數(shù)學(xué)的三次危機(jī)

1、數(shù)學(xué)的三次危機(jī)——第三次數(shù)學(xué)危機(jī)盧介景三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第三次危機(jī)是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，從整體上看到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個(gè)悖論；兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似

2、的悖論，它們涉及到集合論中的結(jié)果。1902年，羅素發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素，英國人，哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1902年著述《數(shù)學(xué)原理》，繼而與懷德海合著《數(shù)學(xué)原理》(1910年～1913年)，把數(shù)學(xué)歸納為一個(gè)公理體系，是劃時(shí)代的著作之一。他在很多領(lǐng)域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。他關(guān)心社會(huì)現(xiàn)象，參加和平運(yùn)動(dòng)，開辦學(xué)校。1968～1969年出版了他的自傳。羅素悖論曾被以多種形式通俗化，

3、其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當(dāng)人們?cè)噲D答復(fù)下列疑問時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷本末尾寫道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這

4、更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了。當(dāng)本書等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我就置于這種境地”。狄德金原來打算把《連續(xù)性及無理數(shù)》第3版付印，這時(shí)也把稿件抽了解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結(jié)，這帶來了邏輯基礎(chǔ)的全面研究。從1900年到1930年左右，數(shù)學(xué)的危機(jī)使許多數(shù)學(xué)家卷入一場大辯論當(dāng)中。他們看到這次危機(jī)涉及到數(shù)學(xué)的根本，因此必須對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)加以嚴(yán)密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴(kuò)展

5、成為學(xué)派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生。它們都是唯心主義學(xué)派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們?cè)跔幷撝斜M管言語尖刻，好象勢不兩立，其實(shí)各自的觀點(diǎn)都吸收了對(duì)方的看法而又有很多變化。1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點(diǎn)，哲學(xué)的爭論黯淡了下來。此后，各派力量沿著自己的道路發(fā)展演化。盡管爭論的問題遠(yuǎn)未解決，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家并不大關(guān)心哲

6、學(xué)問題。直到近年，數(shù)學(xué)哲學(xué)問題才又激起人們的興趣。承認(rèn)無窮集合、承認(rèn)無窮基數(shù)，就好象一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。數(shù)學(xué)中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機(jī)就不可避免。危機(jī)的解決給數(shù)學(xué)帶

7、來了許多新認(rèn)識(shí)、新內(nèi)容，有時(shí)也帶來了革命性的變化。把20世紀(jì)的數(shù)學(xué)同以前全部數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容要豐富得多，認(rèn)識(shí)要深入得多。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測度論，數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)成為數(shù)學(xué)有機(jī)體的一部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維。代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來越優(yōu)美、完整。一系列經(jīng)典問題完滿地得到解決，同時(shí)又產(chǎn)生更多的新問題。特別是二次大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從來間斷。數(shù)學(xué)呈現(xiàn)無比興旺發(fā)