生物種群的數(shù)學(xué)模型.pdf

1、種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)中一個(gè)重要的分支，也是迄今數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)中應(yīng)用得最為廣泛和深入，發(fā)展得最為系統(tǒng)和成熟的分支．線性代數(shù)、微分方程、積分方程、差分方程、泛涵微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、隨機(jī)過程、統(tǒng)計(jì)方法、乃至算予半群理論等都是一些重要而常用的理論和工具，應(yīng)用這些理論和方法去研究由種群生態(tài)學(xué)乃至更普遍的生態(tài)學(xué)中所提出的數(shù)學(xué)模型，就是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的內(nèi)容．而微分方程模型在種群生態(tài)學(xué)中是一類十分重要的模型，其中包括一些為人們熟知的重要方程，如：Malthus

2、方程、Logistic方程和Lotka-Volterra方程，這些方程對研究種群增長的生態(tài)關(guān)系十分重要． 本文共分為四章，第一章簡要介紹了文中所需的預(yù)備知識(shí)：微分方程穩(wěn)定性理論；第二章介紹了生物種群的基礎(chǔ)模型：單個(gè)種群的Malthus模型、Logistic模型及兩個(gè)種群之間相互競爭、相互依存的數(shù)學(xué)模型，并詳細(xì)討論了模型的優(yōu)缺點(diǎn)及不同平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；第三章討論了廣義的Logistic方程： 定理3．2如果系數(shù)函數(shù)b和c

3、都是T－周期的函數(shù)，那么方程(3．1)存在一個(gè)正的T－周期解． 定理3．3設(shè)系數(shù)b，c是正有界的，那么方程(3．1)在R上有一個(gè)正有界的解μ<'*>(t)；且如果μ是任意一個(gè)正的解，那么當(dāng)t→∞時(shí)，μ(t)-μ<'*>(t)→0．第四章首先介紹了Lotka-Volterra捕食者一食餌模型：x=x(α-by)，y=y(-c+dx) (4.1)其中α，b，c，d是正的常數(shù)．得到了下面的定理和推論： 定理4.1對于-∞<

4、α=F<'-1>(α)是圍繞固定點(diǎn)(X<,0>，y<,0>)封閉的約當(dāng)曲線．Lotka-Volterra方程的所有正的解(x(t)，y(t))都是周期解；當(dāng)y(t)=y<,0>時(shí)，x(t)有最大和最小值，且在x(t)=x<,0>時(shí)，y(t)有最大和最小值． 推論方程(4.1)以T為周期的解(x(t),y(t))經(jīng)過一個(gè)周期后的平均值(x<,m>，Y<,m>)，即等于固定解，即x<,m>=X<,0>，y<

5、,m>=y<,0>． 然后討論了廣義的捕食者一食餌模型，得到了相應(yīng)的定理并給出了證明： 定理4.2對于自治系統(tǒng)x=W(x，y)h(y)，y=-W(x，y)g(x)， (4.2)這里W>0，設(shè)函數(shù)g，h是連續(xù)的且在[0，∞)上是嚴(yán)格遞減的，再設(shè)每個(gè)函數(shù)有一個(gè)正的零點(diǎn)，即g(X<,0>)=0，h(yo)=0．則(a)函數(shù)F(x，y)=G(x)+H(y)沿著系統(tǒng)(4.2)的每個(gè)解是常數(shù)．其中(b)如果假設(shè)G(0+)=H(0