粗幾何上的算子代數(shù)及指標(biāo)問題.pdf

1、粗幾何上的指標(biāo)理論是“非交換幾何”領(lǐng)域近十年來發(fā)展起來的重要研究方向，其主要問題“粗Baum-Connes猜測(cè)”希望用可計(jì)算的拓?fù)洳蛔兞俊按諯-同調(diào)群”來計(jì)算由非緊空間的粗幾何結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的指標(biāo)C*-代數(shù)的K-理論群。受膨脹圖上粗Baum-Connes猜測(cè)的反例(2000年)的啟發(fā)，本文試圖利用指標(biāo)代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)作為聯(lián)系幾何與分析之間的橋梁來研究粗Baum-Connes猜測(cè)。 本文的主要工作基本上完成了上述構(gòu)想的第一步研究任務(wù)，比較

2、系統(tǒng)地刻畫了粗幾何上的指標(biāo)算子代數(shù)，即Roe代數(shù)與一致Roe代數(shù)的理想結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造。整個(gè)研究工作的關(guān)鍵與突破口是本文引入的對(duì)指標(biāo)代數(shù)的“控制切割技術(shù)”。本文還研究了離散群的自由積到一致凸Banach空間的粗幾何嵌入問題。 全文共四章。第一章引入控制切割技術(shù)，研究了粗空間上的一致Roe代數(shù)的理想結(jié)構(gòu)，證明了一致Roe代數(shù)的任何理想中的有限傳播算子恰為該理想中算子的控制切割，并用粗空間的子空間理想格、粗幾何廣群的開不變子集格等對(duì)一

3、致Roe代數(shù)的理想進(jìn)行了分類。 第二章利用第一章的結(jié)果，結(jié)合Schur乘子技術(shù)，完整刻畫了具有G.Yu的“性質(zhì)A”的離散度量空間上的一致Roe代數(shù)的理想結(jié)構(gòu)，同時(shí)研究了一致Roe代數(shù)中的“鬼理想”現(xiàn)象，并引入“近似膨脹圖”的構(gòu)造展示了在Roe代數(shù)中產(chǎn)生“鬼理想”怪現(xiàn)象的廣泛途徑。 第三章利用緊算子的奇異值分解把第一章引入的對(duì)一致Roe代數(shù)的控制切割技術(shù)推廣到Roe代數(shù)，證明了Roe代數(shù)的任何理想中的有限傳播算子同樣恰為該