李群流形的局部分析及其在曲線分析中的應(yīng)用.pdf

1、人工智能的飛速發(fā)展正在改變著人類生產(chǎn)與生活的方式。科學(xué)發(fā)現(xiàn)不斷證明我們所生存的宇宙空間具有高維、彎曲的特性，傳統(tǒng)的基于線性空間的數(shù)據(jù)描述方法必然具有模型描述上的局限性。作為一條新的途徑，數(shù)據(jù)的非線性表征及處理無(wú)疑將越來(lái)越受到重視。微分流形是數(shù)據(jù)非線性表征中具有代表性的途徑，尤其是李群流形，不但可描述數(shù)據(jù)的幾何結(jié)構(gòu)，而且可以描述數(shù)據(jù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。人類所獲知的信息80％以上來(lái)自視覺，因此視覺的智能化在人工智能領(lǐng)域占有十分重要的地位。視覺計(jì)算中

2、，對(duì)于目標(biāo)的表達(dá)大致可分為基于結(jié)構(gòu)信息和基于紋理信息兩大類。結(jié)構(gòu)信息往往提供了目標(biāo)的關(guān)鍵描述，而輪廓表征了目標(biāo)的外部形狀，提供了重要的結(jié)構(gòu)信息。因此，論文的主要工作集中于李群流形在輪廓曲線中的應(yīng)用研究。
　　論文首先討論李群流形的局部分析。通過(guò)對(duì)微分流形概念的描述，包括微分流形上的切空間、余切空間、聯(lián)絡(luò)以及測(cè)地線，引出與之相對(duì)應(yīng)的李群流形的描述。重點(diǎn)分析李群流形中的李變換群的定義、李代數(shù)空間的產(chǎn)生以及單參數(shù)子群的定義，并指出李群流

3、形的單位元局部鄰域與李代數(shù)空間零元局部鄰域之間的一一映射為指數(shù)映射及其逆映射。由此闡明李代數(shù)空間中的數(shù)據(jù)處理在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。
　　接著討論李群流形在曲線分析中的應(yīng)用。流形上的數(shù)據(jù)建模包括兩種方法：將觀測(cè)數(shù)據(jù)看成是嵌入在高維歐氏空間中的低維流形；直接依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，將其建模于流形上。待處理的輪廓曲線具有連續(xù)性、固定周期、固定均值以及封閉性的特點(diǎn)。根據(jù)李變換群的特性，歐氏空間中向量的表示可通過(guò)李變換群作用于一個(gè)單位長(zhǎng)度、

4、零角度偏差的平面向量得到。因此，任意一個(gè)離散化后的輪廓曲線可用一系列的李變換群來(lái)描述，也即將輪廓曲線的變換關(guān)系建模于李群流形上。兩個(gè)不同輪廓曲線之間的持續(xù)變換過(guò)程可描述為兩個(gè)李變換群之間測(cè)地線上的持續(xù)取值，而在李群流形中該測(cè)地線描述為單參數(shù)子群。
　　最后以三組仿真實(shí)驗(yàn)，李群流形上的任意兩個(gè)輪廓曲線的演化、其上任意兩個(gè)輪廓曲線沿輪廓曲線演化方向的外推以及非閉合曲線之間的演化與外推為例，說(shuō)明所提出方法的有效性。首先實(shí)現(xiàn)兩個(gè)規(guī)則目標(biāo)輪