中南大學(xué)《流體力學(xué)》課件第八章量綱分析和相似原理

1、Engineering Fluid Mechanics,流體力學(xué)電子教案,對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題，直接應(yīng)用基本方程求解，在數(shù)學(xué)上極其困難，因此需有賴(lài)于實(shí)驗(yàn)研究來(lái)解決。本章首先闡述有關(guān)實(shí)驗(yàn)研究的基本理論和方法，包括流動(dòng)相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱和諧原理及量綱分析方法等。,第八章量綱分析和相似原理,,,量綱分析方法,第一節(jié) 量綱分析法,,一、單位和量綱,,單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱(chēng)單位。,量綱 ：物

2、理量所屬的種類(lèi)，表征物理量的性質(zhì)和類(lèi)別。（dimension）,量綱,基本量綱：具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱。 一般取長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量，即[L、M、T ],誘導(dǎo)量綱：是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。,量綱公式:,無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：α=0,β=0,γ=0，,特點(diǎn)：具有客觀(guān)性； 在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無(wú)量綱數(shù)； 不受運(yùn)動(dòng)規(guī)模影響。,二、量綱

3、的一致性原則,,凡是正確反映客觀(guān)規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱(chēng)為量綱和諧原理。,判斷：只有量綱相同的項(xiàng)才可以相加減。,三、量綱分析方法,,1.瑞利法：是量綱和諧原理的直接應(yīng)用,確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n 個(gè)物理量；,寫(xiě)出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式 ；,根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)， 代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。,瑞利法

4、的計(jì)算步驟P214：,應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個(gè)。,量綱分析方法,【例】確定圓管流動(dòng)中邊壁切應(yīng)力的表達(dá)式τ0。,解: 1、 影響τ0的獨(dú)立因素有液體的密度ρ，液體的動(dòng)力粘度μ，圓管直徑D， 管壁材料的粗糙度△以及管中斷面平均流速v 。,2、擬定函數(shù)關(guān)系式為：,3、寫(xiě)出量綱關(guān)系式為：,4、排列量綱和諧方程求各指數(shù)。,5、解得 b =1-a, c =a-d-1, e =a+1。,6、將各指數(shù)值代入

5、函數(shù)關(guān)系式中得 ：,整理得：,令,所以,式中λ——系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。,量綱分析方法,三、量綱分析方法,,2.Π定理法：,計(jì)算步驟P216：,對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象，如果存在(n+1)個(gè)變量（一個(gè)因變量，n個(gè)自變量）互為函數(shù)，而這些變量中含有m 個(gè)基本量，則可排列這些變量成[（n+1）-m ]個(gè)無(wú)量綱數(shù)，即可合并(n+1)個(gè)物理量為[（n+1)-m]個(gè)無(wú)量綱π數(shù)。,（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對(duì)所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，確定影響這個(gè)現(xiàn)象的各個(gè)

6、 物理量及其關(guān)系式:,（2）確定基本量：從中選取m個(gè)相互獨(dú)立的基本物理量作為基本量綱的代表， 一般取m = 3。,（3）確定π數(shù)的個(gè)數(shù)N（π）=（n+1-m），并寫(xiě)出其余物理量與基本物理量 組成的π表達(dá)式,（4）確定無(wú)量綱π參數(shù)：滿(mǎn)足π為無(wú)量綱項(xiàng)。求出各π項(xiàng)的指數(shù)。,（5）寫(xiě)出描述現(xiàn)象的關(guān)系式。,量綱分析方法,【例】液體在水平等直徑的管內(nèi)流動(dòng)，設(shè)兩

7、點(diǎn)壓強(qiáng)差△p與下列變量有關(guān)：管徑d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，試求△p的表達(dá)式。,解: 1、確定關(guān)系式：,2、確定基本量：,3、寫(xiě)出其余物理量與基本物理量組成的π表達(dá)式,則：,同理：,所以,選擇基本量 d, ρ, υ。則n=6, m=3, π數(shù)n+1-m =4個(gè),對(duì)π1：,設(shè),則：,答案,可用來(lái)推導(dǎo)各物理量的量綱；簡(jiǎn)化物理方程；檢驗(yàn)物理方程、經(jīng)驗(yàn)公式的正確性與完善性，為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供理論指導(dǎo)。,答案,一般不滿(mǎn)

8、足。通常根據(jù)一系列的試驗(yàn)資料統(tǒng)計(jì)而得，不考慮量綱之間的和諧。,答案,雷利法適用于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相關(guān)變量未知數(shù)≤4~5個(gè)， π定理是具有普遍性的方法。,量綱分析方法,第二節(jié) 相似原理,,分析或研究一個(gè)流體的流動(dòng)問(wèn)題,實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)（EFD）,,理論分析理論流體力學(xué)（TFD）,數(shù)值模擬計(jì)算流體力學(xué)（CFD）,兩個(gè)規(guī)模不同的流動(dòng)相似是流體力學(xué)試驗(yàn)時(shí)必須面對(duì)的問(wèn)題。,第四章 流動(dòng)阻力,一、流動(dòng)相似,,流動(dòng)相似： 兩個(gè)流動(dòng)的相

9、應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系， 則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。,模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿(mǎn)足：,1.表征流場(chǎng)幾何形狀的量——幾何相似,2.表征流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量——運(yùn)動(dòng)相似,3.表征流體質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力性質(zhì)的量——?jiǎng)恿ο嗨?4.流動(dòng)的初始條件和邊界條件的相似,第四章 流動(dòng)阻力,1. 幾何相似,指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線(xiàn)性變量的比值均相等。,線(xiàn)性變量——可

10、以是圓柱體的直徑 d，管道的長(zhǎng)度 l，管壁的粗糙系數(shù)Δ等。,第四章 流動(dòng)阻力,2. 運(yùn)動(dòng)相似,即兩流場(chǎng)各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u 及加速度a 的方向相同，且大小各具有同一比值。即他們的速度場(chǎng)相似。,第四章 流動(dòng)阻力,3.幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似的關(guān)系,幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似的前提條件。,可證明：模型和原型流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)路程所需要 的時(shí)間也必定成一定的比例。,得出：其它有關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量也必定成一定的比例。,第四章

11、流動(dòng)阻力,4. 動(dòng)力相似,指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。,幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)；,動(dòng)力相似是決定二個(gè)液流運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；,運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)；,凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。,5. 幾何、運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力相似的關(guān)系,推論：流動(dòng)完全相似，則模型與原型流場(chǎng)的密度也必定成一定的比例。,作用：由于實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)流場(chǎng)的密度比例尺常常是

12、已知的，或者是已經(jīng)選定的，故模型實(shí)驗(yàn)時(shí)，經(jīng)常選取 作為基本比例尺，即選取 作為獨(dú)立的基本變量。,二、動(dòng)力相似準(zhǔn)則,,在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。,任何系統(tǒng)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)都必須服從牛頓第二定律。即：對(duì)原型和模型流場(chǎng)中的流體質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，按照動(dòng)力相似準(zhǔn)則，可得：,三、牛頓相似準(zhǔn)則,,定義： 為牛頓數(shù),即：,所以?xún)蓚€(gè)相似流動(dòng)

13、的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動(dòng)相似的 重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱(chēng)為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。,,說(shuō)明：完全的動(dòng)力相似，要求慣性力與其他所有性質(zhì)的力都要符合牛頓相似準(zhǔn)則，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個(gè)對(duì)流動(dòng)起決定作用的力給予滿(mǎn)足。,問(wèn)題：為什么每個(gè)相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？,答案,作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個(gè)力多邊形的話(huà)，那么慣性力則是這個(gè)力多邊形的合力

14、，即牛頓第二定律。流動(dòng)的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。,雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則,,L——為流場(chǎng)中的特征線(xiàn)性長(zhǎng)度。,當(dāng)粘滯力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：,適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類(lèi)液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動(dòng)力

15、相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。,第四章 流動(dòng)阻力,弗汝德（重力）準(zhǔn)則,,一般?。?當(dāng)重力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：,適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動(dòng)的各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng)等。,第四章 流動(dòng)阻力,歐拉（壓力）準(zhǔn)則,,當(dāng)壓力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：,適用范圍：一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞

16、德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來(lái)保證液流相似。,P —— P也可以用壓差ΔP來(lái)代替。,第四章 流動(dòng)阻力,四、模型律,,兩個(gè)流動(dòng)同時(shí)滿(mǎn)足各種同名力相似有困難；故一般只保證起主要作用的力相似，這就要求選擇起主要作用的模型律。,如：重力場(chǎng)中要使用弗勞德準(zhǔn)則如果原型與模型中的流體相同，則要求這是矛盾的。解決方法：用運(yùn)動(dòng)粘度不一樣的流體來(lái)解決。,船在航行時(shí)的阻力系數(shù)CD與Re和Fr有

17、關(guān)。在進(jìn)行船模實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求滿(mǎn)足雷諾準(zhǔn)則和弗勞德準(zhǔn)則。試求：1、假設(shè)模型船的大小是原型的1/20，而原型船的速度為10m/s，模型船的速度應(yīng)是多少？2、假設(shè)原型船在20度的水中航行，模型實(shí)驗(yàn)的流體的運(yùn)動(dòng)粘度是多少？,例題,,解1：由弗勞德準(zhǔn)則。,2：由雷諾準(zhǔn)則。,這么小粘度的流體幾乎找不到，所以同時(shí)滿(mǎn)足兩種模型律也很難做到。,例題,,直徑d=90cm的圓球在空氣中的運(yùn)動(dòng)速度為60m/s，為測(cè)其阻力，做一直徑為45cm的模型放入