn)配置后，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)滿足如下要求為：<

52、/p><p>　　擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒</p><p>　　位移的上升時間小于2秒</p><p>　　角度的超調(diào)量小于20度</p><p>　　位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。</p><p>　　假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)均無法測量，為實(shí)現(xiàn)上述控制方案建立系統(tǒng)的全維觀測器，觀測器極點(diǎn)自行決定。采用帶有觀察器極點(diǎn)配置后，閉

53、環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)滿足如下要求為：</p><p>　　擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒</p><p>　　位移的上升時間小于2秒</p><p>　　角度的超調(diào)量小于20度</p><p>　　位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。</p><p>　　假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)中，只用位移s可以測量，其他狀態(tài)變量均無法測量，為實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配

54、置，建立系統(tǒng)的降維觀測器，觀測器極點(diǎn)自行決定。采用帶有觀測器極點(diǎn)配置后，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)滿足如下要求為：</p><p>　　擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒</p><p>　　位移的上升時間小于2秒</p><p>　　角度的超調(diào)量小于20度</p><p>　　位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。</p><p>　　

55、（選作）設(shè)計LQR（Linear Quadratic Regulator，線性二次型調(diào)節(jié)器）控制方案，使得倒立擺系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，并有較好的抗干擾性。用狀態(tài)反饋法設(shè)計控制器，使得當(dāng)在小車上施加階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：</p><p>　　擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒</p><p>　　位移的上升時間小于2秒</p><p>　　角度的超調(diào)量小于20度

56、</p><p>　　位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。</p><p>　　三、建立單級倒立擺的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型</p><p>　　取狀態(tài)變量。測試系統(tǒng)的開環(huán)特性。</p><p>　　左圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。已知單級倒立擺的各項數(shù)據(jù)如下所示：</p><p&

57、gt;<b>　　1、水平方向；</b></p><p><b>　　2、垂直方向： </b></p><p><b>　　根據(jù)力矩平衡方程：</b></p><p>　?。ㄒ?yàn)楹苄。?lt;<1,所以=，=1）</p><p>　　3、設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：</

58、p><p>　　方程組消去P，N變量，對解代數(shù)方程，解得如下：</p><p>　　4、整理得到系統(tǒng)狀態(tài)方程</p><p><b>　　5、將已知的代入</b></p><p>　　上面所得的狀態(tài)空間方程，得</p><p>　　6、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：</p><p>&

59、lt;b>　　7、測試開環(huán)特性：</b></p><p>　　四、系統(tǒng)能控性，能觀性及穩(wěn)定性分析：</p><p><b>　　1. 能控性判別</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 -0.239 0;0 0 0 1;0 0 10.039 0]; </p><p>　　B=[0;0.

60、4878;0;-0.4878]; </p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p><b>　　D=[0;0];</b></p><p>　　由M=ctrb(A,B)得</p><p>　　rank(M)=4 滿秩 故系統(tǒng)完全能控</p><p><b>　

61、　2. 能控性判別</b></p><p>　　由N=obsv(A,C)得</p><p>　　rank(N)=4 滿秩 故系統(tǒng)完全能觀</p><p><b>　　3.穩(wěn)定性分析</b></p><p>　　系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　開環(huán)特征方程為

62、：</b></p><p>　　由特征方程可知：系統(tǒng)特征值為0，0，3.1686,-3.1686</p><p>　　平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，此系統(tǒng)不滿足條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。另由開環(huán)特性曲線也可知系統(tǒng)不穩(wěn)定。</p><p>　　五、通過狀態(tài)反饋配置改變閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)</p><p>　　化簡得

63、ζ^2*(3.1415926-acos(ζ))^2=3.0976*(1-ζ^2)</p><p><b>　　由MATLAB求解</b></p><p>　　ζ=solve('(ζ^2*(3.1415926-acos(ζ))^2=3.0976*(1-ζ^2))')</p><p><b>　　得ζ=0.6183<

64、/b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　可取</b></p><p><b>　　閉環(huán)特征方程為</b></p><p><b>　　解得&

65、lt;/b></p><p><b>　　選取主導(dǎo)極點(diǎn)位</b></p><p>　　選取副極點(diǎn)為-10和-15，由此可得，</p><p>　　極點(diǎn)矩陣P=[ -10 -15 -1.2240+1.3198*j -1.2240-1.3198*j]</p><p>　　反饋矩陣K=place(A,B,P)= [

66、-101.6658 -93.7573 -561.8524 -150.0263]</p><p><b>　　極點(diǎn)配置系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖</b></p><p>　　由圖可知，前面增益選取K=-101.5，使位移穩(wěn)定在1，且穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，上升時間小于2秒，調(diào)節(jié)時間小于5秒，角度的最大超調(diào)量為0.19rad，轉(zhuǎn)換成角度為10.89度小于20度，所以此極點(diǎn)配置滿足要求。&

67、lt;/p><p>　　六、建立系統(tǒng)的全維觀測器</p><p>　　選取主導(dǎo)極點(diǎn)-1.2240+1.3198*j ， -1.2240-1.3198*j</p><p>　　選取副極點(diǎn)為-10和-15，由此可得，</p><p>　　極點(diǎn)矩陣P=[ -10 -15 -1.2240+1.3198*j -1.2240-1.3198*j]<

68、/p><p>　　反饋矩陣K=place(A,B,P)= [-101.6658 -93.7573 -561.8524 -150.0263]</p><p><b>　　由全維觀測器方程</b></p><p>　　其中G為輸出誤差反饋矩陣。</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 -0.239 0;0 0 0

69、 1;0 0 10.039 0]; </p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p>　　P=[ -10 -15 -1.2240+1.3198*j -1.2240-1.3198*j];</p><p>　　G=place(A',C',P)'</p><p>　　G = 10.1472

70、 -1.6985</p><p>　　1.1450 -16.4899</p><p>　　1.0851 17.3008</p><p>　　27.3771 45.9363</p><p>　　全維觀測器模擬結(jié)構(gòu)圖</p><p>　　全維觀測器位移s和角度響應(yīng)曲線： </p>

71、<p><b>　　位移對比曲線：</b></p><p><b>　　角度對比曲線：</b></p><p>　　由圖可知，前面增益選取K=-101.5，使位移穩(wěn)定在1，且穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，上升時間小于2秒，調(diào)節(jié)時間小于5秒，角度的最大超調(diào)量為0.19rad，轉(zhuǎn)換成角度為10.89度小于20度，所以此全維觀測器滿足系統(tǒng)要求。</

72、p><p>　　加入擾動后各參量對比曲線如下：</p><p><b>　　位移響應(yīng)曲線：</b></p><p><b>　　角度響應(yīng)曲線：</b></p><p>　　設(shè)置初始值后各參量對比曲線如下：</p><p>　　如圖，加入擾動與不加擾動對比曲線，開始時兩者有一定的偏

73、差，經(jīng)過一段時間后，偏差越來越小，逐漸趨向穩(wěn)定。</p><p><b>　　3s時加擾動：</b></p><p>　　位移響應(yīng)曲線對比圖：</p><p>　　角度響應(yīng)曲線對比圖：</p><p>　　如圖所示，在開始時兩者曲線重合，在3s是加入擾動，兩曲線開始出現(xiàn)偏差，經(jīng)過一定時間后偏差消除，系統(tǒng)趨向穩(wěn)定。<

74、/p><p><b>　　七、降維觀測器</b></p><p>　　位移s是可以測量的，其他的狀態(tài)變量都不可以測量，為實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置，建立系統(tǒng)的降維觀測器</p><p><b>　　系統(tǒng)為</b></p><p><b>　　為計算方便，令，則</b></p>&l

75、t;p><b>　　所以， </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　rankC=1，4-1=3，所以需設(shè)計3維降維觀測器，</p><p><b>　　由上可知</b></p><p>　　主導(dǎo)極點(diǎn)P=[ -10 -1.2240+1.319

76、8*j -1.2240-1.3198*j];</p><p>　　=(place(A11',A21’ ,P))';</p><p><b>　　帶入式：</b></p><p><b>　　，+得：</b></p><p>　　反饋矩陣K=place(A,B,P)= [-101.6

77、658 -93.7573 -561.8524 -150.0263]</p><p>　　1、全維觀測器模擬結(jié)構(gòu)圖</p><p>　　加入降維觀測器后各參量曲線：</p><p><b>　　速度曲線：</b></p><p><b>　　角度曲線：</b></p><p&

78、gt;<b>　　角速度曲線：</b></p><p>　　由位移角度響應(yīng)曲線可知，穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，上升時間小于2秒，調(diào)節(jié)時間小于5秒，角度的最大超調(diào)量為0.19rad，轉(zhuǎn)換成角度為10.89度小于20度，所以滿足要求。</p><p><b>　　2、在3s時加擾動</b></p><p><b>　　速度曲

79、線</b></p><p><b>　　角度對比曲線</b></p><p><b>　　角速度曲線</b></p><p>　　當(dāng)3s時加擾動后，實(shí)際值出現(xiàn)偏差，但經(jīng)過一定時間后偏差消除，系統(tǒng)穩(wěn)定。</p><p><b>　　八、LQR控制方案</b></

80、p><p>　　線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型?？紤]線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：</p><p>　　找一狀態(tài)反饋控制律：，使得二次型性能指標(biāo)最小化：</p><p>　　其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；、為起始時間與終止時間；為終態(tài)約束矩陣；為運(yùn)動約束矩陣；為約束控制矩陣。其中、決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。</p&

81、gt;<p>　　為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：</p><p>　　式中，矩陣為微分Riccatti方程：的解。</p><p>　　如果令終止時間，為一個常數(shù)矩陣，且，因此以上的Riccatti方程簡化為。</p><p>　　對于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取。將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如下圖

82、所示。</p><p>　　用Matlab求解lqr(A, B, Q, R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個參數(shù)和，這兩個參數(shù)是用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，代表擺桿位置的權(quán)重，而是小車角度的權(quán)重。</p><p><b>　　1、改變角度權(quán)重</b></p><p>　　(1)選取Q=[50 0 0 0; 0 0 0

83、 0; 0 0 50 0; 0 0 0 0]; R=1;</p><p><b>　　編程實(shí)現(xiàn)：</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 -0.239 0;0 0 0 1;0 0 10.039 0] ; </p><p>　　B=[0 0.4878 0 -0.4878]';</p>&l

84、t;p>　　Q=[50 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 50 0; 0 0 0 0];</p><p><b>　　R=1;</b></p><p>　　K=lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　解得K=[ -7.0711 -9.9800 -89.5996 -28.3748]</p><p>

85、;　　Simulink結(jié)構(gòu)圖為：</p><p><b>　　系統(tǒng)響應(yīng)曲線為：</b></p><p>　　位移變量上升時間為2.5s，角度的超調(diào)量為5.7度，位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，擺桿角度和小車的穩(wěn)定時間為5.5s。</p><p>　　(2)選取Q=[50 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1000 0; 0 0 0 0]; R

86、=1;</p><p>　　解得K=[-7.0711 -10.7407 -100.5220 -30.3150]</p><p><b>　　系統(tǒng)響應(yīng)曲線為：</b></p><p>　　位移變量上升時間為3s，角度的超調(diào)量為5.7度，位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，擺桿角度和小車的穩(wěn)定時間為6s。</p><p>　　分析：

87、增大角度權(quán)重位移響應(yīng)速度變慢，角度響應(yīng)曲線沒有太大變化，對整體性能有一定影響。</p><p><b>　　2、改變位置權(quán)重</b></p><p>　　(1)選取Q=[50 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 50 0; 0 0 0 0]; R=1;</p><p>　　解得K=[ -7.0711 -9.9800 -89.599

88、6 -28.3748]</p><p><b>　　系統(tǒng)響應(yīng)曲線為：</b></p><p>　　位移變量上升時間為2.5s，角度的超調(diào)量為5.7度，位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，擺桿角度和小車的穩(wěn)定時間為6s。</p><p>　　(2)選取Q=[1000 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 50 0; 0 0 0 0]; R=1;<

89、;/p><p>　　解得K=[ -31.6228 -31.6566 -175.8630 -55.9751]</p><p><b>　　系統(tǒng)響應(yīng)曲線為：</b></p><p>　　位移變量上升時間為1s，角度的超調(diào)量為11.5度，位移的穩(wěn)態(tài)誤差小于2%，擺桿角度和小車的穩(wěn)定時間為3s，滿足系統(tǒng)性能要求指標(biāo)。</p><p