TSVD方法在數(shù)值微分及圖像恢復(fù)問(wèn)題中的應(yīng)用.pdf

1、反問(wèn)題是目前具有交叉性的計(jì)算數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)中的研究熱點(diǎn)問(wèn)題，在各種領(lǐng)域中都有深刻的應(yīng)用背景。反問(wèn)題通常是不適定的，反問(wèn)題求解的本質(zhì)性困難是解的不穩(wěn)定性，即方程的解(如果存在)不連續(xù)依賴于右端的數(shù)據(jù)，當(dāng)右端的數(shù)據(jù)有誤差時(shí)，其解與真解之間會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，此時(shí)必須采用特殊的求解方法才能得到合理的結(jié)果。當(dāng)前，求解不適定問(wèn)題最常見(jiàn)有效的方法是正則化方法，建立有效的正則化方法，正則參數(shù)的選取以及算法實(shí)現(xiàn)是反問(wèn)題研究的三大核心問(wèn)題。

2、 本文首先從一些實(shí)例出發(fā)，介紹了反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的基本概念，并討論了方程的Moore-Penrose廣義解和Moore-Penrose廣義逆，以線性自伴緊算子的譜分析與緊算子奇異值分解為理論基礎(chǔ)，利用奇異系給出了解的表達(dá)式，得出了線性緊算子方程的不適定性，即Moore-Penrose廣義解的不穩(wěn)定性的結(jié)論，說(shuō)明了緊算子方程解不穩(wěn)定的根源在于緊算子的奇異值趨于零的性質(zhì)。由此通過(guò)引入正則化濾子函數(shù)來(lái)減弱或?yàn)V掉奇異值趨于零的性質(zhì)對(duì)解的穩(wěn)定

3、性的影響，構(gòu)造正則算子，從而提供了建立正則化方法的理論依據(jù)。 反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算通常需要將問(wèn)題離散化，此時(shí)TSVD(譜截?cái)?正則化方法是十分簡(jiǎn)單有效的正則化方法。文中詳細(xì)討論了TSVD正則解的誤差估計(jì)與正則參數(shù)的選取問(wèn)題，通過(guò)正則參數(shù)的先驗(yàn)和后驗(yàn)選取，證明了TSVD正則解的誤差具有漸進(jìn)最優(yōu)階。作為TSVD(譜截?cái)?正則化方法的應(yīng)用，文中研究了兩個(gè)不同領(lǐng)域中典型的不適定問(wèn)題：數(shù)值微分問(wèn)題和圖像復(fù)原問(wèn)題。 數(shù)值微分問(wèn)題是不適定

4、的，為了得到近似已知函數(shù)穩(wěn)定的近似導(dǎo)數(shù)，并且能夠很好地反映導(dǎo)數(shù)的間斷情況，本文討論了pp-TSVD方法，其正則解可以在沒(méi)有任何先驗(yàn)信息的情況下反映解的間斷性，我們將這種方法應(yīng)用于數(shù)值微分問(wèn)題，數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明這種方法對(duì)反映導(dǎo)數(shù)的間斷情況十分有效。 本文還研究了在Neumann邊界條件假設(shè)下，具有對(duì)稱及平移不變性的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的數(shù)字圖像復(fù)原問(wèn)題。文中將此類圖像復(fù)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不適定的解卷問(wèn)題，并分析了離散卷積算子的性質(zhì)，進(jìn)而將TSVD方法