解析函數(shù)的無理中性周期點的線性化問題.pdf

1、復(fù)動力系統(tǒng)是復(fù)分析的主要分支之一，于上世紀(jì)20年代由Fatou和Julia等所創(chuàng)立.當(dāng)時的主要研究動力之一是用迭代的手段來討論一些泛函方程，從而進一步研究由此產(chǎn)生的動力學(xué).由于該學(xué)科與其它領(lǐng)域有著緊密的聯(lián)系，己受到數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，成為數(shù)學(xué)中最活躍的分支之一.事實上，分別于1994年和1998年獲得Fields獎的Yoccoz和McMuUen，均從事復(fù)動力系統(tǒng)的研究. 在復(fù)動力系統(tǒng)的研究中，有理函數(shù)動力學(xué)的研究是最系統(tǒng)、最全面的

2、.建立了一系列有效的方法，但是對于它的無理中性周期點及其附近的動力學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識還很不清楚.人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：解析函數(shù)的無理中性周期點屬于它的Fatou集的充要條件是在該點及其附近共形共軛于它的線性部分.因此，討論解析函數(shù)在無理中性周期點附近可線性化問題是非常必要和有意義的.Yoccoz，Siegel，Brjlmo，Riissmann等數(shù)學(xué)家們都在這方面作了不少的工作，得到了解析函數(shù)在無理中性周期點可線性化的一個充分條件(稱其為Brjuno條

3、件[定義2.1.2])，并且該條件對于二次多項式也是最佳的.但是，現(xiàn)在還不知道對于一般解析函數(shù)，該條件是否還是最佳的本文將針對這個問題進行討論.全文共分成兩章. 第一章，對相關(guān)的背景知識進行介紹，包括Riemann曲面的性質(zhì)，類多項式，全純運動等. 第二章，借助小除數(shù)理論，研究關(guān)于解析函數(shù)在無理中性周期點附近的線性化問題.由于解析函數(shù)和它的迭代有相同的Fatou集，因此，僅考慮解析函數(shù)在不動點附近的可線性化問題.如果解析

4、函數(shù)在不動點附近是可線性化的，則該不動點所在的Fatou分支是一個被稱為Siegel盤的拓撲圓，且該函數(shù)限制在這個Siegel盤上是單葉的.因此，考慮更一般的情形：即解析函數(shù)f(z)在單位圓盤上單葉解析，且f(o)=0，本文應(yīng)用類多項式，全純運動的理論，并借助于X.Buff和A.Cheritat[24]的思想得到：如果是可線性化的，設(shè)的共軛函數(shù)的收斂半徑的對數(shù)logR是調(diào)和的，從而得到：當(dāng)可線性化時，f(z)滿足Brjuno條件.同時得