一類帶擾動項的非線性橢圓系統(tǒng)正解的存在性和多重性.pdf

1、本文主要研究一類帶擾動項的非線性橢圓系統(tǒng)-△u=θF/u(x，u，v)+εg(x)，x∈Ω，{-△u=θF/θv(x,u，v+εh(x)，x∈Ω， (1)u＞0,u＞0,u=v=0=n, 其中Ω是RN中的有界光滑區(qū)域；F∈C1(Ω×(R+)2，R+)，這里R+：=[0，+oo)；g，h∈1(Ω)\{0}；ε＞0為參數(shù)．研究發(fā)現(xiàn)：(1)正解的存在性與線性橢圓方程{-△u=g(x), x∈Ω， (2)u=0, x∈θΩ和{-△v=h(x),

2、 x∈Ω,主未， (3)v=0, x∈θΩ是否有非負(fù)解有緊密的聯(lián)系。因此，文中將在問題(2)和問題(3)有非負(fù)解的前提下，討論問題(1)的正解的存在性和多重性。 1.應(yīng)用上下解方法和極大值原理，對F關(guān)于z=(u，v)滿足超線性條件，且θF/θu(x，z)，θF/θv(x，z)∈C((Ω)×(R+)2，R+)分別關(guān)于u，v，在R+\{0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增；|▽F(x，z)|=o(|z|)(當(dāng)|z|→0)在Ω上一致成立時，證明了問題(

3、1)的正解的存在性，用同樣的方法，對F滿足次線性條件且F(x，z)=F(z)是μ(μ∈(1，2))次齊次函數(shù)(即對任意的t＞0，F(xiàn)(tz)=tμF(z))時，證明了問題(1)正解的存在性．并指出了在超臨界和次線性情形，當(dāng)F為齊次函數(shù)時，問題(2)和問題(3)有非負(fù)解是問題(1)正解存在的充要條件． 2.就F關(guān)于z=(u，v)滿足超線性條件情形，在問題(1)正解存在的基礎(chǔ)上，對F在次臨界和臨界增長時分別討論了問題(1)正解的多重性

4、．應(yīng)用變分方法，對F滿足隨后條件。θF/θu(x，z)，θF/θu(x，z)∈C(Ω×(R+)2，R+)分別關(guān)于u，v在R+\{0}上嚴(yán)格單調(diào)遞增；|▽F(x，z)|=D(|z|)(當(dāng)|z|→0)在Ω上一致成立；存在常數(shù)r，2＜r＜2*-1，使得|▽F(x，z)|=o(|z|r)(當(dāng)|z|→∞)在Ω上一致成立；存在q＞2，使得z·▽F(x，z)≥qF(x，z)成立，其中(x，z)∈(Ω)×(R+)2； F(u，0)=F(0，v)=θF/