常正曲率空間的局部剛性定理.pdf

1、正質(zhì)量定理是廣義相對論與微分幾何研究中的一個(gè)重要的結(jié)果，圍繞著這一結(jié)果的相關(guān)研究，已經(jīng)逐漸形成了一個(gè)蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域。
　　 早在R.Scheon和丘成桐證明正質(zhì)量定理之前，A.Fisher與J.Marsden與1975年就已經(jīng)證明了局部的正質(zhì)量定理，即在平坦流形的一個(gè)緊致子集上對度量做正數(shù)量曲率方向的形變時(shí)，得到的度量仍然是平坦的。換句話說，平坦度量在局部上是具有正數(shù)量曲率的剛性的。而M.Min-Oo于1996年證明了，在對流形

2、加入spin條件的前提之下，常正曲率空間也具有局部剛性，即如果沿著數(shù)量曲率增大的方向形變，流形必定等距于上半球面。
　　 在本文中，我們利用橢圓算子的分解定理，先證明了數(shù)量曲率在常正曲率度量附近的弱負(fù)定性，進(jìn)而再利用Morse引理，對上半球面證明了其局部剛性定理。進(jìn)一步，結(jié)合Fisher和Marsden的結(jié)果，我們即可推知非負(fù)常曲率流形在沿正數(shù)量曲率方向形變時(shí)具有局部剛性。
　　 較之M.Min-Oo的證明，我們在這里并