Banach空間中二階Volterra型積分微分方程邊值問題解的存在性.pdf

1、設(shè)(E,‖·‖)是Banach空間,E<'*>表示E的共軛空間,α(·)表示E上的Kuratowski非緊性測度.K是E中的錐,由K導(dǎo)出的E上的偏序定義為:u≤v當(dāng)且僅當(dāng)v-u∈K.如果存在實數(shù)M>0,使得對于0≤u≤v,有‖u‖≤M‖v‖,并且M不依賴于u,v,則稱K為正規(guī)錐.令K<'*>={Ф∈E<'*>:Ф(u)≥0,u∈K},C<,Ф>={u∈E:Ф(u)≥0,Ф∈K<'*>},如果SCK<'*>且K=∩{C<,Ф>:Ф∈S},

2、則稱錐K是由S生成的.令S<,u>={Ф∈S:‖Ф‖=1}.在該文中,考慮如下形式的Banach空間中含u'項的非線性Volterra型積分微分方程的一般邊值問題(BVP)-u"(t)=H(t,u(t),(Tu)(t),u′(t)),t∈I(2.)B<'0>u=au(0)-bu′(0)=u<,0>,B<'1>u=cu(1)+du′(1)=u<,1>這里t∈I=[0,1],H∈C[I×E×E×E,E],u<,0>,u<,1>∈E,a≥0,

3、b≥0,c≥0,d≥0,δ=ac+bc+ad>0,(Tu)(t)=∫<,0><'t>k(t,s)u(s)ds,k(t,s)∈C[D,R<'+>],D={(t,s)∈R<'2>:0≤s≤t≤1}.令k<,0>=max<,D>k(t,s).BVP(2.1)的解可表示為u(t)=h(t)+∫<,0><'1>G(t,s)H(s,u(s),(Tu)(s),u′(s))ds,t∈I,其中G(t,s)=δ<'-1>(at+b)(c(1-s)+d)'0

4、≤t≤s≤1δ<'-1>(as+b)(c(1-t)+d),0≤s≤t≤1h(t)=δ<'-1>((c(1-t)+d)u0+(at+b)u<,1>),t∈I.令P<,0>=max{1,sup<,I×I>|G(t,s)|}.首先列出假設(shè)條件:(A<,1>)存在λ>0,使得對于E中的有界集B<,1>,B<,2>,B<,3>,有α(H(t×B<,1>×B<,2>×B<,3>))≤λmax(α(B<,1>),α(B<,2>),α(B<,3>)).

5、(A<,2>)存在L>0,使得對于(t,x,y,z)∈I×E×E×E,有‖H(t,x,y,z)‖≤L.(A<,3>)K是由S<,u>生成的錐.(A<,4>)v<,0>,w<,0>∈C<'2>[I,E],使得v<,0>(t)≤w<,0>(t),t∈I.v<,0>(t)是BVP(2.1)的下解,即-v"<,0>≤H(t,v<,0>,Tv<,0>,v'<,0>),t∈IB<'i>v<,0>≤u<,i>,i=0,1w<,0>(t)是BVP(2.

6、1)的上解,即-w"<,0>≥H(t,w<,0>,Tw<,0>,w'<,0>),t∈IB<'i>w<,0>≥u<,i>,i=0,1(A5)對任意的Ф∈S<,u>,t<,0>∈I,如果u<,1>(t<,0>)≤u<,2>(t<,0>),(Tu<,1>)(t<,0>)≤(Tu<,2>)(t<,0>),Ф(u'<,1>(t<,0>))≤Ф(u'<,2>(t<,0>)),則Ф(H(t<,0>,u<,1>((t<,0>),(Tu<,1>)(t<,

7、0>),u'<,1>(t<,0>))-H(t<,0>,u<,2>(t<,0>),(Tu<,2>)(t<,0>),u'<,2>(t<,0>)))≤0.(A<,6>)存在j∈C[R<'+>,K],對t∈I,v<,0>(t)≤u≤w<,0>(t),(Tv<,0>)(t)≤Tu≤(Tw<,0>)(t),u′∈E,有|Ф(H(t,u,Tu,u′))|≤Ф(j|Ф(u′)|)對所有的Ф∈S<,u>成立.(A<,7>)存在μ,N∈K,使得對所有的Ф∈

8、S<,u>,有∫<,Ф(μ)><'Ф(N)>sds/Ф(j(s))>max<,I>Ф(v0(t))-min<,I>Ф(v<,0>(t)),其中Ф(μ)=max{|Ф(v<,0>(0)-w<,0>(1))|,|Ф(v<,0>(1)-w<,0>(0))|}.(A<,8>)H(t,x,y,z)-H(t,<'->x,<'->y,<'->z)≥-N<,1>(x-<'->x)-N<,2>(y-<'->y)-N<,3>(z-<'->z),t∈I,其中

9、v<,0>(t)≤<'->x≤x≤w<,0>(t),(Tv<,0>)(t)≤<'->y≤y≤(Tw<,0>)(t),v'<,0>(t)≤<'->z≤z≤w'<,0>(t),‖z‖≤N,‖<'->z‖≤N,且N<,1>>0,N<,2>≥0,N<,3>≥0為常數(shù),并且滿足4(1+k<,0>)P<,0>(λ+N<,1>+N<,2>+N<,3>)<1.利用上、下解法和單調(diào)迭代技巧,我們得到BVP(2.1)解的存在性,主要結(jié)果如下:定理3.2設(shè)條

10、件(A<,1>)~(A<,7>)成立,如果4(1+k<,0>)P<,0>λ<1,則BVP(2.1)有解u∈C<'2>[I,E],滿足v<,0>(t)≤u(t)≤w<,0>(t),并且存在N<,0>∈K,使得|Ф(u'(t))|≤Ф(N<,0>),t∈I,其中Ф∈S<,u>.定理4.3設(shè)K是正規(guī)錐,定理3.2的條件及(A<,8>)成立,且N<,1>+N<,2>k<,0>≤1,則存在單調(diào)迭代序列{v<,n>(t)},{w<,n>(t)),n

11、=0,1,2,…,使得lim<,n→∞>v<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>w<,n>(t)=r(t)在I上一致成立,其中ρ(t)和r(t)分別是BVP(2.1)的最小解和最大解.作為這方面的一個理論應(yīng)用,我們可以考慮如下形式的三階微分方程的邊值問題:-u″′(t) = H(t,u(t),u′(t),u"(t)), t ∈ Iu(0)=0,au′(0) - bu"(0) = u0,cu′(1) + du″(1) = u<,1>