[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件—5-3改

1、一、形如 的積分,二、形如 的積分,三、形如 的積分,,第三節(jié) 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,,四、小結(jié)與思考,,,,,2,一、形如 的積分,思想方法 :,封閉路線的積分 .,兩個(gè)重要工作:,1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化,2

2、) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化,把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條,3,形如,,,4,,,,z的有理函數(shù) , 且在單位圓周上分母不為零 , 滿足留數(shù)定理的條件 .,,包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).,5,例1 計(jì)算積分,解,則,6,7,例2 計(jì)算,解,令,8,極點(diǎn)為 :,(在單位圓內(nèi)),(在單位圓外),9,例3,解,故積分有意義.,10,11,12,因此,13,若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次,,并且分母在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).

3、,一般設(shè),分析,可先討論,最后令,即可 .,二、形如 的積分,14,2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:,取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間,一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使R(z)在其內(nèi)部除有,限孤立奇點(diǎn)外處處解析.,(此法常稱為“圍道積分法”),1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:,(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動時(shí) , R(z)=R(x)),,可取 f(z)=R(z) .,15,這里可補(bǔ)線,(以原點(diǎn)為中心 , R為半徑,的在上半

4、平面的半圓周),內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.,取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn),都包在這積分路線內(nèi).,16,根據(jù)留數(shù)定理得 :,當(dāng) 充分大時(shí), 總可使,17,18,例4 計(jì)算積分,解,19,20,積分存在要求: R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次,數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且R(z)在實(shí)軸上,無孤立奇點(diǎn).,與,曲線C ,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn),包在這積分路線內(nèi) .,同前一型: 補(bǔ)線,一起構(gòu)

5、成封閉,都,三、形如 的積分,,,21,,對于充分大的 , 且 時(shí), 有,,22,,,從而,23,,,由留數(shù)定理:,,24,例5 計(jì)算積分,解,在上半平面只有二級極點(diǎn),又,25,26,,例6 計(jì)算積分,分析,,因,在實(shí)軸上有一級極點(diǎn),應(yīng)使封閉路,線不經(jīng)過奇點(diǎn), 所以可取圖示路線:,27,解,封閉曲線C:,由柯西-古薩定理得:,由,2