高精度交替方向隱式差分法的理論與應(yīng)用.pdf

1、自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)中存在著大量的偏微分方程(PDEs).然而，許多PDEs的真解很難得到，或以實(shí)用的表達(dá)式表出.因此，為獲得PDEs的近似解，發(fā)展高性能的PDEs數(shù)值解法是十分必要的.交替方向隱式方法(ADI)將高維問題的求解轉(zhuǎn)換成一系列一維問題的求解，提高了計(jì)算效率.高階緊格式(HOC)是一類用較少的計(jì)算節(jié)點(diǎn)就可達(dá)到高精度的差分方法.高階緊交替方向隱式(HOC ADI)法是這兩類方法的結(jié)合，綜合了它們的優(yōu)點(diǎn).多年來，這類方法

2、一直受到人們的普遍關(guān)注.本文以一些PDEs為例研究幾類HOC ADI法的理論性質(zhì).
　　第一章介紹了數(shù)值方法的歷史與現(xiàn)狀，給出了問題的來源，本文的主要工作，與時(shí)空離散相關(guān)的記號(hào)和一些引理.
　　第二章給出了二維線性雙曲方程條件穩(wěn)定的HOC ADI格式.運(yùn)用von Neumann法獲得了此算法的穩(wěn)定條件.在滿足穩(wěn)定條件下，運(yùn)用能量方法證明了它在H1-和L2-范數(shù)下有O(t4+h4x+h4y)階精度.盡管該算法是條件穩(wěn)定的，但是

3、穩(wěn)定條件還好.只要根據(jù)穩(wěn)定條件適當(dāng)?shù)剡x取網(wǎng)格步長(zhǎng)，數(shù)值解能以最優(yōu)的收斂速度快速收斂到真解.另外，我們類似地發(fā)展了三維情形的緊ADI格式，并給出了一些理論結(jié)果.
　　第三章研究了非線性波動(dòng)方程的三層HOC ADI格式.在一四階格式逼近第一層真解的情況下，運(yùn)用能量法獲得了HOC ADI法在不同范數(shù)下的收斂階.建立了對(duì)應(yīng)的外推算法以提高計(jì)算效率，并通過引入兩個(gè)輔助問題，給出了外推解的收斂性.
　　第四章討論了阻尼波動(dòng)方程的一族三層

4、HOC ADI方法，及其相應(yīng)的外推算法.運(yùn)用與前一章類似的分析方法，獲得了數(shù)值解及其外推解在不同范數(shù)下的收斂階.
　　第五章研究了線性拋物方程的高階緊多步分裂(HOC MFS)方法.將給出的一些引理與能量法結(jié)合可證其解在L2-, H1-和L∞-范數(shù)下以O(shè)(t2+h4x+h4y)的收斂率無條件收斂.此外，建立一類外推算法，得到了關(guān)于L2-, H1-和L∞-范數(shù)有O(t4+h4x+h4y)階精度的外推解.最后，通過引入一新變換，將這些

5、算法推廣到了常系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程.
　　第六章提出了二維非線性粘彈性波方程的三層HOC MFS方法.首先，引入兩個(gè)變量，將黏彈性波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化成與拋物方程等價(jià)的形式.然后，對(duì)等價(jià)形式構(gòu)建HOC MFS方法及其外推算法.此外，算法的理論分析也得到具體地研究.
　　第七章提出了三維非線性粘彈性波方程的兩層Crank-Nicolson HOC ADI方法.這類ADI方法在x-和y-方向上只需解系數(shù)矩陣為三對(duì)角陣的線性方程組，在z-方向