生物種群的數(shù)學模型.pdf

1、種群生態(tài)學是生態(tài)學中一個重要的分支，也是迄今數(shù)學在生態(tài)學中應用得最為廣泛和深入，發(fā)展得最為系統(tǒng)和成熟的分支．線性代數(shù)、微分方程、積分方程、差分方程、泛涵微分方程、動力系統(tǒng)、隨機過程、統(tǒng)計方法、乃至算予半群理論等都是一些重要而常用的理論和工具，應用這些理論和方法去研究由種群生態(tài)學乃至更普遍的生態(tài)學中所提出的數(shù)學模型，就是數(shù)學生態(tài)學的內(nèi)容．而微分方程模型在種群生態(tài)學中是一類十分重要的模型，其中包括一些為人們熟知的重要方程，如：Malthus

2、方程、Logistic方程和Lotka-Volterra方程，這些方程對研究種群增長的生態(tài)關系十分重要． 本文共分為四章，第一章簡要介紹了文中所需的預備知識：微分方程穩(wěn)定性理論；第二章介紹了生物種群的基礎模型：單個種群的Malthus模型、Logistic模型及兩個種群之間相互競爭、相互依存的數(shù)學模型，并詳細討論了模型的優(yōu)缺點及不同平衡點的穩(wěn)定性；第三章討論了廣義的Logistic方程： 定理3．2如果系數(shù)函數(shù)b和c

3、都是T－周期的函數(shù)，那么方程(3．1)存在一個正的T－周期解． 定理3．3設系數(shù)b，c是正有界的，那么方程(3．1)在R上有一個正有界的解μ<'*>(t)；且如果μ是任意一個正的解，那么當t→∞時，μ(t)-μ<'*>(t)→0．第四章首先介紹了Lotka-Volterra捕食者一食餌模型：x=x(α-by)，y=y(-c+dx) (4.1)其中α，b，c，d是正的常數(shù)．得到了下面的定理和推論： 定理4.1對于-∞<

4、α=F<'-1>(α)是圍繞固定點(X<,0>，y<,0>)封閉的約當曲線．Lotka-Volterra方程的所有正的解(x(t)，y(t))都是周期解；當y(t)=y<,0>時，x(t)有最大和最小值，且在x(t)=x<,0>時，y(t)有最大和最小值． 推論方程(4.1)以T為周期的解(x(t),y(t))經(jīng)過一個周期后的平均值(x<,m>，Y<,m>)，即等于固定解，即x<,m>=X<,0>，y<

5、,m>=y<,0>． 然后討論了廣義的捕食者一食餌模型，得到了相應的定理并給出了證明： 定理4.2對于自治系統(tǒng)x=W(x，y)h(y)，y=-W(x，y)g(x)， (4.2)這里W>0，設函數(shù)g，h是連續(xù)的且在[0，∞)上是嚴格遞減的，再設每個函數(shù)有一個正的零點，即g(X<,0>)=0，h(yo)=0．則(a)函數(shù)F(x，y)=G(x)+H(y)沿著系統(tǒng)(4.2)的每個解是常數(shù)．其中(b)如果假設G(0+)=H(0