初一.一次方程與一次不等式

1、15[文件]sxjsck0018.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初一方程不等式[標(biāo)題]一次方程與一次不等式[內(nèi)容]一次方程與一次不等式一次方程與一次不等式1.一次方程（組）一次方程（組）是最簡(jiǎn)單的方程，是進(jìn)一步研究函數(shù)、方程、不等式等的基礎(chǔ)，先看一個(gè)含字母系數(shù)的一元一次方程的討論.例1（第36屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)a，a＇b，b＇是實(shí)數(shù)，且a和a＇不為零，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，axb=0的解小于a＇xb＇=0的解（A）a＇b＜ab＇（B）ab

2、＇＜a＇b（C）ab＜a＇b＇（D）（E）abab???abab???解∵a≠0∴axb=0的解是，ab?∵a＇≠0∴a＇xb＇=0的解是，ab???根據(jù)題意得.abababab???????即故應(yīng)選（E）.例2（第4屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）若x1x2x3x4和x5滿足下列方程組：??????????????????????????????????.962482242122025432154321543215432154321xxxxxx

3、xxxxxxxxxxxxxxxxxxx確定3x42x5的值.解將已知的五個(gè)方程加起來(lái)，然后，把所得方程的兩邊除以6得x1x2x3x4x5=31()由第4、第5個(gè)方程分別減去方程（），得x4=17x5=65∴3x42x5=181說(shuō)明，上面解答所提供的用31代換x1x2x3x4x5的整體代換方法是一種重要的解題策略.例3（1982年天津初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a1)x(a2)y5－2a=0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程

4、，而這些方程有一個(gè)公共解，你能求出這個(gè)公共解，并證明對(duì)任何a值它都能使方程成立嗎？分析依題意，即要證明存在一組與a無(wú)關(guān)的x，y的值，使等式(a1)x(a2)y52a=0恒成立，令a取兩個(gè)特殊值（如a=1或a=2），可得兩個(gè)方程，解由這兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組得到一組解，再代入原方程驗(yàn)證，如滿足方程則命題獲證，我們也可以這樣想：將原方程整理成為形如a(xy2)(x2y5)=0將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母a的一元一次方程，由題知該方程對(duì)a取任意值成立

5、必須且只須①②③④⑤17且x≠y，現(xiàn)將所有可能的情況列有如下：（此處無(wú)表）故滿足不等式|x||y|＜100且x≠y的整數(shù)解組數(shù)為：1982（13…99）2（100102…196）=198249)196100(2250)991(2???????=1981005029649=19702（組）.若有依次排列著的一列數(shù)，每后一個(gè)數(shù)與它前面一個(gè)數(shù)的差總等于一個(gè)常數(shù)，我們稱這一列數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，依據(jù)這一概念我們來(lái)解答下面這個(gè)題目.例8（1988

6、年日本大學(xué)入學(xué)試題）設(shè)有滿足1＜a＜b＜c的四個(gè)數(shù)1，a，b，c，其中兩兩之和組成的六個(gè)數(shù)各不相同，而把它們從小到大排起來(lái)形成一個(gè)等差數(shù)列，且其和為201，求a、b、c之值.解由條件知其兩兩之和為六個(gè)數(shù)，且有關(guān)系式1a＜1b＜1c；ab＜ac＜bc1b＜ab1c＜ac根據(jù)1c和ab的大小關(guān)系可分為兩種情況：i)1a＜1b＜1c＜ab＜ac＜bcii)1a＜1b＜ab＜1c＜ac＜bc.在i)情況下，由等差數(shù)列性質(zhì)知(bc)(ac)=(a

7、c)(ab)=(cb)(1c)設(shè)公差為k，即ba＝cb=abc1=k從而有b=akc=bk=a2k代入abc1=k中，得aaka2k1=k于是a=2k1b=3k1c=4k1又因?yàn)榱鶄€(gè)數(shù)之和為2０１，所以3(abc1)=20１abc=66即(2k1)(3k1)(4k1)=66k=7∴a=15b=22c=29類似地在ii)情況下可解得a=10b=19c＝373.二元一次不定方程我們把形如axby=c(ab≠0)的方程叫做二元一次不定方程，在

8、這里我們只研究方程系數(shù)a，b，c為整數(shù)的情況（以下不再作說(shuō)明）.關(guān)于二元一次不定方程的整數(shù)解，有下面的簡(jiǎn)單定理.定理1若a，b的最大公約數(shù)d不能整除c，則方程axby=c沒有整數(shù)解.以下約定記號(hào)(a，b)=1表示整數(shù)a，b互質(zhì).定理2對(duì)于方程axby=c，(a，b)=1如果(x0，y0)是方程的一組整數(shù)解，那么(t為整數(shù))???????atyybtxx00是方程的全部整數(shù)解.我們不證明這兩個(gè)定理，定理的證明完全可以仿照下面例題的解答給出