相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調(diào)整回歸模型及其在金融時(shí)間序列中的應(yīng)用.pdf

1、經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在獨(dú)立性假設(shè)之上的.獨(dú)立隨機(jī)變量的極限理論在20世紀(jì)30年代至40年代已經(jīng)得到完善的發(fā)展，這些極限理論在統(tǒng)計(jì)學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，是人們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ).雖然獨(dú)立性假設(shè)在某些時(shí)候是合理的，但是要驗(yàn)證一個(gè)樣本的獨(dú)立性是很困難的.而且在大部分的實(shí)際問(wèn)題中，樣本也并非是獨(dú)立的觀測(cè)值，因此，在20世紀(jì)50年代，隨機(jī)變量的相依性概念引起了概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家的研究興趣，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的某些分支，如馬氏鏈，隨機(jī)場(chǎng)理論以及時(shí)間序

2、列分析等學(xué)科中被相繼提出，取得了大量的研究成果.在相依數(shù)據(jù)的研究中混合相依是廣泛應(yīng)用的概念.混合相依是指序列變量之間的相依關(guān)系是以時(shí)間或空間的距離衰退的，即當(dāng)隨機(jī)變量的指標(biāo)只差趨于無(wú)窮時(shí)，隨機(jī)變量是漸近獨(dú)立的.
　　 在經(jīng)濟(jì)金融，氣象，水文，工程技術(shù)，自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中，人們會(huì)遇到各種各樣的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)大多以時(shí)間序列的形式出現(xiàn)的.例如股票的每日收盤價(jià)格，產(chǎn)品的年銷量，國(guó)民生產(chǎn)總值的年數(shù)據(jù)等等.因此，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行研究

3、，可以揭示各種現(xiàn)象變化和發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)于人們正確的認(rèn)識(shí)事物并且由此作出科學(xué)的決策具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.
　　 協(xié)變量調(diào)整回歸模型是最近新提出的一種統(tǒng)計(jì)分析方法.假設(shè)X和Y分別為預(yù)測(cè)變量和響應(yīng)變量，在傳統(tǒng)的回歸模型中，通過(guò)(X，Y)的觀測(cè)值來(lái)研究X和Y之間的關(guān)系.但是，在實(shí)際問(wèn)題中，變量X和Y有可能會(huì)受到其他因素的干擾，如果在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)沒有把干擾因素考慮進(jìn)來(lái)，就可能會(huì)得到不準(zhǔn)確的或者是錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)推斷.而協(xié)變量調(diào)整回歸模型就是

4、考慮干擾因素的影響，稱干擾因素為協(xié)變量，研究在協(xié)變量影響下X和Y之間的關(guān)系.
　　 協(xié)變量調(diào)整模型提出以后，由于其重要的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值，受到了人們的廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了各種各樣的推廣，主要包括數(shù)據(jù)類型的推廣和模型類型的推廣.數(shù)據(jù)類型的推廣大多是把獨(dú)立同分布場(chǎng)合推廣到縱向數(shù)據(jù)場(chǎng)合.模型類型的推廣主要包括變系數(shù)模型，非線性模型和部分線性模型等等.本文中，我們?cè)跀?shù)據(jù)類型和模型類型兩方面都做了推廣.數(shù)據(jù)類型方面，我們把獨(dú)立同分布場(chǎng)合推廣

5、到相依數(shù)據(jù)場(chǎng)合，從而應(yīng)用到金融數(shù)據(jù)中.模型類型方面，我們分別討論了相依數(shù)據(jù)下的參數(shù)回歸模型和非參數(shù)回歸模型.
　　 1.相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調(diào)整參數(shù)回歸模型
　　 在第二章，我們討論了相依數(shù)據(jù)下的協(xié)變量調(diào)整參數(shù)回歸模型，{Yi=p∑r=0γrXir+ei，(Y)i=(Φ)(Ui)Yi,(X）ir=φr(X)ir，r=0，…，p;i=1，…，n.其中Xi0=1，φ0(·)(=)1.假設(shè)不可觀測(cè)數(shù)據(jù)｛(Ui，Xi，Yi)，i=1

6、，2,…，n｝為一個(gè)滿足α-混合條件的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程.我們的目標(biāo)是，基于觀測(cè)數(shù)據(jù){（Ui，Xi，Yi），i=1，2,…，n}估計(jì)未知回歸參數(shù)γr(r=0，1，2,…，p)并且研究估計(jì)的漸近性質(zhì).我們提出了一個(gè)兩步估計(jì)方法
　　 第一步.首先把協(xié)變量調(diào)整模型轉(zhuǎn)換為(Y)i=p∑r=0βr(Ui)(X)ir+εi,其中βr(Ui)=γr(Φ)(Ui)/φr(Ui),εi=(Φ)(Ui)ei,φ0(Ui)=1,i=1,…,n;r=0,…p

7、.(
　　 )這是一個(gè)函數(shù)型系數(shù)模型.我們采用局部線性平滑方法估計(jì)模型中的系數(shù)函數(shù)數(shù)βr(·)，r=0，…，p.記θ≡θ(u0)=(β(u0)T，β'(u0)T)，最小化下面的加權(quán)平方和n∑i{(Y)i-p∑r=0[βr(u0)+βr'(u0)（Ui-u0）](X)ir}2Kh（Ui-u0），可以得到θ的最小二乘估計(jì)(θ)=（(X)TW(X)）-1(X)TW(Y)，則系數(shù)函數(shù)βr(·)的估計(jì)為βr(=)βr(u0)=eTr,2p

8、+2(θ)，其中eTr,2p+2為2p+2維向量，第r個(gè)元素為1，其他元素為零.
　　 第二步.我們提出回歸參數(shù)γr，r=0，1，…，p的估計(jì)為(γ)0=1/nn∑k=1(β)0(Uk)(γ)r=1/(X)·1/nn∑k=1(β)r(Uk)(X)kr,r=1,2…,p,其中(X)r=1/n∑nk=1(X)kr.
　　 我們討論參數(shù)估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì).定理2.1證明了估計(jì)的相合性，并且給出了收斂速度.定理2.2證明了參數(shù)估計(jì)的

9、漸近正態(tài)性.
　　 定理2.1.（相合性定理）假設(shè)模型滿足§2.6節(jié)中的條件(C2-1)-(C2-9)，則下面的結(jié)論成立(γ)r=γr+OP((nh)-1/2）+OP(h2)+OP（n-1/2），r=0，1，…，p.
　　 定理2.2.（漸近正態(tài)性）假設(shè)模型滿足§2.6節(jié)中的條件(C2-1)-(C2-9)，當(dāng)n→∞時(shí)，下面的結(jié)論成立√n（(γ)r-γr）D→N（0，σ2r），r=0，1，…，p，其中σ2r=γ2rE[(Φ

10、)2(U)E(X2r)]-γ2rE[φr(U)(Φ)(U)]E(X2r)+γ2r[E(Xr)]2+γ2rvar((X)r)/[E(Xr)]2
　　 為了比較協(xié)變量調(diào)整模型和一般線性模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，我們提出了一種擬合優(yōu)度檢驗(yàn).設(shè)協(xié)變量調(diào)整模型轉(zhuǎn)換為下面的函數(shù)型系數(shù)模型Y=β0(U)+β1(U)X+ε.如果函數(shù)βr(·)(r=0，1)為常數(shù)，即βr(U)(=)βr(r=0，1)，則模型轉(zhuǎn)換為一個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸模型Y=β0+β1

11、X+ε，這說(shuō)明線性回歸模型與數(shù)據(jù)擬合地更好，否則，若βr(·)(r=0，1)不恒為常數(shù)，則函數(shù)型系數(shù)模型與數(shù)據(jù)擬合地更好.設(shè)原假設(shè)為H0∶βr(U)(=)βr，r=0，1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Tn(△)(RSS0-RSS1)/RSS1=RSS0/RSS1-1.(
　　 )若Tn取值較大，則拒絕原假設(shè).我們提出了一種非參Bootstrap方法來(lái)計(jì)算上述擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的p值.
　　 為了闡明提出的方法，我們研究金融市場(chǎng)中銅現(xiàn)貨價(jià)格CS

12、P（響應(yīng)變量）和銅期貨價(jià)格CFP（預(yù)測(cè)變量）的關(guān)系.一個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸關(guān)系為CSP=β0+β1CFP+e.(
　　 )另外，滬深300股指期貨(IF)對(duì)CSP和CFP之間的關(guān)系有顯著地影響.因此，我們把IF作為協(xié)變量U，考慮下面的函數(shù)型系數(shù)回歸模型CSP=β0(IF)+β1(IF)CFP+ε,為了對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，我們采用§2.4中提出擬合優(yōu)度檢驗(yàn).結(jié)果說(shuō)明CSP和CFP之間存在非線性關(guān)系并且兩者之間的關(guān)系隨著IF的變化而變化.<

13、br>　　 2.相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調(diào)整非參數(shù)回歸模型
　　 在第三章，我們提出了相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調(diào)整非參數(shù)回歸模型，其樣本形式為{Yi=m(Xi)+εi，Yi=(Ψ)（Ui）Yi，Xi=φ（Ui）Xi，i=1，…，n.假設(shè)不可觀測(cè)樣本{（Ui，Xi，Yi），i=1，2，…，n}為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)α-混合序列.
　　 為了估計(jì)回歸函數(shù)，我們?nèi)缦碌膬刹焦烙?jì)方法:
　　 第一步.干擾函數(shù)Ψ(U)和φ(U)的估計(jì)為(Ψ)(u)

14、=1/nΣni=1Kh1(u-Ui)(Y)i/1/nΣnj=1Kh1(u-Uj)×1/(Y)(△=)(g)(Y)(u)×1/(Y)(φ)(u)=1/nΣni=1Kh2(u-Ui)(X)i/1/nΣnj=1Kh2(u-Uj)×1/(X)(△=)(g)(X)(u)×1/(X)我們可以建立一個(gè)協(xié)變量調(diào)整模型的近似表達(dá)Yi≈m(Xi)+εi.
　　 第二步.我們提出回歸函數(shù)的Nadaraya-Watson估計(jì)為(m)(x)=1/nΣni

15、=1Kh0(x-(X)i)(Y)i/1/n∑nj=1Kh0(x-(X)i)(△=)n∑i-1Wh0(x-(X)i)(Y)i,其中Wh0(x-(X)i)=Kh0(x-(X)i)/∑nj=1Kh0(x-(X)i).
　　 定理3.1證明了回歸函數(shù)的估計(jì)(m)(x）的漸近收斂性，并且給出了收斂速度.
　　 定理3.1如果§3.5中條件(A3-1)-(A3-3)以及(C3-1)-(C3-5)滿足，則下面的結(jié)論成立:supx|(m

16、)(x)-m(x)|=OP(h+(nh/log(1/h)-1/2）.
　　 我們通過(guò)模擬計(jì)算和實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用表明了協(xié)變量調(diào)整非參數(shù)回歸方法的優(yōu)良性.
　　 3.基于局部LRS方法的稀疏信號(hào)片段檢測(cè)
　　 稀疏信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題一直是信號(hào)處理中的熱點(diǎn)問(wèn)題.在高維數(shù)據(jù)中進(jìn)行稀疏信號(hào)檢測(cè)時(shí)經(jīng)常會(huì)面臨會(huì)兩個(gè)挑戰(zhàn)，一是如何提高檢測(cè)精度，二是如何降低計(jì)算復(fù)雜度.在第四章，我們提出了一個(gè)局部LRS方法.與一般的LRS方法相比，局部LR

17、S方法能顯著地提高檢測(cè)精度，降低計(jì)算復(fù)雜度.假設(shè)觀測(cè)樣本{Xi，i=1，2，…，n}來(lái)自于模型Xi=μ1I｛i∈I1}+μ2I｛i∈I2}+…+μqI｛i∈Iq}+Zi，1≤i≤n,其中I1，I2,.，Iq為不相交區(qū)間，表示位置未知的信號(hào)片段，μ1，μ2，…，μq為未知的信號(hào)強(qiáng)度.q=q(n)為未知的信號(hào)片段的個(gè)數(shù)，會(huì)隨著n的增加而增加.{Zi，i=1，2，…，n}為噪聲，令Ⅱ={I1，I2，…，Iq}表示所有的信號(hào)片段的集合.我們的目

18、標(biāo)是檢測(cè)信號(hào)片段是否存在，如果存在，識(shí)別信號(hào)片段的位置.我們把上述信號(hào)片段的檢測(cè)和識(shí)別問(wèn)題看作下面的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，H0∶Ⅱ=ΦVS.H1∶Ⅱ≠Φ，其中西表示空集.如果H1為真，說(shuō)明信號(hào)片段存在，從而我們要確定信號(hào)片段集合Ⅱ.提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為X[I]=∑i∈IXi/√|I|檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的閾值為t2n=√2logN.
　　 我們提出的LRSL算法首先從所有的點(diǎn)中選出觀測(cè)值大于t1n的“重要的”點(diǎn)，然后再考慮每一個(gè)“重要的”點(diǎn)的L-鄰

19、域.那么信號(hào)片段的合理估計(jì)應(yīng)該是對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于t2n并且取到最大值的那些區(qū)間.
　　 定理4.1證明了檢驗(yàn)方法的漸近性質(zhì).
　　 定理4.1設(shè)§4.3中的條件(C4-1)，(C4-2)滿足，另外假設(shè)K=(0)(√2logN)，γn(＞)1/√2logN，其中γn=√1+∈n-1且∈n＞0.那么，如果滿足μ≥√2(1+∈n)logN/√|I|，則下面的結(jié)論成立PH0{拒絕H0}+PH1{接受H0}→0.模擬結(jié)果表明，