關(guān)于序Γ_半群的思想.pdf

1、本文主要研究序Γ-半群的幾類理想，得到有關(guān)序Γ-半群的左(右)弱素理想，弱素理想，弱半素理想，極小理想，極大理想和C-左理想的若干結(jié)果，給出不含真雙理想的序Γ-半群的刻畫．本文共分五節(jié)，各節(jié)主要內(nèi)容如下：
　　第一節(jié)主要給出本文將用到的基本概念，符號(hào)和引理．
　　第二節(jié)主要研究序Γ-半群的(左)右弱素理想的有關(guān)性質(zhì)和它們的刻畫，研究了序Γ-半群的m-系與弱素理想的關(guān)系以及n-系與弱半素理想的關(guān)系．主要結(jié)果如下：
　　定

2、理2．1設(shè)S為序Γ-半群，T為S的左理想，則下列各項(xiàng)等價(jià)：
　　(1)T是左弱素的；
　　(2)若a，b∈s，(aΓSΓb]∈T，則a∈T或b∈T；
　　(3)若a，b∈s，L(a)ΓL(b)∈T，則a∈T或b∈T；
　　(4)若A為S的任意子集，B為S的左理想，且AΓB∈T，則A∈T或B∈T
　　定理2．2設(shè)S為序Γ-半群，T為S的右理想，則下列各項(xiàng)等價(jià)：
　　(1)T是右弱素的；
　　(2)

3、若a，b∈S，(aΓSb]∈T，則a∈T或b∈T；
　　(3)若a，b∈s，R(a)ΓR(b)∈T，則a∈T或b∈T；
　　(4)若A為S的右理想，B為S的任意子集，且AΓB∈T，則A∈T或B∈T
　　推論2．1設(shè)S為序Γ-半群，T為S的理想，則下列各項(xiàng)等價(jià)：
　　(1)T是左弱素的；
　　(2)T是右弱素的；
　　(3)T是弱素的；
　　(4)若a，b∈S，(aΓSΓb]∈T，則a∈T或b∈T

4、；
　　(5)若a，b∈S，L(a)ΓL(b)∈T，則a∈T或b∈T；
　　(6)若a，b∈s，R(a)ΓR(b)∈T，則a∈T或b∈T；
　　(7)若A為S的任意子集，B為S的左理想，AΓB∈T，則A∈T或B∈T；
　　(8)若A為S的右理想，B為S的任意子集，AΓB∈T，則A∈T或B∈T
　　定理2．3設(shè)S為序Γ-半群，a為S的一個(gè)左半正則元．若L是S的不包含a的左理想，則存在S的不包含a的左弱素理想P

5、
　　推論2．2設(shè)S為序Γ-半群，a為S的一個(gè)左半正則元，L為S的某一個(gè)左理想．若對(duì)任意n∈Z+(n≥2)，γ1，γ2，…，γn-1∈Γ有aγ1aγ2…aγn-1a∈L，則存在S的左弱素理想P，使得aγ1aγ2…aγn-1a∈P
　　推論2．3設(shè)S為序Γ-半群，a是S中的左半正則元，P1*為S的所有左弱素理想的交，L是S的任一真左理想．若a∈Pl,則a∈L
　　定理2．4設(shè)S為序Γ-半群．若P*是S的所有左弱素理想的交

6、且P*為左半正則的，則P*是左阿基米德的．
　　定理2．5序Γ-半群的每個(gè)雙理想都是m-系．
　　定理2．6設(shè)S為序Γ-半群，I是S的理想．則
　　(1)若I是弱素的，且S-I≠θ，則S-I是m-系．
　　(2)若S-I是m系，則I是弱素的．
　　推論2．4(1)設(shè)S為序Γ-半群，I是S的理想，那么，是弱素的當(dāng)且僅當(dāng)S-I=θ或S-I是m-系．
　　(2)設(shè)s為序Γ-半群，s的真理想I是弱素的當(dāng)且僅當(dāng)

7、S-I是m-系．
　　定理2．7設(shè)S為序Γ-半群，I是S的理想．則
　　(1)若I是弱半素的且S-I≠θ，則S-I是n-系．
　　(2)若S-I是n-系，則I是弱半素的．
　　推論2．5(1)設(shè)S為序Γ-半群，I是S的理想，那么I是弱半素的當(dāng)且僅當(dāng)S-I=θ或S-I是n-系．
　　(2)設(shè)s為序Γ-半群，S的真理想I是弱半素的當(dāng)且僅當(dāng)S-I是n-系．
　　定理2．8設(shè)S為序Γ-半群．若N是S的n-系，

8、且S的元素A∈N，則存在S的m-系M，滿足A∈M∈N
　　第三節(jié)主要給出序Γ-半群的極小理想和極大理想的刻畫，并研究在含單位元的交換序Γ-半群中，極大理想與弱素理想的關(guān)系．主要結(jié)果如下：
　　定理3．1設(shè)S為不含零元的序Γ-半群，A為S的所有理想的集合，那么下列各項(xiàng)等價(jià)：
　　(1)S有極小理想；
　　(2)集合∩｛J∣J∈A｝是S的唯一極小理想；
　　(3)∩｛J∣J∈A｝≠Φ
　　定理3．2設(shè)S為

9、序Γ-半群，A∈S，S∈I(a)令A(yù)為S的所有真理想的集合．若A≠Φ，則∪｛J∣J∈A｝是S的唯一極大理想．
　　定理3．3設(shè)S為含單位元的序Γ-半群．若S的所有真理想的集合A≠Φ，則∪｛J∣J∈A｝是S的唯一極大理想．
　　定理3．4令S為含單位元的交換序Γ-半群．若M是S的極大理想，則M是S的弱素理想；反之結(jié)論一般不成立．
　　第四節(jié)主要討論序Γ-半群的C-左理想的一些基本性質(zhì)，給出最大C-左理想存在的充要條件，并

10、討論了兩類序Γ-半群的結(jié)構(gòu)特征．主要結(jié)果如下：
　　定理4．1設(shè)S為序Γ-半群且S有最大元e若對(duì)任意γ∈Γ，有eγe=e，則S的每個(gè)真左理想都為S的C-左理想．
　　定理4．2設(shè)S為序Γ-半群，則S中既可能有C-左理想，又可能有非C-左理想．
　　定理4．3設(shè)S為交換序Γ-半群．若S為非左單的，則S中一定含有C-左理想．
　　定理4．4設(shè)S為序Γ半群，M1,M2為S的真左理想且S=M1∪M2，則M1和M2都不是S

11、的C-左理想．
　　推論4．1設(shè)S為序Γ-半群．若T為S的C-左理想，則T包含在S的任一極大左理想中．
　　推論4．2設(shè)S為序Γ-半群．若S的極大左理想多于一個(gè)，則S的所有極大左理想都不是C-左理想．
　　推論4．3設(shè)S為序Γ-半群．若S包含一個(gè)極大左理想L且L為C-左理想，那么L一定為S的最大真左理想．
　　定理4．5設(shè)S為序Γ-半群，S中包含最大真左理想L*，則存在A∈S(SΓS]使得S-[a)∈L*或者L*

12、為C-左理想．
　　定理4．6設(shè)S為序Γ-半群，則S的所有C-左理想關(guān)于集合的并和交運(yùn)算構(gòu)成S的左理想的子格．
　　定理4．7設(shè)A為序Γ-半群S的非空子集，則A為S的左基當(dāng)且僅當(dāng)A滿足
　　(1)對(duì)任意X∈S，存在a∈A使得L(x)∈L(a)；
　　(2)對(duì)任意a1，a2∈A，若La1∈La2，則a1=n2
　　定理4．8設(shè)S為序Γ-半群且非C-左單的．如果S存在左基A，那么S包含最大C-左理想L，且此時(shí)L

13、=(SΓS∩L，其中L為S的所有極大左理想的交．
　　定理4．9設(shè)序Γ-半群S包含最大C-左理想L，且如果S≠(SΓS],S-(SΓS]中的元素兩兩不可比較，那么S一定包含左基．
　　定理4．10設(shè)S為序Γ-半群且非左單的，則S的每個(gè)真左理想為C-左理想當(dāng)且僅當(dāng)S滿足下述二條件之一．
　　(1)S中包含最大真左理想，且此理想為C-左理想．
　　(2)S=(SΓS]，而且對(duì)S的任意真左理想L及任意a∈L，存在b∈S

14、-L使得L(a)L(b)
　　定理4．11設(shè)S為序Γ-半群，那么S為C-左單的當(dāng)且僅當(dāng)S是它的極小左理想之無交并．
　　第五節(jié)主要給出不含真雙理想的序Γ-半群的刻畫，并舉例說明沒有真雙理想的序Γ-半群不一定是序Γ-群．主要結(jié)果如下：
　　定理5．1設(shè)S為序Γ-半群．若S為正則的，則S的雙理想和次冪等雙理想是相同的．
　　定理5．2序Γ-半群S是左單的和右單的當(dāng)且僅當(dāng)S無真雙理想．
　　定理5．3若S為序Γ-