旋轉Rayleigh-Benard問題的Lorenz模型及數(shù)值模擬.pdf

1、本文導出旋轉的Rayleigh—Bénard問題的四維Lorenz模型并對該模型進行數(shù)值求解,分析系統(tǒng)參數(shù)對Lorenz吸引子的影響。Rayleigh-Bénard問題是一個描寫存在溫度差的兩平板之間流體流動的無窮維的動力系統(tǒng),它由Navier-Stokes方程和熱傳導方程組成,由于無窮維的非線性系統(tǒng)研究的復雜性,常選取有限維的截斷形式去分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征。Lorenz在1963年選取傅里葉展開中的低維截斷方法將Rayleigh—Bé

2、nard偏微分方程模型轉化為一個三維的常微分方程模型,通過數(shù)值求解常微分方程探索Rayleigh—Bénard問題的動力學特征,并首次發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子(Lorenz吸引子)。
　　 旋轉的Rayleigh-Bénard問題是考慮將模型放在一個旋轉的平臺上,此問題包含三個系統(tǒng)參數(shù),分別是反映流體物理性質(zhì)的Prandtl數(shù)(Pr),反映粘性和浮力之比的Rayleigh數(shù)(R)和反映旋轉大小的Taylor數(shù)(T)。本文利用Lorenz

3、提出的截譜方法選取了有效的截斷形式將旋轉的Rayleigh—Bénard問題轉化為四維的Lorenz方程,在Pr>1時估計出Lorenz方程參數(shù)的取值范圍,利用Matlab數(shù)值模擬討論三個系統(tǒng)參數(shù)對Lorenz吸引子的影響。主要結論如下:
　　 (1)四維的Lorenz系統(tǒng)方程:
　　 X(t)=Pr(-X(t)+Y(t)+τG(t))
　　 G(t)=-Pr(G(t)+τX(t))
　　 Y(t)=-Y

4、(t)+rX(t)-X(t)Z(t)
　　 X(t)=X(t)Y(t)-bZ(t)
　　 (2)四維Lorenz系統(tǒng)和Rayleigh—Bénard系統(tǒng)的參數(shù)之間存在如下聯(lián)系:
　　 τ=πT／(a2+π2)3／2,r=a2cR／(a2+π2)3,b=4π2／a2c+π2
　　 其中a2表示擾動波數(shù)。當Pr>1時,四階的Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍為
　　 τ∈[0,√2],r∈(0,∞),b∈

5、[0,8／3]
　　 經(jīng)典的三階模型中參數(shù)b=8／3是對應四階Lorenz模型中旋轉為零時的情形。
　　 (3)通過數(shù)值求解觀察系統(tǒng)參數(shù)對Lorenz吸引子的影響,結論反映出與偏微分方程理論分析結果相似的動力學特征。
　　 大Prandt1數(shù)的情形:旋轉的加入增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；沒有旋轉時,失穩(wěn)發(fā)生后首先出現(xiàn)定常對流。
　　 小Prandt1數(shù)的情形:在小Pr的情況下,尋找到一個Pr*≈0.6,當Pr>P