切割立方體

1、切割立方體及長方體材料切割優(yōu)化問題摘要摘要本文闡述了將一個長方體切割成單位立方體，在兩次切割之間可以任意重新堆置各切塊，最少切多少次可以完成的問題。在此基礎上對切割長方體問題進行了多方面的討論，引伸出了在工業(yè)生產中，采用何種切割方式從一塊長方體材料中切割出一個小長方體，使其加工費用最少。關鍵字關鍵字：長方體；切割；加工；費用AbstractAbstractThispaperdescribescuttingarectangularinto

2、theunitcubeyoucanrestackthecutbetweencuttinginthetwo.Howmanytimesatleastitneedstocuttocompletetheproblem.Onthisbasisawiderangeofissuesaboutcuttingtherectangulararediscussedderivedinindustrialproductionmakesmanufacturecos

3、tstoaminimum.Keywds:Keywds:Cuboid；Cutting；Manufacture；Cost1問題的提出問題的提出在RidA.Brualdi的《IntroductyCombinatics》的第一章中描述了一個這樣的問題：要將一個邊長為3英尺的立方體切割成為27個邊長為1英尺的立方體，其所需的最少切割次數為多少？在不改變立方體外形的前提下，若依序進行切割。共計切割6次，每個方向上切2次，即可得到27個單位立方體。若

4、在每次切割后，改變各切塊堆置位置，切割次數能否減少呢？對于該問題而言，事實上，6次即為最少切割次數。對此，作者運用了一個巧妙的觀點對其進行證明。即位于立方體中間的這個立方體的每個側面都是通過切割而形成的。既然有6個截面，那就必須切割6次才能形成。因此，至少需要6次切割才能滿足題目要求。將該問題擴展為一般情況。要將一個長為a、寬為b、高為c的長方體切割成為abc個單位立方體，其所需的最少切割次數為多少？命題命題1??aaK2log)11(

5、?其中，表示x向上取整。??x接下來，開始討論二位問題，即的取值為題。)1(Kba首先對于的特殊情況進行分析。在長、寬兩個方向上用觀察nmba22??一可知。與此同時，利用引理一反方向證明，即可證得nmKnm??)122(。對于的情況，由引理一可知nmKnm??)122(1222????nnmba。同時，由引理二可知，1)1(????nmbaK。所以，由此可得。1)122()12(1??????nmKbKnmm1)12(???nmbKm

6、最后一種情況，。由引理一可知，112222??????nnmmba。而由引理二可知，。再1)1(???nmbaK2)122()1(11??????nmKbaKnm此上下界中存在一個間隙。主要是觀察a、b的值是接近上界還是下界。從特例討論著手，特別是a、b接近下界的情況。例，a=3，b=3.根據Brualdi的思路，該立方體至少要切割4次才能得到全部的單位立方體，恰好為mn2。下面再舉一個例子，a=5，b=3。其中，切割一次后，必有一個切

7、塊不小于33或25。因此，之后切割次數至少為4。因此，最少切割次數仍然為mn2。因此，可猜想最少切割次數即為最少切割次數即為mn2mn2。觀察二：觀察二：將長方體V(abc)切割一次產生了中必有)()(2211cbaVcbaV和命題命題2????babaK22loglog)1(??對于此命題的證明，可將兩個參數a、b合二為一，利用普通數學歸納法進行證明。令ab=s。當a=b=1即s=2時，結論成立。假設時，結論成立?，F在ks?考慮s=k

8、1的長方體V(ab1)。不失一般性，該長方體經一次切割分為?，F在，我們假設，即。因此，與的一)1()1(2211baVbaV和21aa?2V1V部分全等。根據引理二可推知，以下只需只考慮的切割即可。因此可得1V)1(1)1(1baKbaK??反之，之后的切割方法與開始的第一次切割合起來即為V的最優(yōu)切割方1V法，因此也可得反向不等式。因此，。又由于)1(1)1(1baKbaK??kba??1，由歸納法假設可知，2max21aaa?21aa