（節(jié)選）數(shù)學外文翻譯--最小化對稱矩陣的最大特征值（譯文）

1、中文 中文 2760 字出處： 出處：Michael L. On Minimizing the Maximum Eigenvalue of a Symmetric Matrix[J]. Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1988, 9(2):256-268.最小化對稱矩陣的最大特征值 最小化對稱矩陣的最大特征值ON MINIMIZING THE MAXIMUM EIG

2、ENVALUE OF A SYMMETRIC MATRIX摘要 摘要：一個重要的優(yōu)化問題是使一個函數(shù)φ(x)最小化，其中φ(x)是一個關于 x 的對稱矩陣的最大特征值（取絕對值） 。如果這個矩陣函數(shù)是仿射的，那么φ(x)就是凸的。然而，φ(x)是不可微的，因為特征值是不可微在它們聚結(jié)點。本文提出的一個算法用來取得最小化的φ(x)是具有二次速率的。二階導數(shù)都無須取得二次收斂的情況下，這個解是唯一的。該算法的一個重要特征是能夠分割的多個特征

3、值，如果必要的話，以取得下降方向。在這些方面，該算法對第一類 Polak-Wardi-Doyle 方法顯示出顯著改進。這種新方法與 Fletcher 對半定約束和 Friedland，Nocedal 和 Overton 逆特征值問題的近期工作有很多共同之處。并會給出一些數(shù)值例子。關鍵字 關鍵字：非光滑的優(yōu)化，不可微的優(yōu)化，凸規(guī)劃，半定約束，最大奇異值的最小化1、簡介 、簡介。很多重要的優(yōu)化問題涉及特征值的約束。舉個例子，結(jié)構(gòu)工程，我們不

4、妨以盡量減少一些結(jié)構(gòu)受限于它的固有頻率約束的成本。一個相當常見的產(chǎn)生于控制工程的問題是(1.1) minφ(x)條件是(1.2) φ(x) = max |λi(A(x))|,A(x)是一個關于 x 的仿射函數(shù)的實對稱矩陣，且{λi(A(x)),I = 1,…,n}是 A(x)的特征值。既然 A(x)是一個仿射函數(shù)，那么它可以寫作A(x) = A0 + Σxk Ak函數(shù)φ(x)是凸的，因為一個矩陣的最大特征值關于矩陣的元素是一個凸函數(shù)。一

5、個重要的特殊例子是(1.3)Ak = ekekT(2.2)s.t. –ω ≤ λi(A(x)) ≤ ω, i = 1,…,n或者等價的(2.3)minω(2.4) ωI – A(x) ≥ 0,(2.5) ωI +A(x) ≥ 0,在(2.4),(2.5)中的≥說明的是一個矩陣的半正定約束。第二個形式說明了對 Fletcher(1985)的工作是具有適用性的。Fletcher 給出了二次收斂的算法來解決(2.6)maxΣxk(2.7)s.

6、t.A0 – Diag(x) ≥ 0, x ≥ 0而他的算法中的一些部分是可以用來解決(2.3)-(2.5)的。然而，這個算法不具有直接適用性的，而且有一些原因來解釋為什么在這種情況下它可以用來改進 Fletcher 的方法。其中一個原因是 Fletcher 的方法可以用來解決一系列的子問題，每個通過定義一些無效的關于 A0+Diag(x)的猜想，直到正確的被標示出來。這樣的策略不能很容易地擴展到兩個（或更多）的半定約束的情況。我們的算

7、法中的一個目標是能夠調(diào)整多重估計并總是在每次迭代中獲得遞減的φ(x)。我們在每次迭代中通過計算 A(x)的特征值-特征向量的分解來得到。相比之下，F(xiàn)letcher 的方法用到了對 A0+Diag(x)做 Choleski 分解，連同一個精確的罰函數(shù)來加強(2.7)。此外，因為(2.6),(2.7)的特殊形式，F(xiàn)letcher 的方法并不需要特征值的分裂技術。換句話說，給出一個 A0+Diag(x)矩陣來滿足(2.7)，通過一個無關的 t