數(shù)學(xué)建模與大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

1、數(shù)學(xué)建模與大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,主講教師：呂紅,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 ——什么是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽?,數(shù)學(xué)競(jìng)賽給人的印象是高深莫測(cè)的數(shù)學(xué)難題，和一個(gè)人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的冥思苦想，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，而數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽從內(nèi)容到形式與此都有明顯的不同。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，大家可以從歷年的賽題中看到，它們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但

2、留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。,1992年由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)組織第一次競(jìng)賽,全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 http://mcm.edu.cn,美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 http://comap.com,1985年開(kāi)始舉辦數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM)1999年開(kāi)始增辦交叉學(xué)科競(jìng)賽(ICM).,,競(jìng)賽內(nèi)容：題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化而成，沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和

3、創(chuàng)造精神。,競(jìng)賽形式：三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時(shí)間內(nèi)分工合作完成一篇論文。,評(píng)獎(jiǎng)標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。,全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽競(jìng)賽宗旨,開(kāi)拓知識(shí)面 提高應(yīng)用能力 培養(yǎng)創(chuàng)造精神 增強(qiáng)合作意識(shí),運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)（包括選擇合適的數(shù)學(xué)軟件）分

4、析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨(dú)立進(jìn)行研究的能力,關(guān)心、投身國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)的意識(shí)和理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng),團(tuán)結(jié)合作精神和進(jìn)行協(xié)調(diào)的組織能力,勇于參與的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和不怕困難、奮力攻關(guān)的頑強(qiáng)意志,查閱文獻(xiàn)、收集資料及撰寫(xiě)科技論文的文字表達(dá)能力,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，提高學(xué)生綜合素質(zhì),身邊的數(shù)學(xué),當(dāng)你準(zhǔn)備分期貸款購(gòu)買(mǎi)一所新居時(shí)，面對(duì)五花八門(mén)的還款方式（期限、利率不同，按月或按年償還，…），哪一種最有利。用不太深

5、的數(shù)學(xué)就能準(zhǔn)確地回答你的問(wèn)題。 你注意過(guò)錄象機(jī)計(jì)數(shù)器數(shù)字的跳動(dòng)嗎。這里有什么規(guī)律嗎。你找到規(guī)律，就可以根據(jù)計(jì)數(shù)器的讀數(shù)算出錄象帶已經(jīng)走過(guò)了多長(zhǎng)時(shí)間，也就知道未轉(zhuǎn)過(guò)的那段帶子能否錄下一定時(shí)間的一個(gè)節(jié)目。,身邊的數(shù)學(xué)模型,模型無(wú)處不在。你的照片就是反映你容貌的模型；地圖是用特定的符號(hào)表示山川、道路的模型。數(shù)學(xué)模型當(dāng)然更抽象些，它是由數(shù)字、字母和數(shù)學(xué)符號(hào)組成的、描述研究對(duì)象數(shù)量規(guī)律的公式、圖表或者程序。解決分期貸款和計(jì)數(shù)器讀

6、數(shù)那兩個(gè)問(wèn)題，就要建立數(shù)學(xué)模型。 一般地說(shuō)，當(dāng)人們?cè)O(shè)計(jì)產(chǎn)品參數(shù)、規(guī)劃交通網(wǎng)絡(luò)、制定生產(chǎn)計(jì)劃、控制工藝過(guò)程、預(yù)報(bào)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、確定投資方案時(shí)，都需要將研究對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法表述出來(lái)，并將求解得到的數(shù)量結(jié)果返回到實(shí)際對(duì)象的問(wèn)題中去。在決策科學(xué)化、定量化呼聲日漸高漲的今天，數(shù)學(xué)建模幾乎是無(wú)處不在的。,什么是數(shù)學(xué)模型,對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的原型，為了某個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也

7、可以說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)、方程與圖象）模擬現(xiàn)實(shí)的模型。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡(jiǎn)化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測(cè)到對(duì)象的未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。,什么是數(shù)學(xué)建模,把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們把數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。,數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過(guò)程,1、模型準(zhǔn)備　

8、 　2、模型假設(shè)3、模型建立　　 4、模型構(gòu)成5、模型求解　 　6、模型分析7、模型檢驗(yàn) 8、模型應(yīng)用,,,,,,,,,go on......,,模型準(zhǔn)備,了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義與建模目的，掌握對(duì)象的各種信息（要收集）。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。,,模型假設(shè),根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)

9、言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對(duì)問(wèn)題的所有因素一概考慮，無(wú)疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力 ，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應(yīng)盡量使問(wèn)題線性化、均勻化。,,模型建立,在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）,,模型構(gòu)成,根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量

10、間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有高數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、圖論、排隊(duì)論、線性規(guī)劃、對(duì)策論等等。但要牢記，建立數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。,,模型求解,利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。一道實(shí)際問(wèn)題的解決往往需要紛繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力

11、便舉足輕重。 要求：掌握matlab ,mathematica, lingo,sas等之一.,,模型分析,對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，能否對(duì)模型結(jié)果作出細(xì)致精當(dāng)?shù)姆治?，決定了你的模型能否達(dá)到更高的檔次。要記住，不論那種情況都需進(jìn)行誤差分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。,,模型檢驗(yàn),將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)

12、該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。,,模型分類(lèi)（1）,1、按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類(lèi)： 生物數(shù)學(xué)模型　 醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型　 地質(zhì)數(shù)學(xué)模型　 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型2、按是否考慮隨機(jī)因素分類(lèi)：　 確定性模型　 隨機(jī)性模型3、按是否考慮模型的變化分類(lèi)：　 靜態(tài)模型　 動(dòng)態(tài)模型,模型分類(lèi)（2）,4、按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類(lèi)：　 離散模型　 連續(xù)模型5、按建立

13、模型的數(shù)學(xué)方法分類(lèi)：　 幾何模型　 微分方程模型　 圖論模型 　 規(guī)劃論模型　 馬氏鏈模型,模型分類(lèi)（3）,6、按人們對(duì)是物發(fā)展過(guò)程的了解程度分類(lèi)：（1）白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、 熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問(wèn)題。（2）灰箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改 善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問(wèn)題。如 氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)

14、域的模型。（3）黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。 如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等方面的問(wèn)題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡(jiǎn)化為灰箱模型來(lái)研究。,數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,1. 九月底競(jìng)賽2. 三人一隊(duì)，賽三天。3. 兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，選一題。4. 研究、計(jì)算、解決，完成一篇論文。,近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題,近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題,1996年B題 節(jié)水洗衣機(jī),我國(guó)淡水資源

15、有限,節(jié)約用水人人有責(zé). 洗衣機(jī)在家庭中占有相當(dāng)大的份額, 目前洗衣機(jī)已非常普及, 節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要. 假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過(guò)程為: 加水—漂洗—脫水--加水—漂洗—脫水--…--加水—漂洗—脫水(稱(chēng) “加水—漂洗—脫水”為運(yùn)行一輪). 請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包括運(yùn)行多少輪\每輪加入水量等), 使得在滿足一定洗滌效果的條件下, 總量最少. 選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算. 對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況, 對(duì)你的模型和結(jié)

16、果作出評(píng)價(jià). 參考網(wǎng)址：http://lxg59.nease.net/,近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題,2001年B題 公交車(chē)調(diào)度,考慮一條公交線路上公交車(chē)的調(diào)度問(wèn)題，其數(shù)據(jù)來(lái)自我國(guó)一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運(yùn)營(yíng)資料。,該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，給出的是典型的一個(gè)工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車(chē)的乘客數(shù)量統(tǒng)計(jì)。,公交公司配給該線路同一型號(hào)的大客車(chē)，每輛標(biāo)準(zhǔn)載客100 人，據(jù)統(tǒng)計(jì)客車(chē)在該線路上運(yùn)行的平均

17、速度為20公里/小時(shí)。運(yùn)營(yíng)調(diào)度要求，乘客候車(chē)時(shí)間一般不要超過(guò)10分鐘，早高峰時(shí)一般不要超過(guò)5分鐘，車(chē)輛滿載率不應(yīng)超過(guò) 120%，一般也不要低于50%。,試根據(jù)這些資料和要求，為該線路設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的全天（工作日）的公交車(chē)調(diào)度方案，包括兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車(chē)時(shí)刻表；一共需要多少輛車(chē)；這個(gè)方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益；等等。,2008年北京奧運(yùn)會(huì)地區(qū)臨時(shí)超市點(diǎn)網(wǎng)設(shè)計(jì) （2004年全國(guó)大學(xué)生建模比賽A

18、題）,比賽題目：2008年北京奧運(yùn)會(huì)主館場(chǎng)周邊臨時(shí)商亭網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì),為了了解觀眾的購(gòu)物需求和人流量的規(guī)律，假設(shè)我們?cè)谝呀?jīng)建設(shè)好的某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，舉辦了三次運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)觀眾發(fā)放問(wèn)卷調(diào)查，采集相關(guān)數(shù)據(jù)，供解題者使用。,2008年北京奧運(yùn)會(huì)的建設(shè)工作已經(jīng)進(jìn)入全面設(shè)計(jì)和實(shí)施階段。奧運(yùn)會(huì)期間，在比賽場(chǎng)館的周邊地區(qū)必須建設(shè)一個(gè)由小型商亭構(gòu)建的臨時(shí)商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)。我們稱(chēng)之為迷你超市（MS）網(wǎng)，主要滿足運(yùn)動(dòng)員，觀眾，游客，工作人員在奧運(yùn)會(huì)期間購(gòu)物需求，經(jīng)營(yíng)食品、旅游用品

19、、奧運(yùn)紀(jì)念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場(chǎng)館周邊地區(qū)設(shè)置這種MS，在地點(diǎn)、大小類(lèi)型和總量方面，必須滿足三個(gè)基本要求：滿足奧運(yùn)會(huì)期間的購(gòu)物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。顯然，這是一個(gè)必須用科學(xué)的方法解決的問(wèn)題。,在本題卷中給出了奧運(yùn)會(huì)主要比賽場(chǎng)館的規(guī)劃圖，是解決上述問(wèn)題的地理平臺(tái)。作為真實(shí)地圖的簡(jiǎn)化，在本頁(yè)結(jié)構(gòu)圖中僅保留了與上述問(wèn)題有關(guān)的地區(qū)，以及相關(guān)內(nèi)容：道路、公交車(chē)站、出租車(chē)站、自駕車(chē)停車(chē)場(chǎng)、地鐵、餐飲部門(mén)等。,并在答卷論文中明

20、確回答以下必答問(wèn)題：假定每位觀眾出行平均兩次，一次為進(jìn)出場(chǎng)館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請(qǐng)你依據(jù)附錄中給出的問(wèn)卷調(diào)查數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律，測(cè)算圖中20個(gè)商區(qū)內(nèi)人流量分布（用百分比）。 2. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)MS類(lèi)型（可以分兩種大小不同規(guī)模）， 在20個(gè)商區(qū)內(nèi)的分布（每個(gè)商區(qū)內(nèi)不同類(lèi)型MS的個(gè)數(shù)），以滿足“題目描述”中的三個(gè)基本要求。 3．闡明你的方法的科學(xué)性和結(jié)果是貼近實(shí)際的。,問(wèn)題： 對(duì)結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)明的比賽場(chǎng)館周

21、邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標(biāo)有A、B、C及編號(hào)的黃色填充的區(qū)域）內(nèi)設(shè)計(jì)網(wǎng)點(diǎn)。,說(shuō)明: 1．商業(yè)上用“商圈”來(lái)描述商店的覆蓋范圍。影響商店選址的主要因素是商圈內(nèi)的人流量，以及購(gòu)物欲望。2．為簡(jiǎn)化，假定鳥(niǎo)巢（國(guó)家體育場(chǎng)）容量10萬(wàn)人，水立方（國(guó)家游泳中心）容納4萬(wàn)人，國(guó)家體育館可容納6萬(wàn)人。每個(gè)看臺(tái)容1萬(wàn)人，出口對(duì)準(zhǔn)一個(gè)商區(qū)，各商區(qū)面積相同，圖中白色為人行道路。,題目的背景命題的創(chuàng)意和設(shè)計(jì)貼近實(shí)際：通用型和實(shí)用性提高開(kāi)放性：淺無(wú)邊

22、與深無(wú)底重在建模：數(shù)學(xué)模型與數(shù)據(jù)模型,原型的目的：在奧運(yùn)館場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)臨時(shí)小超市（MS）,分析結(jié)構(gòu)并抽象出專(zhuān)業(yè)模型：,1 對(duì)于設(shè)計(jì)環(huán)境抽象出與目的有關(guān)的館場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖。,2 抽取影響設(shè)計(jì)MS的主要因素：人流量，因此在以上館場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖中，應(yīng)該存在一個(gè)人流分布結(jié)構(gòu)。,3 理解設(shè)計(jì)的三條原則：滿足購(gòu)物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實(shí)質(zhì)上是在以上兩種結(jié)構(gòu)之上加上限制性結(jié)構(gòu)——約束。,用自然語(yǔ)言表述了原型及目的涉及的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系

23、，這種專(zhuān)業(yè)模型實(shí)際上在題目中已經(jīng)給出，只要理解并再清楚地表述。,課程形式設(shè)計(jì),1、授課2、課后小組討論：3~5人一組3、各位同學(xué)課堂上講授（5~10分鐘）4、上機(jī)實(shí)驗(yàn),每年出兩道題(甲組:A,B題; 乙組:C,D題), 任選一題. A,C 為連續(xù)型題目; B,D為離散型題目,賽題設(shè)計(jì),數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)課程的學(xué)習(xí),擴(kuò)充知識(shí)面。要會(huì)實(shí)踐：會(huì)在實(shí)踐中提出問(wèn)題，搜集資料，組建模型，解決問(wèn)題。要會(huì)思考：會(huì)進(jìn)行綜合，歸納，抽象，化簡(jiǎn)。要會(huì)

24、計(jì)算：會(huì)使用軟件，會(huì)設(shè)計(jì)程序。,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組隊(duì)的方式,盡可能地讓不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生組成一隊(duì)，以利學(xué)科交叉；,盡可能地讓能力、素質(zhì)方面不同的學(xué)生（創(chuàng)新能力強(qiáng)的，認(rèn)真踏實(shí)的，有組織能力的，文筆好的，…）組成一隊(duì)，以利優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)；,盡可能地讓學(xué)生在隊(duì)內(nèi)充分磨合，達(dá)成默契，形成“領(lǐng)袖”。,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽期間的注意事項(xiàng),吃透題意，確定題目；,查閱資料、實(shí)際調(diào)查要適度；,把握好用現(xiàn)成的模型和方法，與自己創(chuàng)新的模型和方法之間的關(guān)系；,保證基本模型和求解的完

25、成，在此基礎(chǔ)上完善改進(jìn)；,根據(jù)建模的要求，可以增加、刪除甚至修改題目的條件；,論文主體由一人完成，并早些開(kāi)始寫(xiě)作。,完整——摘要；問(wèn)題提出（用自己的語(yǔ)言）；問(wèn)題分析；模型假設(shè)；模型建立；模型求解（算法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)）；結(jié)果（數(shù)據(jù)、圖形）；結(jié)果分析和檢驗(yàn)（如誤差分析、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、靈敏性檢驗(yàn)）；優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向等，附錄（程序、更多的計(jì)算結(jié)果、復(fù)雜的推導(dǎo)、證明等）；,寫(xiě)好論文（答卷）的注意事項(xiàng),摘要——主要模型（名稱(chēng)）、方法和結(jié)果，解決了什么