應(yīng)用時(shí)空守恒元和解元方法數(shù)值研究潰壩洪水波和ESWL中的聚焦沖擊波.pdf

1、本文主要應(yīng)用一種全新的數(shù)值方法(即:時(shí)空守恒元和解元方法)來(lái)數(shù)值研究潰壩洪水波和水下沖擊波在其最成功的醫(yī)學(xué)應(yīng)用ESWL(Extracorporeal Shock Wave Lithotripsy)中的聚焦行為。它們分別屬于兩類不同的波:淺水波和水下沖擊波。雖然它們物理形態(tài)不同,但是都屬于雙曲波的范疇,因此可用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式來(lái)描述它們并進(jìn)行數(shù)值研究。
　　橫斷河流的攔河大壩有蓄水、防洪、灌溉、發(fā)電等造福于人類的功能,河流兩岸的堤防保

2、護(hù)人類免于洪水滅頂之災(zāi),但是,它們又對(duì)人類生命和財(cái)產(chǎn)具有潛在的巨大危險(xiǎn)。當(dāng)人為原因或自然力造成大壩或堤防潰壩時(shí),大量水體突然釋放而形成的狂暴的洪水會(huì)對(duì)下游滯洪區(qū)造成毀滅性的災(zāi)難。因此,預(yù)測(cè)和確定潰壩壩址的流量和水位過(guò)程線,以及洪水向下游演進(jìn)時(shí)沿程各處的流量、水位、流速、波前和洪峰到達(dá)的時(shí)間等具有重要的意義,長(zhǎng)久以來(lái)一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的關(guān)注。因其突發(fā)性、暴烈性和災(zāi)害性,難以獲得真實(shí)潰壩水流的直接觀測(cè)數(shù)據(jù)。
　　數(shù)學(xué)上,可采用淺水

3、方程來(lái)描述潰壩洪水波的流動(dòng)。而無(wú)論淺水方程的初始值是否光滑,其解都可能產(chǎn)生間斷,即流場(chǎng)中出現(xiàn)涌波。對(duì)于潰壩洪水,其初始條件本身就是間斷的,構(gòu)成了淺水方程的Riemann問(wèn)題。所以數(shù)值研究潰壩水流具有特定的困難,尤其是在超臨界流情況,多數(shù)算法常常失效。由重力引起的淺水運(yùn)動(dòng)與無(wú)粘可壓縮流體的不定常流動(dòng)在數(shù)學(xué)上是同類的,因此求解含沖擊波的空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法經(jīng)過(guò)適當(dāng)改造,可用于求解含潰壩波的淺水運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。體外沖擊波聚焦粉碎結(jié)石術(shù)(ESWL

4、)因無(wú)手術(shù)的侵入性創(chuàng)傷又能有效地粉碎人體結(jié)石,目前已成為治療尿路結(jié)石的一種常用臨床手段。ESWL通過(guò)水下放電或爆炸產(chǎn)生沖擊波,利用聚焦沖擊波的高能量密度和空化作用而粉碎結(jié)石。一般認(rèn)為ESWL沖擊波的負(fù)壓波段是引起水空化的主要原因。然而,臨床和實(shí)驗(yàn)研究均發(fā)現(xiàn)伴隨著ESWL的不同形式損傷,例如血尿、慢性出血、多重腎軟組織內(nèi)的血腫、以及腎水腫等。因此,在沖擊波醫(yī)療技術(shù)中,醫(yī)療效率和安全性十分重要。為了ESWL碎石效率最優(yōu)化和組織損傷最小化,確

5、定聚焦沖擊波的動(dòng)力學(xué)焦點(diǎn)和研究負(fù)壓的產(chǎn)生和演化過(guò)程具有很重要的意義。沖擊波是一種非線性波,對(duì)于它線性波的Snell反射定律等不再成立。
　　水下沖擊波聚焦的數(shù)值研究,必須考慮水的可壓縮性,本文采用Tait狀態(tài)方程來(lái)描述水的特性,并假設(shè)水是無(wú)粘的、運(yùn)動(dòng)中無(wú)熱傳導(dǎo)和熱輻射。這樣,在數(shù)學(xué)形式上,可以借助空氣動(dòng)力學(xué)中研究沖擊波的一系列方法,來(lái)研究ESWL中的水下沖擊波傳播、反射和聚焦。淺水方程和理想可壓縮流體的不定常運(yùn)動(dòng)的Euler方程可

6、以統(tǒng)一寫成一個(gè)守恒形式的雙曲型一階擬線性偏微分方程組。潰壩洪水涌波和水下沖擊波,在數(shù)學(xué)上分別表現(xiàn)為淺水方程和Euler方程的廣義解(也稱為物理解)。由于雙曲波在科學(xué)問(wèn)題中的廣泛性、多樣性和重要性,發(fā)展求解雙曲型一階擬線性偏微分方程組廣義解的數(shù)值方法,一直是非線性問(wèn)題研究的一個(gè)熱點(diǎn),盡管已經(jīng)出現(xiàn)了大量的數(shù)值格式,新方法依然層出不窮。其中值得注意的是ChangS.C在1995年提出了一種求解雙曲型方程的嶄新的數(shù)值方法,即時(shí)空守恒元和解元(C

7、E/SE)方法(space-timeConservationElementandSolutionElementmethod),目前,已被美國(guó)NASA列為第二代CFD程序中的主要算法之一。CE/SE方法不是對(duì)以前方法的改進(jìn)和優(yōu)化,而是一種全新的數(shù)值方法,無(wú)論從概念上還是從構(gòu)造方法上都與傳統(tǒng)的數(shù)值方法(如:有限差分法、有限元法、有限體積法、特征線法等)有所不同,具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn):首先,該方法把時(shí)間與空間完全統(tǒng)一起來(lái)同等對(duì)待,從守恒積分型方程出

8、發(fā),通過(guò)設(shè)立守恒元和解元,使格式局部和全局都嚴(yán)格保證其物理意義上的守恒律;其次,它把流場(chǎng)基本變量及其對(duì)空間偏導(dǎo)數(shù)都作為獨(dú)立變量,同時(shí)進(jìn)行求解。與傳統(tǒng)方法相比,在相同網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的情況下,格式的精度可以達(dá)到更高;第三,它除利用了簡(jiǎn)單的Taylor級(jí)數(shù)展開式外,無(wú)需任何其它的數(shù)值逼近技術(shù),無(wú)需求解Riemann問(wèn)題,也不需要任何單調(diào)性限制或特征技術(shù),因此該方法格式構(gòu)造思想非常簡(jiǎn)單,物理意義清晰,通用性好;最后,該方法可直接推廣到多維情形,無(wú)需采

9、用維數(shù)分解或交替方向技術(shù)。該方法不僅可用于求解連續(xù)流動(dòng)問(wèn)題,而且可用于求解含有沖擊波等不連續(xù)流動(dòng)問(wèn)題,其高分辨率的數(shù)值結(jié)果甚至比目前廣泛流行的某些高分辨率格式的計(jì)算結(jié)果還好。目前,CE/SE方法已經(jīng)用于一些復(fù)雜流場(chǎng)的計(jì)算,如內(nèi)爆和外爆問(wèn)題、聲/波及波/渦干擾問(wèn)題、ZND爆轟波問(wèn)題等,但運(yùn)用該方法來(lái)計(jì)算本文關(guān)注的潰壩洪水波問(wèn)題和ESWL中的水下沖擊波聚焦問(wèn)題迄今未見先例。
　　本文首先經(jīng)過(guò)適當(dāng)改造張?jiān)霎a(chǎn)等改進(jìn)的CE/SE方法來(lái)離散淺

10、水方程,建立一維數(shù)學(xué)模型和二維基于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的數(shù)學(xué)模型來(lái)分別研究理想條件下和簡(jiǎn)單計(jì)算區(qū)域的潰壩洪水波的運(yùn)動(dòng)特性。其次,進(jìn)一步改進(jìn)和構(gòu)造了CE/SE方法求解雙曲型方程的數(shù)值格式,建立了基于非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格的二維數(shù)值格式,使之既能夠滿足精度的要求,又能很好的擬和復(fù)雜的計(jì)算邊界。第三,采用本文建立的新的CE/SE數(shù)值格式來(lái)離散淺水方程,建立了基于非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格的二維數(shù)學(xué)模型來(lái)研究復(fù)雜邊界下的潰壩洪水波的運(yùn)動(dòng)特性。第四,應(yīng)用本文建立的新的CE/SE

11、數(shù)值格式來(lái)離散Euler方程,建立了研究ESWL中的水下聚焦沖擊波的二維數(shù)學(xué)模型,以球面壓電陶瓷型ESWL為例,研究負(fù)壓的產(chǎn)生及其演化的過(guò)程。第五,為了數(shù)值追蹤ESWL中的水下沖擊波的波陣面的傳播,本文從另外一個(gè)角度出發(fā),采用CCW幾何沖擊波動(dòng)力學(xué)方法來(lái)建立數(shù)學(xué)模型,研究ESWL中的沖擊波的波陣面的演化、聚焦的問(wèn)題。以上建立的數(shù)學(xué)模型都是本人采用FORTREAN語(yǔ)言來(lái)編寫代碼,實(shí)現(xiàn)功能。本文成功應(yīng)用CE/SE方法用來(lái)計(jì)算潰壩洪水波問(wèn)題和

12、ESWL中的水下沖擊波聚焦的問(wèn)題,使得此新方法的應(yīng)用面進(jìn)一步的拓寬。潰壩洪水波的計(jì)算表明:本文建立的基于時(shí)空守恒元和解元方法的潰壩洪水波數(shù)學(xué)模型格式簡(jiǎn)單,穩(wěn)定性好,通用性更好,計(jì)算量小,計(jì)算結(jié)果精度高,對(duì)潰壩波間斷具有很高的分辨率,能夠很好的展示潰壩波的運(yùn)動(dòng)特性,是研究潰壩洪水波一種高精度的新的數(shù)值方法,為預(yù)估和應(yīng)對(duì)潰壩洪水的毀滅性災(zāi)難提供一種有效的新的研究手段。ESWL的計(jì)算算例表明:本文建立的基于時(shí)空守恒元和解元方法的求解ESWL中

13、的水下沖擊波的數(shù)學(xué)模型,第一次數(shù)值模擬了球面壓電陶瓷型ESWL的沖擊波傳播的壓力場(chǎng),從計(jì)算結(jié)果可知,由于在邊緣衍射產(chǎn)生的負(fù)壓,使得在焦點(diǎn)附近的壓力在沖擊波的正壓作用以后緊跟著負(fù)壓的作用,說(shuō)明球面壓電陶瓷型ESWL水下沖擊波聚焦時(shí)出現(xiàn)空化是不可避免的,所以在球面壓電陶瓷型EWSL機(jī)的設(shè)計(jì)制造及臨床應(yīng)用中,都不可忽視空蝕。其次,建立的基于CCW幾何沖擊波動(dòng)力學(xué)方法的數(shù)學(xué)模型能夠很好的追蹤沖擊波波陣面?zhèn)鞑サ那闆r,數(shù)值解展示了球面壓電陶瓷型EW