四元數(shù)矩陣的奇異值分解及其應(yīng)用.pdf

1、四元數(shù)是在1843年由英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓首先發(fā)現(xiàn)的。四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重大事件。四元數(shù)在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等方面有著廣泛和重要的應(yīng)用。特別是近年來，四元數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)，工程技術(shù)中的應(yīng)用越來越多，更加受到人們的重視。
　　 矩陣分解是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要內(nèi)容。矩陣的奇異值分解不僅是矩陣?yán)碚摵途仃囉?jì)算的最基本和最重要的工具之一，而且在控制理論、系統(tǒng)辨識、信號處理、最優(yōu)化問題、特征值問題、最小二乘問題以及統(tǒng)計(jì)學(xué)等

2、方面都有直接而重要的應(yīng)用。
　　 本文主要討論了四元數(shù)矩陣奇異值分解的算法及其應(yīng)用。一方面，借助于四元數(shù)矩陣的復(fù)表示，利用四元數(shù)友向量的性質(zhì)構(gòu)造性地證明了四元數(shù)矩陣的奇異值分解定理，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了四元數(shù)矩陣奇異值分解的算法。另一方面，本文借助于復(fù)數(shù)矩陣的Householder變換將四元數(shù)矩陣的復(fù)表示矩陣約化為雙對角矩陣，然后對Householder變換約化出的雙對角矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到四元數(shù)矩陣奇異值分解的奇異值，在四元數(shù)

3、矩陣及其復(fù)表示矩陣結(jié)構(gòu)關(guān)系的意義下構(gòu)造左右奇異值向量，給出了四元數(shù)矩陣奇異值分解的另一個(gè)算法。
　　 在應(yīng)用方面，本文介紹了四元數(shù)矩陣的彩色圖像模型，討論了四元數(shù)矩陣的奇異值分解與彩色圖像的特征、彩色圖像重構(gòu)和彩色圖像去噪等問題。在彩色圖像去噪的效果上，本文提出了分塊四元數(shù)矩陣奇異值分解的方法，使得去噪后圖像的信噪比有所提高。
　　 本文對文中提出的算法給出了數(shù)值算例，而且，在Matlab7.0編程環(huán)境下，利用這些算法進(jìn)