第一部分塑性力學

1、塑性力學,,塑性變形是非常普遍的現象,如金屬的切削加工,金屬結構承載時的局部應力集中處,如金屬的軋制、拉拔、擠壓、鍛壓和鈑金加工,一些材料常數測定試驗（如硬度試驗）時有塑性變形,很多工程材料在破壞過程中有塑性變形并與塑性變形強烈相關,巖土的不可恢復變形，等等。,對這些問題進行分析時，必須考慮到材料的塑性性質。,地震時混凝土構件中鋼筋的塑性變形,切削中的塑性變形,圖片引自周增文主編：《機械加工工藝基礎》,材料的破壞伴隨著塑性變形,（金屬）

2、材料破壞區(qū)域在破壞前經歷了明顯的（有時是非常劇烈的）塑性變形,,材料的破壞伴隨著塑性變形,（金屬）材料破壞區(qū)域在破壞前經歷了明顯的（有時是非常劇烈的）塑性變形,,零件使用中塑性變形導致的損傷,航空發(fā)動機渦輪葉片強度分析的例子,塑性力學的應用,估計（或預測）工程結構的強度和壽命（塑性力學通常會被用到）,尋找充分發(fā)揮材料的強度潛力的方法（例如研究在哪些條件下可以允許結構中某些部位進入塑性變形，以充分發(fā)揮材料的強度潛力，減少用料，減輕結構自重

3、 ）,設計和優(yōu)化工程結構或零件的加工（成型、切削等）工藝,研究材料或結構破壞的原因（例如結合損傷、斷裂和塑性力學分析故障產生原因）,研究材料在加工和使用中的微結構演化,等等?？傊苄粤W有非常廣泛的應用領域。,塑性力學的基本方程,塑性力學采用連續(xù)介質力學的基本假設和基本方法，采用的基本方程有：,上述方程中前兩類與材料性質無關，是普遍適用的。塑性力學與連續(xù)介質力學其它分支的最重要的差別是本構方程。,描述物體變形和運動的幾何關系——位移應

4、變關系（變形、應變的定義等，在彈性力學中已有介紹）,各種守恒定律（如質量守恒、動量守恒、動量矩守恒和能量守恒等，在理論理學和彈性力學中已有介紹）,本構方程（描述材料物理狀態(tài)和力學性質）,本構方程是塑性力學研究的重點,材料的塑性本構方程的建立是以材料的宏觀實驗為依據。本課程介紹的塑性本構方程是從唯象的角度總結出來的。,要進行更深入、更系統(tǒng)的研究，一方面要用不可逆過程熱力學的觀點來探討，另一方面要用宏觀與微觀或細觀相結合的方法來研究塑性變形

5、規(guī)律。,塑性本構方程現在仍是一個國內外研究的熱點。,第一章 簡單應力狀態(tài)下的 彈塑性力學問題,§1.1 引言 §1.2 材料在簡單拉壓時的實驗結果 §1.3 應力-應變關系 簡化模型 §1.4 軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)§1.5 簡單桁架的彈塑性分析§1.6 強化效應的影響§1.7 幾何非線性的影響§1.8 彈性極限

6、曲線§1.9 加載路徑的影響§1.10 極限載荷曲線（面）§1.11 安定問題,塑性力學中的假設,連續(xù)性假設均勻性假設各向同性假設小變形假設無初始應力假設應力與應變之間的關系應由實驗確定 平均正應力(靜水壓力)不影響屈服條件體積的變化是彈性的,§1.1 引言,一、變形,彈性變形：物質微元的應力和應變之間具有單一的 對應關系,非彈性變形：應力和應變之間不具

7、有單一的對應關系,非彈性變形,,塑性變形,粘性變形,（是指物體在除去外力后所殘留下 的永久變形）,（隨時間而改變，如蠕變、應力松 弛等）,二、塑性與脆性,如果變形很小就破壞，便稱是脆性,如果經受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時材料的塑性變形能力較強，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力。,——采用彈性理論分析,——采用塑性力學分析,研究在哪些條件下可以允許結構中某些部位

8、的應力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強度潛力 研究物體在不可避免地產生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響 研究好何利用材料的塑性性質以達到加工成形的目的,三、塑性力學目的,塑性力學是連續(xù)介質力學的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質力學中的假設和基本方法。,四、塑性力學的方法,基本方程: ①幾何關系 ②守恒定律 ③本構方程,§1.2 材料在簡單拉壓時的實驗結果,研究塑性變形規(guī)律的最簡單試驗是金屬多

9、晶材料的單向拉伸試驗，有時也采用壓縮實驗，通常在室溫下進行。,§1.2,各種拉伸試樣,材料塑性測試設備,§1.2 材料在簡單拉壓時的實驗結果,材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實驗(名義)應力：σ=P/A0(名義)應變：ε=（ι-ι0）/ι0,一、實驗描述,,二、實驗曲線,線彈性階段 非線性彈性階段屈服階段強化階段頸縮階段,實驗曲線加載過程,實驗曲線卸載過程,,,彈性階段：卸載沿原路返回

10、塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性 階段相同,應變強化：,三、兩種現象,包氏效應：,實驗曲線反向加載：,單晶體，其壓縮時的屈服應力也有相似的提高(圖2（a）中的M´´點)多晶體，其壓縮屈服應力（M´點）一般要低于一開始就反向加載時的屈服應力（A´點）。這種由于拉伸時強化影響到壓縮時弱化的現象稱為包氏效應（Bauschinger effect）。,材料經過塑性變形得到強化,圖2（a）,1

11、、在材料的彈塑性變形過程中，應力與應變之間已不再 具有單一的對應關系。,四、實驗總結,加載路徑——σ與ε之間的關系依賴于加載路徑,內變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史,例如，作為最簡單的近似，可以取內變量ξ為塑性應變εp，而將簡單受拉（壓）時的應力應變關系寫為 ε=σ/E+εp （1）,——其中E為楊氏模量,上式表明，當εP（內變量）一定時，σ與ε之間有單一的對應關系。,2. σ與ε之間的線性關系

12、ε=σ/E+εp （1）式是有適用范圍的。對于固定的內變量εP，σ或ε并不能隨意取值。,例如，對處于圖2（a）中的M點，當加載時即應力（或應變）繼續(xù)增長時，應力應變曲線將沿AMM1方向延伸，公當卸載時即應力（或應變）減小時應力應變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應的加卸載準則。,,,,圖2（a）,五、影響材料性質的其它幾個因素,1、溫度 當溫度上升

13、時，材料的屈服應力將會 降低而塑性變形的能力則有所提高。,3．靜水壓力 當靜水壓力不太大時，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產生永久的塑性體積改變。,2、應變速率 如果實驗時將加載速度提高幾個數量級，則屈服應力也會相應地提高，但材料的塑性應變形能力會有所下降。,當材料有較大的塑性變形時（彈性變形相對地很?。?， 可近似地認為體積是不可壓的。,靜水壓力對屈服應力的影響也是不大的。,§1.3 應力-應變關

14、系關系的簡化模型,,,,,,,類似地，上式也可用應變表示為：,1．理想彈塑性模型,適用：強化率較低的材料，在應變不太大時可忽略強化效應,,,,2．線性強化彈塑性模型,類似地，上式也可用應變表示為：,適用：材料的強化率較高且在一定范圍內變化不大,（假定拉伸和壓縮時屈服應力的絕對值和強化模量都相同）,,,——表示圖5（a）中的 線段比,3．一般加載規(guī)律,對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時應力應變關系：,注：這種模型在 =

15、0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數學上比較容易處理。,,,（8）,4．冪次強化模型,（其中B>0，0<m<1）,但在一般數值分析中，多采用以下的形式,避免了模型在 處斜率為無窮大的問題,§1.3,,其加載規(guī)律可寫為： （9）,如取 就有,,說明：這對應于割線余率為0.7E的應力和應變，上式中有三個參數可用來刻

16、畫實際材料的拉伸特性，而在數學表達式上也較為簡單。,5．Ramberg-Osgood模型,等向強化模型,,,,,6. 等向強化模型及隨動強化模型,例如：可取,適用：拉伸時的屈服應力和壓縮時的屈服應力始終是相等的。,—— 是刻畫塑性變形歷史的參數,或,該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應力提高，對應圖2（a）中的 和 。,隨動強化模型 上式在線性強化情形下也可寫為,（ 是塑性應變 的單調遞增函數

17、）,適用：考慮包氏效應，認為拉伸屈服應力和壓縮屈服應力的代數 值之差，即彈性響應的范圍始終是不變的。,該模型對應圖2（a）中的 和 。,§1.4 軸向拉伸時的塑性失穩(wěn),一、拉伸失穩(wěn)的概念,1、拉伸失穩(wěn)：,注意：拉伸試件在出現頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會有 明顯減少，再用名義應力和應變來描述此時的材料特 性是不適當的,（見圖2）,在最高點以后，增加應變時應力反而下降，在通常意

18、義下稱試件是不穩(wěn)定的。,圖2（a）,2、真應力,3、對數應變,4、截面積收縮比,q=（A0-A）/A0,假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應力達到最高點C時出現頸縮：,,,,,,二、真應力,則在頸縮時真應力應滿足條件,拉伸失穩(wěn)分界點的斜率正好和該點的縱坐標值相等。,由,,結論：,[1],,,,,注意到,頸縮時的條件也可寫為：,即,拉伸失穩(wěn)點 的斜率為其縱坐標值除以,結論：,[2],[3],以截面積收縮比q為自變量

19、,則,由頸縮時的條件,拉伸失穩(wěn)時真應力所滿足的條件:,隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料的弱化而導致失穩(wěn)。稱之為應變弱化。,三、材料本身的失穩(wěn)現象,例如，在低碳鋼拉伸實驗中由上屈服應力突然下降到下屈服應力的現象，它與材料變形的內部微觀機制的變化有關。,在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現象往往是耦合的,§1.5 簡單桁架的彈塑性分析,,,,一、問題的提出,以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進行彈塑

20、性分析。,以一次超靜定三桿桁架為例進行彈塑性分析,解：在載荷P 較小時，桿系處于彈性狀態(tài)，各桿軸力為：,已知：三桿材料相同，彈性模量均為E；橫截面積相同，均為A，l1=l3，l2=l，試討論桿系的極限載荷和A點的鉛垂位移Δ。,載荷增加時，桿2首先屈服，此時σ2＝σs，1、3桿仍處于彈性狀態(tài)。,屈服載荷Pe：,超靜定結構→靜定結構,繼續(xù)加載，桿1、3也達到屈服，結構喪失承載能力。,極限載荷Pl：,A點位移Δ分析,P小于或等于Pe時，,,當

21、Pe <P<Pl時，,P=Pl時,,,當P<Pe時，三桿處于彈性狀態(tài)，結構的剛度比較大；當Pe<P<Pl時，桿2屈服，喪失進一步承載力，但桿1和3仍處于彈性狀態(tài)，A點位移由1、3桿的變形控制，故桿2的塑性變形不能任意增長，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。該階段與載荷P的關系仍是線性的，但剛度有所降低；當P=Pl時，結構屈服，失去抵抗變形能力，即使載荷不再增加位移也會不斷增加。,,,卸載： 桿1，2和3均發(fā)生彈

22、性變形。設卸載量為,桿中應力,結點位移,完全卸載時，可得到殘余應力：,可見，殘余變形并不一定等于塑性應變,完全卸載時殘余應變：,？,>0,由于,§1.6 強化效應的影響,本節(jié)仍討論Q=0的情形，,現假定材料是線性強化的。,不卸載時其拉伸曲線可寫為,（1）當P 時，桿中的應力值仍由（18）式表示,（2）當P>Pe時，有,將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得,,（3）當P增至使 時，第

23、1桿和第3桿也開始屈服。,此時的載荷值為,1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計算卻有相當的簡化。,說明：,2、當P小于P1時，結構的變形仍屬于彈性變形的量級，而當P超過P1后繼續(xù)增加時，由于強化效應，結構并不會進入塑性流動狀態(tài)，但這時的變形將會有較快的增長。,§1.7 幾何非線性的影響,一、問題的提出,求解基

24、本方程：,——是在小變形的假設下建立的,當桿件的塑性變形很大時，結構幾何尺寸的改變將會產生顯著的影響。這時應采用真應力和對數應變來進行討論。,二、問題的解答,仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強化的：,而且滿足不可壓條件：,令,則,由幾何分析,于是,在變形后的結構上建立的平衡方程為：,其中,——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角,,,可見（33）式中有三個未知量,,在不卸載的情況下，由本構方程：,得到 與 之間的非線

25、性關系,結論：,隨著 的增長， 的值將會由于強化效應和 角的減小而提高，但也會隨著桿件截面積的收縮而下降。故當 很大時，結構將可能變成不穩(wěn)定的。,§1.8 彈性極限曲線,,,本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。,如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，,平衡方程,,幾何方程,,,協(xié)調條件,本構方程,,其中 ，

26、表示只作用水平力時的彈性極限載荷。,可求得桿中應力為,,,（35）式成立的條件為,這相當于對P和Q的限制條件：,上式對應于圖12中實線六邊形區(qū)域，其中等號則對應于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達到屈服狀態(tài)。,如果作用于結構上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結構中將存在殘余應力。,由于殘余應力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：,其中 是一個可以變化的參數，其值可由（28）

27、式來表示。,在存在殘余應力的情況下，如果再重新對結構施加載荷而未能再次屈服，那么結構中的應力值就應該是以上的殘余應力與（35）式的疊加。,不產生新的塑性變形的限制條件：,其中 值滿足,（37）式對應于圖12中虛線所構成的六邊形區(qū)域。,說明：,可見在加載方向一側屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側屈服載荷有所降低?？捎脕韺冇不桶闲痊F象做一個比較形象的解釋。,§1.9 加載路徑的影響,塑性力學的特點之

28、一就是解對加載路徑的依賴性。,[例],計算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點的最終水平位移和垂直位移。,第一種路徑,（圖13（a)中的路徑1）,,當 時,第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達到Qe,如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點O有一個水平方向的位移增量 ，則由幾何關系（14）式：,可知第1桿和

29、第2桿并未卸載,而第3桿以彈性規(guī)律卸載,于是，由（13）式可求得載荷增量為：,即Q與P之間的變化規(guī)律是線性的,當第3桿卸載到σ3=-σs時,由△σ3=-2σs得,,此時三桿同時屈服，即結構再次進入塑性流動狀態(tài)。三桿的應力為：,水平位移δx可由（38）式求得，垂直位移δy始終不變。因此：,,第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作單調的比例如載而達到（ ）,第二種路徑,（圖13（a）中的路徑②）

30、,由于加載時始終有關系 式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：,,,，,,,——表明隨著P的增長，第1桿最先達到屈服。,當,各桿的應力,此時O點的位移值為,,,,,,如繼續(xù)加載，則第1桿進入屈服階段，,即,由,和（13）式的增量形式,——表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。,各桿的應力由（41）式和（43）式計算,當 三桿同時進入塑性狀態(tài)，即,,,,,,,,,利用（43）式,和（14）式

31、的增量形式,便可求出對應于 時的位移增量：,最終位移則是上式和（42）式的疊加：,結論：,可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應力值，但各桿的應變和O點最終位移值卻是不同的。,§1.10極限載荷曲線（面）,一、概念,兩個不等式同時取等號時，（P，Q）的值將處于虛線六邊形的頂點。,1、塑性極限載荷,,,,,,,此時結構變?yōu)橐粋€能產生塑性流動的機構而喪失了進一步承載的能力。相應的載荷就是塑性極限載荷。,2、極

32、限載荷曲線,隨著γ*的改變，這個極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線，稱為極限載荷曲線（在多維載荷空間中則稱為極限載荷曲面）。,特點：與彈性極限曲線不同，極限載荷曲線是 結構的固有屬性，它不依賴于加載歷史。,作法：,1、求得（Q，P）平面在第一象限內的極限載荷曲線；,2、根據Q和P的四種組合和拉、壓屈服應力相等的假設， 由對稱性條件來獲得整個平面上的極限載荷曲線。,（Q，P）平面在第一象限內的極限載荷曲線

33、可由以下方法求得：,設加載是按比例 增至極限載荷的,很大時，第1桿和第2桿先達到拉伸屈服,故由（13）式,得,其中,,這對應于圖a中的線段FG。,1、,2、當 很小時，第1桿達到拉伸屈服而第3桿達到壓縮屈服：,故由（13）式,得,其中,,這對應于圖a中的線段GH,,——此時三桿同時進入屈服狀態(tài),二、極限載荷曲線的性質,（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與加載路 徑無關。,（2）極限載荷曲線（面）是外凸的

34、。,（3）在極限載荷曲線（面）上，與外載荷相對應 的位移增量的方向指向該曲線（面）的外法 向。,§1.11* 安定問題,安定狀態(tài) : 結構始終呈彈性響應 結構在經過有限次塑性變形而達到一定的殘余應力狀態(tài)后，外載荷的繼續(xù)作用將使該結構在此殘余應力之上仍 然作彈性響應,不安定：結構中的某些部位總是交替地產生異號的塑性變化， 從而導致結構的塑性循環(huán)（或稱低周疲勞）破壞；結構中的某些部位總要產生