框架和Banach框架的穩(wěn)定性.pdf

1、1952年，Duffin和Schaeffer在研究非調(diào)和FOurier級(jí)數(shù)時(shí)提出了Hilbert空間框架的概念．1984年，Grossm3nn發(fā)現(xiàn)了框架在小波與Gabor變換中的應(yīng)用，這一發(fā)現(xiàn)引起了人們對(duì)框架的廣泛興趣． 框架是具有類似于基性質(zhì)的序列，但不一定是基．特別地，它們可以使Hilbert空間中的元素以一種穩(wěn)定的方式線性表示出來，由于框架元素可能是線性相關(guān)的，因此就失去了作為基的表述唯一性特征，但正是由于這種重復(fù)性使得框

2、架在信號(hào)和圖象處理中有著重要的應(yīng)用．Banach框架是框架理論的一個(gè)新的重要的分支．1991年，Grochnig將框架概念推廣到Banach空間中去，引入了Banach框架． 本文中，我們主要研究了Hilbert空間框架和Banach空間上Banach框架的穩(wěn)定性問題，全文由四個(gè)部分構(gòu)成．第一節(jié)是引言及主要結(jié)論．在這一部分中，我們主要介紹了框架的起源、發(fā)展和應(yīng)用，另外介紹了這篇文章的主要結(jié)果．第二節(jié)是預(yù)備知識(shí)．該部分我們給出了一

3、些基本概念以及證明主要結(jié)論所要用到的幾個(gè)引理．第三節(jié)研究了Hilbert空間框架的穩(wěn)定性．在本部分中，我們首先舉例說明了框架不一定是Riesz基，接著給出了Riesz基與框架的充要條件，然后我們給出了框架擾動(dòng)的一個(gè)形式，最后受相應(yīng)的基的經(jīng)典擾動(dòng)結(jié)論，包括Paleyr-Wiener基的穩(wěn)定性準(zhǔn)則和Kato的擾動(dòng)定理及文[3]的啟發(fā)，我們討論了框架的穩(wěn)定性，此外還得到了一個(gè)推論．第四部分我們研究了Banach空間上Banach框架的穩(wěn)定性．

4、首先我們舉例說明了Christensen的兩個(gè)關(guān)于框架穩(wěn)定性的結(jié)果之間不具有包含關(guān)系，接著設(shè)X，Y 為Banach空間，{x<,n>)<,n∈N>為X的框架，在X，Y 問定義了兩個(gè)算子U<,1>和U<,2>，其中U<,1>為線性同胚，U<,2>為線性有界算子，我們證明了當(dāng)X中的序列{y<,n>}<,n∈N>在滿足一定的條件時(shí)，{U<,1>x<,n>+U<,2>y<,n>}<,n∈N>為Y的框架．最后我們通過構(gòu)建線性同胚以影響框架結(jié)構(gòu)的方