第二章 分離變量法(§2.2,§2.3)

1、2.2有限桿上的熱傳導(dǎo)有限桿上的熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為，兩端坐標(biāo)為。桿的側(cè)面絕熱，且llxx??0在端點(diǎn)處溫度為零，而在處桿的熱量自由發(fā)散到周?chē)鷾囟葹?的介0?xlx?質(zhì)中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問(wèn)題：)(x?.0)(u00hu0u0l0000222lxxtxutxxuatutlxx??????????????????????仍用分離變量法求解。此定解問(wèn)題的邊界條件為第三類(lèi)邊界條件。類(lèi)似2.1

2、中步驟，設(shè)，代入上面的方程可得)()()(tTxXtxu??????????????.0)()(0)()()()()()(22222xXxXtTatTxTaxTxXxX???從而可得通解xBxAxX??sincos)(??由邊界條件知.0)()(0)0(???lhXlXX從而???????????.tan0sincos0hllhlA?????令???????????tan1hll上方程的解可以看作曲線，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然他們有無(wú)窮?ta

3、n1?y???2y多個(gè)，于是方程有無(wú)窮多個(gè)根。用下符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根??21n???于是得到特征值問(wèn)題的無(wú)窮個(gè)特征值從而得到定解問(wèn)題得解。???????lnnnnntanxdxxLCxeCtxun01sin)(1sin)(22????2.3圓域內(nèi)的二維圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問(wèn)題方程的定解問(wèn)題平面極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是)(??)(yx.sincos??????yx由此可得dydxddydxdyx???????????c