橢圓曲線(xiàn)二次扭的2部分BCD猜想問(wèn)題.pdf

1、數(shù)學(xué)家一直很關(guān)注形如如下代數(shù)方程整數(shù)解問(wèn)題a2+b2=c2.這個(gè)眾所周知的方程描述了一個(gè)直角三角形三邊a,b，c之間的關(guān)系，是丟番圖方程中最簡(jiǎn)單的例子之一.歐幾里得完全給出了這個(gè)方程的整數(shù)解，但是對(duì)于更復(fù)雜的方程，這便相當(dāng)困難.1637年，費(fèi)馬提出了如下更一般的方程an+bn=cn沒(méi)有正整數(shù)解，當(dāng)n為大于2的整數(shù)時(shí).雖然費(fèi)馬聲明已經(jīng)給出了這個(gè)猜想的一般證明，但是他除了n=4的特殊情形外沒(méi)有給出其它證明.直到1994年，Andrew Wi

2、les給出了費(fèi)馬大定理的完整證明.在費(fèi)馬大定理證明中，一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是模定理和費(fèi)馬大定理之間的顯然聯(lián)系，這是1984年由Gerhard Frey注意到的，并且在1986年被Ribet證明了，說(shuō)的是，如果費(fèi)馬的方程存在一組整數(shù)解，那么就可以用其創(chuàng)造一條如下形式的半穩(wěn)定橢圓曲線(xiàn)y2=x(x-ap)(x+.bp)，且這條橢圓曲線(xiàn)不是?；?然后在1994年，Wiles證明了半穩(wěn)定橢圓曲線(xiàn)的模定理(Taniyama-Shimura-Weil猜想)

3、，結(jié)合Ribit的定理，給出了費(fèi)馬大定理的完整證明.
　　對(duì)于任意一條給定的橢圓曲線(xiàn)E，我們可以找到如下相對(duì)應(yīng)的Weierstrass型的仿射模型E:y2=x3+Ax+B其中A，B∈Z，并且是一條虧格為一的非奇異平面曲線(xiàn).如果一條橢圓曲線(xiàn)E定義在Q上，那么E(Q)≌Z(yǔ)r⊕E(Q)tors對(duì)于整數(shù)r≥0，這里E(Q)tors是一個(gè)有限Abel群，這是1922年被Mordell證明的.這個(gè)整數(shù)r稱(chēng)為橢圓曲線(xiàn)的秩，是一個(gè)基本的算術(shù)不變量

4、.橢圓曲線(xiàn)秩為零當(dāng)且僅當(dāng)E(Q)是有限的.定義C是一個(gè)正整數(shù)，Γ0(C)為SL2(Z)的同余子群，X0(C)為相對(duì)應(yīng)的緊致化的模曲線(xiàn).根據(jù)Wiles的關(guān)于半穩(wěn)定橢圓曲線(xiàn)的模定理以及Breuil-Conrad-Diamond-Taylor的推廣，存在一個(gè)定義在有理數(shù)域上的非平凡有理映射ψ:X0(C)→E，這個(gè)映射把在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的尖點(diǎn)[∞]映在E的零元素O上.記[0]為復(fù)平面上零點(diǎn)處的尖點(diǎn)，這樣的話(huà)根據(jù)Manin-Drinfeld的定理，ψ

5、([0])是E(Q)上的一個(gè)扭點(diǎn).我們稱(chēng)C為橢圓曲線(xiàn)E的導(dǎo)子.令q為一個(gè)素?cái)?shù).定義Nq:=＃{y2=x3+Ax+B mod q的解}和aq=q-Nq.那么我們可以定義橢圓曲線(xiàn)E的復(fù)L-級(jí)數(shù)為L(zhǎng)(E，s)=(Πq|C)（1-aqq-s+q1-2s）-1(Πq|C)（1-εq-s）-1=:∑ann-s，這里ε=0，±1根據(jù)E(Q)在q處的約化型.我們將其視為復(fù)變量s的函數(shù)，且這個(gè)無(wú)窮歐拉乘積當(dāng)Re(s)＞3/2時(shí)是收斂的.我們已經(jīng)知道L(E

6、，s)具有解析連續(xù)性可以延拓到整個(gè)復(fù)平面上，而且滿(mǎn)足一個(gè)函數(shù)方程，對(duì)于任意的s，從L(E，s)到L(E，2-s).
　　直到當(dāng)今不可思議的是對(duì)于一般的A和B還沒(méi)有任何認(rèn)證的方法能夠計(jì)算橢圓曲線(xiàn)的秩.應(yīng)該有這么一種方法正如現(xiàn)當(dāng)今最重要的開(kāi)放性問(wèn)題Birch-Swinnerton-Dyer猜想所預(yù)示的那樣.Birch和Swinnerton-Dyer提出橢圓曲線(xiàn)的秩等于橢圓曲線(xiàn)的一個(gè)解析不變量，也就是橢圓曲線(xiàn)L-函數(shù)中心值s=1處零點(diǎn)的

7、階數(shù)，亦ords=1L(E,s)=rank of E(Q).這個(gè)猜想隨后被延伸，包括橢圓曲線(xiàn)L-函數(shù)中心值s=1處泰勒展式精確到首項(xiàng)系數(shù).具體的猜想是由下式給出的L(r)(E,1)/r!|ш(E)|ω(E)R∞(E)/|E(Q)tors|2·(Πp|C)cp(E).這里|ш(E)|是橢圓曲線(xiàn)E Tate-Shafarevich群的階，具體定義為ш(E)=Ker(H1(Q,E)→(⊕v)H1(Qv，E),是一個(gè)猜想為有限的群.其它項(xiàng)均為橢

8、圓曲線(xiàn)的一些基本元素和因子.
　　對(duì)于每個(gè)無(wú)平方因子且與C互素的整數(shù)M，且M≡1 mod4，我們定義L(alg)(E(M),1)=L(E(M),1)/Ω∞(E(M)),這里Ω∞(E(M))是E(M)的最小正的實(shí)周期.我們都知道L（alg)（E（M，1）是一個(gè)有理數(shù).我們記ord2為有理數(shù)域上在2處賦值的階，并且規(guī)定ord2(2)=1.定義ord2(0)=∞.令f(x)為橢圓曲線(xiàn)E的2-分裂多項(xiàng)式.當(dāng)f(x)在Q上不可約時(shí)，我們定義

9、數(shù)域F為有理數(shù)域毗連f(x)的一個(gè)定根.令素?cái)?shù)q在E上具有好的約化，令aq為E在q處Frobenius的跡，并記Nq:=1+q-aq.對(duì)于每個(gè)整數(shù)m＞1，令E[m]為E的m-分裂點(diǎn)構(gòu)成的群.并且，我們定義E的一個(gè)有理素?cái)?shù)q在域F中是惰性的，如果它是不分歧的且在域F的q處只有唯一的素?cái)?shù).我們運(yùn)用Manin[10]和Cremona[5]在模符號(hào)上的一些工作，證明了如下一系列一般結(jié)果.
　　定理0.0.1.令E為定義在Q上的Γ0(C)-

10、最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)，判別式為負(fù)，E[2](Q)=0，且滿(mǎn)足ord2(L(alg)(E，1))=0.令M為形為M=∈q1q2…qr的任意整數(shù)，且滿(mǎn)足(M，C)=1，這里C為E的導(dǎo)子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的且在域F中是惰性的奇素?cái)?shù)，選擇適當(dāng)?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.那么L(E((M)，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=0.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.2.

11、假設(shè)定理0.0.1中的條件成立.我們同時(shí)假設(shè)E的所有具壞約化的素?cái)?shù)都在Q（√M）中分裂，并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.
　　定理0.0.3.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)，判別式為正，E[2](Q)=0，且滿(mǎn)足ord2(L(alg)(E，1))=1.令M為形為M=q1q2… qr的任意整數(shù)，且滿(mǎn)足(M，C)=1，這里C為E的導(dǎo)子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的且在域F中是惰性

12、的奇素?cái)?shù)，且M≡1 mod4.那么L(E((M)，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=1.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.4.假設(shè)定理0.0.3中的條件成立.我們同時(shí)假設(shè)E的所有具壞約化的素?cái)?shù)都在Q（√M）中分裂，并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.
　　定理0.0.5.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)，判別式為負(fù)，且

13、E[2](Q)≠0.令M為形為M=∈q的任意整數(shù)，這里q為滿(mǎn)足(q，C)=1的任意奇素?cái)?shù)，C為E的導(dǎo)子，并選擇適當(dāng)?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.假設(shè)L(E，1)≠0.如果ord2(Nq)=-ord2（L（alg）(E，1))≠0，那么L(E(M))，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=0.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.6.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)

14、，判別式為正，且E[2](Q)≠0.令q為滿(mǎn)足q≡1 mod4和（q，C）=1的任意奇素?cái)?shù)，這里C為E的導(dǎo)子.假設(shè)L(E，1)≠0.如果ord2(Nq)=1-ord2(L(alg)(E，1))≠0，那么L（E（M)，1）≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=1.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.7.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)，判別式為負(fù)，E[2](Q)≠0，且

15、滿(mǎn)足L(E，1)≠0.令M為形為M=∈q1q2…qr的任意整數(shù)，且滿(mǎn)足(M，C)=1，這里C為E的導(dǎo)子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的奇素?cái)?shù)，選擇適當(dāng)?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.如果ord2(Nqi)＞-ord2(L(alg)(E，1))對(duì)于M的至少一個(gè)素因子qi(1≤i≤r)成立，那么我們有ord2(L(alg)(E(M),1))≥1.
　　定理0.0.8.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線(xiàn)，判別式為正，E[2]

16、(Q)≠0，且滿(mǎn)足L(E，1)≠0.令M≠1為任意整數(shù)，且滿(mǎn)足M≡1 mod4和(M，C)=1，這里C為E的導(dǎo)子，那么我們有ord2(L(alg)(E(M),1))≥1.
　　最后，我們考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線(xiàn)，其導(dǎo)子為p，這里p為形如u2+64的素?cái)?shù)，且整數(shù)u≡1 mod4，其極小Weierstrass模型為A:y2+xy=x3+u-1/4x2+4x+u.我們證明了如下定理.
　　定理0.0.9.令q

17、為任意模4余3的素?cái)?shù)，且在Q（√p）中是惰性的.當(dāng)u≡5 mod8時(shí)，那么L(A(-q)，1）≠0，且我們有ord2(L(alg)(A(-q),1））=0.因此，A(-q)(Q)是有限的，Tate-Shafarevich群ш(A(-q)(Q))是有限的且基為奇數(shù).更進(jìn)一步，A(-q)的2部分BSD猜想成立.
　　我們?cè)敿?xì)考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線(xiàn)的二次扭，并猜想定理將對(duì)更多類(lèi)的Neumann-Setzer橢圓曲